2025年中考数学一轮复习：函数（一次函数：一次函数正比例函数定义、性质等）

2025年中考一轮复习：函数（一次函数：一次函数正比例函数定义、性质等） 一．选择题（共8小题） 1．若点A（2，y1），点B（﹣1，y2），点C（3，1）都在一次函数y＝kx+10的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 2．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣3x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数解析式是（　　） A．y＝﹣3x+3 B．y＝﹣3x﹣3 C．y＝﹣3x+1 D．y＝﹣3x﹣1 4．将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4 5．将直线y＝x+b沿y轴向上平移6个单位长度，若A（﹣2，4）关于原点的对称点落在平移后的直线上，则b的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．﹣4 D．4 6．下列各点中在函数y＝﹣2x+1的图象上的点是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣4） D．（1，﹣1） 7．若一次函数y＝（k﹣2）x+3的函数值y随自变量x的减小而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k＞2 C．k＜0 D．k＞3 8．如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数y＝kx+2（k＜0）的图象不可能经过（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 二．填空题（共6小题） 9．在一次函数y＝（a﹣1）x﹣3的图象中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 　 　． 10．已知函数y＝（k﹣2）x﹣2k+7与y＝|x+2|，当满足﹣6≤x≤1时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是 　 　． 11．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 12．一次函数y＝﹣2x+4与y＝x﹣2的图象与y轴所围成的三角形面积为　 　． 13．如图，将直线向下平移后得到直线AB，且点B（0，﹣4），则直线AB的函数表达 式是 　 　. 14．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”． （1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m＝　 　，n＝　 　； （2）若y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，k＝　 　． 三．解答题（共6小题） 15．如图，已知Rt△OAB的两个顶点为A（6，0），B（0，8），O为原点，△OAB绕点A顺时针旋转90°，点O到达点O′，点B到达点B′． （1）求点B′的坐标； （2）求直线AB′对应的函数解析式． 16．写出下列各题中y与x之间的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为y（cm）． （2）某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系． 17．已知正比例函数y＝（m﹣1）x，且y随着x的增大而减小． （1）求m的取值范围； （2）已知点P（m，6）在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式． 18．已知一次函数y＝﹣2x﹣6． （1）画出函数的图象； （2）求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）求△AOB的面积． 19．在直角坐标系中，一条直线经过A（1，﹣2），B（3，2）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）求直线AB与两坐标轴交点的坐标； （3）求直线AB和坐标轴围成三角形的面积． 20．如图，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△ABO的面积． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D D B D A C 一．选择题（共8小题） 1．若点A（2，y1），点B（﹣1，y2），点C（3，1）都在一次函数y＝kx+10的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定 【分析】由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值，由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合2＞﹣1，即可得出y1＜y2． 【解答】解：∵点C（3，1）在一次函数y＝kx+10的图象上， ∴1＝3k+10， 解得：k＝﹣3， ∴一次函数解析式为y＝﹣3x+10． ∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（2，y1），点B（﹣1，y2）都在一次函数y＝﹣3x+10的图象上，且2＞﹣1， ∴y1＜y2． 故选：C． 2．已知一次函数y＝kx+b，函数值y随自变量x的增大而减小，且kb＞0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质得到k＜0，而kb＞0，则b＜0，所以一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限，与y轴的交点在x轴下方． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随着x的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限； ∵kb＞0， ∴b＜0， ∴图象与y轴的交点在x轴下方， ∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣3x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数解析式是（　　） A．y＝﹣3x+3 B．y＝﹣3x﹣3 C．y＝﹣3x+1 D．y＝﹣3x﹣1 【分析】根据函数图象平移的法则解答即可． 【解答】解：函数y＝﹣3x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数解析式是y＝﹣3x+1﹣2，即y＝﹣3x﹣1． 故选：D． 4．将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将直线y＝﹣3x﹣1沿y轴向下平移3个单位后的直线所对应的函数解析式是：y＝﹣3x﹣1﹣3＝﹣3x﹣4． 故选：D． 5．将直线y＝x+b沿y轴向上平移6个单位长度，若A（﹣2，4）关于原点的对称点落在平移后的直线上，则b的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．﹣4 D．4 【分析】根据一次函数平移规律得出平移的直线，根据点A（﹣2，4）关于原点对称求出它的对称点，将对称点的坐标代入平移后的直线中求解． 【解答】解：将直线y＝x+b沿y轴向上平移6个单位长度后，所得直线的解析式为y＝x+b+6． ∵A（﹣2，4）关于原点的对称点是（2，﹣4），A（﹣2，4）关于原点的对称点落在平移后的直线上， ∴把点（2，﹣4）代入y＝x+b+6中得﹣4＝2+b+6， ∴b＝﹣12， 故选：B． 6．下列各点中在函数y＝﹣2x+1的图象上的点是（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣4） D．（1，﹣1） 【分析】依据题意，分别将各选项的点坐标代入解析式，成立即符合题意，验证即可． 【解答】解：对于A， 将x＝﹣1，y＝2代入y＝﹣2x+1得，2+1＝3≠2，所以该点不在函数图象上； 对于B， 将x＝﹣1，y＝﹣2代入y＝﹣2x+1得，2+1＝3≠﹣2，所以该点不在函数图象上； 对于C， 将x＝1，y＝﹣4代入y＝﹣2x+1得，﹣2+1＝﹣1≠﹣4，所以该点不在函数图象上； 对于D， 将x＝1，y＝﹣1代入y＝﹣2x+1得，﹣2+1＝﹣1＝﹣1，所以该点在函数图象上； 故答案为：D． 7．若一次函数y＝（k﹣2）x+3的函数值y随自变量x的减小而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．k＞2 C．k＜0 D．k＞3 【分析】根据一次函数图象的增减性来确定k的符号即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x+3的函数值y随自变量x的减小而增大， ∴k﹣2＜0，解得：k＜2， 故选：A． 8．如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函数y＝kx+2（k＜0）的图象不可能经过（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】由k＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数y＝kx+2（k＜0）的图象经过第一、二、四象限，再结合A，B，C，D四点所在的象限，即可得出结论． 【解答】解：∵k＜0，b＝2＞0， ∴一次函数y＝kx+2（k＜0）的图象经过第一、二、四象限， ∴一次函数y＝kx+2（k＜0）的图象不可能经过点C． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．在一次函数y＝（a﹣1）x﹣3的图象中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 　a＜1　． 【分析】直接根据一次函数的增减性得出关于a的不等式，求出a的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数y＝（a﹣1）x﹣3的图象中，y随x的增大而减小， ∴a﹣1＜0， 解得a＜1． 故答案为：a＜1． 10．已知函数y＝（k﹣2）x﹣2k+7与y＝|x+2|，当满足﹣6≤x≤1时，两个函数的图象存在2个公共点，则k满足的条件是 　2≤k　． 【分析】观察函数y＝（k﹣2）x﹣2k+7解析式，其过定点A（2，3）则其图象绕点A旋转，且画出y＝|x+2|的图象，将y＝（k﹣2）x﹣2k+7的图象旋转找到临界点． 【解答】解：由已知，当x＝2时，y＝（k﹣2）x﹣2k+7＝3， ∴函数y＝（k﹣2）x﹣2k+7的图象过定点A（2，3） 如图： y＝|x+2|的图象如图为折线BCD，其中点B（1，3），C（﹣2，0），D（﹣6，4） 当函数y＝（k﹣2）x﹣2k+7的图象过点C（﹣2，0）时，与折线BCD恰一个交点，此时k； 当直线过点A、B时，AB∥x轴，直线AB与折线BCD有两个交点 此时，k﹣2＝0， ∴k＝2， 故k满足的条件是2≤k， 故答案为2≤k． 11．已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　﹣1　． 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．一次函数y＝﹣2x+4与y＝x﹣2的图象与y轴所围成的三角形面积为　6　． 【分析】分别求出两图象与y轴的交点坐标以及两图象的交点，即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴相交， ∴交点坐标为（0，4）， ∵y＝x﹣2的图象与y轴相交， ∴交点坐标为（0，﹣2）， 联立方程组可得， 解得：， ∴交点坐标为（2，0）， ∴三角形面积2×（4+2）＝6， 故答案为：6． 13．如图，将直线向下平移后得到直线AB，且点B（0，﹣4），则直线AB的函数表达 式是 　yx﹣4　. 【分析】先由直线平移时k值不变，可设直线AB的解析式为yx+b，再将点B（0，﹣4）代入，求出b的值． 【解答】解：设直线AB的解析式为yx+b． 将（0，﹣4）代入得b＝﹣4， ∴直线AB的解析式为yx﹣4， 故答案为：yx﹣4． 14．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y＝x﹣1的“3阶和点”． （1）若点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，则m＝　1　，n＝　2　； （2）若y关于x的一次函数y＝kx﹣2的图象经过一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”，k＝　6或　． 【分析】（1）由点（﹣1，﹣1）在正比例函数y＝mx的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出m的值，由点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“n阶和点”，可求出n的值； （2）利用分类讨论的方法和“5阶和点”的定义求得“5阶和点”，再利用待定系数法解答即可． 【解答】解：（1）由题意可得：﹣m＝﹣1， ∴m＝1， ∵点（﹣1，﹣1）到两坐标轴的距离之和等于2， ∴点（﹣1，﹣1）是y关于x的正比例函数y＝mx的“2阶和点”， ∴n＝2． 故答案为：1，2； （2）设一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（a，b），则|a|+|b|＝5，b＝a+3， 一次函数y＝x+3图象经过第一、二、三象限， 当（a，b）在第一象限时，a+b＝5， ∴a＝1，b＝4， ∴一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（1，4）， ∴一次函数y＝kx﹣2的图象经过（1，4）， ∴k﹣2＝4， ∴k＝6； 当（a，b）在第二象限时，﹣a+b＝5，由于b＝a+3，此种情形不存在； 当（a，b）在第三象限时，﹣a﹣b＝5， ∴a＝﹣4，b＝﹣1， ∴一次函数y＝x+3图象的“5阶和点”为（﹣4，﹣1）， ∴一次函数y＝kx﹣2的图象经过（﹣4，﹣1）， ∴﹣4k﹣2＝﹣1， ∴． 故答案为：6或． 三．解答题（共6小题） 15．如图，已知Rt△OAB的两个顶点为A（6，0），B（0，8），O为原点，△OAB绕点A顺时针旋转90°，点O到达点O′，点B到达点B′． （1）求点B′的坐标； （2）求直线AB′对应的函数解析式． 【分析】（1）求出OA及O的长，根据图形旋转的性质即可得出B′的坐标； （2）利用待定系数法求出直线AB′对应的函数解析式即可． 【解答】解：（1）∵Rt△OAB的两个顶点为A（6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8． ∵△O′AB′由△OAB旋转而成， ∴OB＝O′B′＝8，OA＝O′A＝6， ∴B′（14，6）； （2）设直线AB′的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（6，0），B′（14，6）， ∴，解得， ∴直线AB′对应的函数解析式为：yx． 16．写出下列各题中y与x之间的函数表达式，并判断y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x个月后这棵树的高度为y（cm）． （2）某种大米的单价是2.2元/千克，花费y元与购买大米x千克之间的关系． 【分析】（1）根据“x月后这棵树的高度y＝现在高+每个月长的高×月数”即可列出函数解析式，然后根据一次函数和正比例函数的定义即可判断； （2）根据“购买大米x千克的花费y＝大米的单价×大米的质量x”即可列出函数解析式，然后根据一次函数和正比例函数的定义即可判断． 【解答】解：（1）由“x月后这棵树的高度y＝现在高+每个月长的高×月数”可得：y＝2x+50，是一次函数，不是正比例函数． （2）由“购买大米x千克的花费y＝大米的单价×大米的质量x”可得：y＝2.2x，是一次函数，也是正比例函数． 17．已知正比例函数y＝（m﹣1）x，且y随着x的增大而减小． （1）求m的取值范围； （2）已知点P（m，6）在该函数图象上，求出这个正比例函数解析式． 【分析】（1）根据y＝（m﹣1）x，且y随着x的增大而减小则m﹣1＞0求解即可； （2）将点P（m，6）代入y＝（m﹣1）x，求解即可，注意条件：y随着x的增大而减小． 【解答】解：∵正比例函数y＝（m﹣1）x，且y随着x的增大而减小． ∴m﹣1＜0， ∴m＜1， ∴m的取值范围：m＜1； （2）∵点P（m，6）在y＝（m﹣1）x图象上， ∴6＝（m﹣1）m， 解得：m＝3或m＝﹣2， ∵m＜1， ∴m＝﹣2， ∴正比例函数解析式：y＝﹣3x． 18．已知一次函数y＝﹣2x﹣6． （1）画出函数的图象； （2）求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标； （3）求△AOB的面积． 【分析】（1）列举出函数中点的坐标，再用描点法画出图象； （2）将x＝0，y＝0代入函数解析式中，即可求出点A、B的坐标； （3）用三角形面积公式进行计算． 【解答】解：（1）图象经过（0，﹣6）；（﹣3，0）． （2）当x＝0时，y＝﹣6； 当y＝0时，x＝﹣3， ∴与x轴的交点A的坐标：（﹣3，0）； 与y轴的交点B的坐标：（0，﹣6）． （3）△AOB的面积＝|AO|×|BO|39． 19．在直角坐标系中，一条直线经过A（1，﹣2），B（3，2）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）求直线AB与两坐标轴交点的坐标； （3）求直线AB和坐标轴围成三角形的面积． 【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式， （2）根据解析式求出直线与x轴和y轴的交点坐标， （3）根据三角形面积公式求解； 【解答】解：（1）设直线解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（1，﹣2），与B（3，2）两点代入得， 解得， ∴直线解析式为y＝2x﹣4， （2）将x＝0代入y＝2x﹣4，得y＝﹣4， ∴与y轴交于点（0，﹣4）， 将y＝0代入y＝2x﹣4，得x＝2， ∴与x轴交于点（2，0）， （3）直线AB和坐标轴围成三角形的面积S2×4＝4． 20．如图，直线y＝2x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△ABO的面积． 【分析】（1）y＝2x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣0.5，由此可得A，B两点的坐标； （2）根据A，B两点的坐标得OA＝0.5，OB＝1，进而可得△ABO的面积． 【解答】解：（1）对于直线y＝2x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣0.5， ∴点A（﹣0.5，0），点B（0，1）； （2）∵点A（﹣0.5，0），点B（0，1）， ∴OA＝0.5，OB＝1， ∴S△ABOOA•OB0.5×1 学科网（北京）股份有限公司 $$