精品解析：甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

兰州一中2024-2025-1学期期末考试试题 高二数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若抛物线的准线方程是，则实数的值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线的标准方程，再得其准线方程，可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为抛物线，即， 则其准线方程为， 因为抛物线的准线方程是， 所以，解得. 故选：A. 2. 从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列组合求解即可. 【详解】第一步，选出5人，共有种不同选法； 第二步，选出5个岗位，共有种不同选法； 第三步，将5人分配到5个岗位，共有种不同选法. 由分步乘法计数原理，知不同的选派方法有（种）. 故选：D. 3. 已知直线 是双曲线的一条渐近线，则 的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，即可根据离心率根式求解. 【详解】的渐近线方程为，故，故， 故离心率为， 故选：B 4. 同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】设四人分别为,写的卡片分别为,从开始分析,易得有三种拿法,假设拿了,再分析的取法数目,剩余两人只有种取法,由分步计数原理,计算可得答案. 【详解】设四人分别为,写的卡片分别为,由于每个人都要拿别人写的卡片,即不能拿自己写的卡片, 故有种拿法,不妨设拿了,则可以拿剩下张中的任一张,也有3种拿法,和只能有一种拿法, 所以共有种分配方式. 故选：B. 5. 在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】易知直线与圆，圆均相切，判断两圆位置关系，进而确定公切线条数. 【详解】与原点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 与点距离为的点的集合是以为圆心，为半径的圆，即； 因为圆心距， 所以圆与圆外切，这两圆共有条公切线， 所以适合条件的直线共有条， 故选：C. 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】根据椭圆定义可得，又，故， 因此，故，故， 故选：D 7. 方程的正整数解的个数为（ ） A. 56 B. 35 C. 70 D. 66 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法求解即可． 【详解】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球， 采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可， 故共有种． 故选：B. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量关系得到，根据椭圆的定义及线段间的关系求出、、，解法一，再利用三角知识求出的值，进而求得的值；解法二，再利用二级结论求出的值，进而求的值. 【详解】如图，由，得． 设，则，，由， 得，． 解法一， ，由，得， 整理得，得，（，舍去） 所以； 解法二， 如下图，直线过椭圆的右焦点， 交椭圆于点，， 椭圆的右准线方程为，根据椭圆的第二定义， 即有，， 设与轴的夹角为，则有， 于是有， 可得 ， ，可得， 同理可得，所以. 根据椭圆的焦半径倒数和公式得， 即， 整理得，得，（ ，舍去） 所以. 故选：A． 【点睛】方法点睛：与圆锥曲线焦点三角形有关的问题，常利用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，有时需要在两个三角形中分别使用余弦定理建立关系式，求解此类问题要重视整体思想的应用，尽量减少不必要的计算． 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ） A. ，点的轨迹为椭圆 B. ，点的轨迹为双曲线 C. ，点的轨迹为抛物线 D. ，点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与轴的交点判断C；求得轨迹方程判断D. 【详解】因为平面内点，，所以， 又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确； 线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误； 设点，由得， 整理得，即， 当时，，得或， 故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误； 由，得， 整理得 ， 即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确. 故选：AD. 10. 在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D. 学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理、排列数和组合数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 11. 已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在4个点M，使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值 C. 有最小值 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由为圆心为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由满足椭圆方程，代入直线与直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求的最值，得取值范围. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点， 所以存在4个点M，使得，A选项正确； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B选项错误． 对于C中，由椭圆的定义，可得， 则， 当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误． 对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且， 可知，即，当与重合时，等号成立， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：AD． 第II卷（非选择题） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程的解为___________. 【答案】1或3（只写一个不得分） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质列式求解. 【详解】由及组合数的性质，得或， 整理得或，解得或，所以该方程的解为1或3. 故答案为：1或3 13. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用焦半径公式算出的坐标，计算直线的方程，进而证明出三点共线，最后利用计算即可. 【详解】由题意即可知：，不妨设点，且点在第一象限， 则，， 故， 所以直线的方程为：， 令得，即三点共线， 所以. 故答案为：或. 14. 设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是___________.（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 四､解答题：解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】（1） 因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 16. 甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ （2）6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ （3）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】（1）120 （2）144 （3）540 【解析】 【分析】（1）先将6人全排列，考虑到甲、乙、丙三人排列有种，进而可得所求排法； （2）先从除甲、乙以外的4人中选2人，再利用捆绑法计算可得； （3）分为三个组可分为三类，即①分组；②分组；③分组；再将再分好的三个组安排到三项不同的社区可求总的方法数. 【小问1详解】 先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲､乙､丙自左向右从高到矮排列时，不同的排法有种； 【小问2详解】 从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列， 则有种排列方案； 【小问3详解】 由题可得学生的分配方案可以有：①；②；③； ①名学生按分为三个组有种方法， 则人分配到三所学校共有种分配方法； ②名学生按分为三个组有种分法， 则人分配到三项不同的社区一社区人、一社区人、一社区人共有分配方法； ③名学生平均分配到三项不同的社区有种方法； 则人分配到三项不同的社区每个社区至少一人一共有：种方法. 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【小问1详解】 因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 18. 为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. （1）一共有多少不同的分组方案？ （2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【小问1详解】 队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； 【小问2详解】 总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）方法一：在抛物线上，则，， 过，且斜率为的直线的方程为， 可得， 解得或，所以，可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，； 方法二：因为点、、在抛物线上， 所以，两式相减得：． 所以：可得， 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 所以，. （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）方法一：设，则，，将直线的方程与抛物线的方程联立，可得出，可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； 方法二：由点、、在抛物线上，利用点差法可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，再由可得出数列的通项公式； （3）方法一：求出直线的方程，可求出，并求出点到直线的距离，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； 方法二：设，则、，计算出梯形、的面积，由此可得出，即可得出答案. 【小问1详解】 将点的坐标代入抛物线的方程可得，可得， 因此，抛物线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 方法一：，则直线的方程为， 则， 点到直线的距离 ， 故； 方法二： 则直线的方程为，设直线与相交于 令，可得， 则 则 方法三：由（2）知：、、， 设，则、， 则梯形的面积为 ， 即，同理可得， 又梯形的面积为 ， 即，则的面积为： . 【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等差数列； （2）等差中项法：数列为等差数列； （3）通项公式法：（、为常数，）数列为等差数列. 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州一中2024-2025-1学期期末考试试题 高二数学 说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若抛物线的准线方程是，则实数的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2. 从7人中选派5人到10个不同岗位中的5个参加工作，则不同的选派方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 已知直线 是双曲线的一条渐近线，则 的离心率等于（ ） A. B. C. D. 4. 同室人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则张贺年卡不同的分配方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 在平面直角坐标系中，若点到直线l的距离为1，点到直线l的距离为3，则这样的直线l有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 方程的正整数解的个数为（ ） A. 56 B. 35 C. 70 D. 66 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于点，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ） A. ，点的轨迹为椭圆 B. ，点的轨迹为双曲线 C. ，点的轨迹为抛物线 D. ，点的轨迹为圆 10. 在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（ ） A. 不同的安排方法共有种 B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C. 若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D. 学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 11. 已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在4个点M，使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值 C. 有最小值 D. 的取值范围为 第II卷（非选择题） 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 方程的解为___________. 13. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为__________. 14. 设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是___________.（请将所有满足条件的点填入） 四､解答题：解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，椭圆. （1）求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； （2）当时，求直线被椭圆截得的弦长. 16. 甲､乙､丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务. （1）6名同学站成一排，若甲､乙､丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种？ （2）6名同学站成一排，甲､乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ （3）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 17. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 18. 为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. （1）一共有多少不同的分组方案？ （2）在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 19. 已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于轴对称，再过作斜率为的直线交与另一个点，设与关于轴对称，以此类推一直做下去，设． （1）求抛物线的方程； （2）求证：数列是等差数列，并求、； （3）求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $