精品解析： 河南省洛阳市2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷（华东师大版）

2024-2025学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷（华师大版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算．根据二次根式的运算法则分别计算即可得到答案． 【详解】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C 2. 一元二次方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先提公因式，得，再解出，，即可作答． 【详解】解：， ， 则或， 所以， 故选：B 3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：A，，故方程有实数根，故本选项不符合题意； B，∵可化为，，故方程有实数根，故本选项不符合题意； C，∵可化为，，故方程没有实数根，故本选项符合题意； D，∵可化为，，故方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； 故选：C． 4. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（ ）． A. a B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后利用相似三角形的性质列出比例式即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， 又， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定：①有两个角对应相等的三角形相似；②两边成比例且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理判断求解即可． 【详解】解：由图可知：， 若或，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故C、D不符合题意； 若，则，根据“若两边成比例且其夹角相等，则这两个三角形相似”可判定和相似，故B不符合题意； 若，不能判定和相似，故A符合题意； 故选：A． 6. 袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球的频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解分式方程，设袋子中黑球的个数为，依题意得，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设袋子中黑球的个数为，依题意， ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴估计袋子里黑球数量大约个， 故选：D． 7. 近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的计算，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键．从2021年到2023年平均增长率为，由此列式即可． 【详解】解：从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为， ∴， 故选：D ． 8. 如图，一次函数与x轴，y轴交于A，B两点，P是反比例函数第二象限部分的动点，连接，，C是中点，平行交于D．则长度为（） A. 2 B. C. 2.5 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数、坐标轴交点坐标综合运用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键； 本题可先求出一次函数与坐标轴交点坐标，根据两点距离公式和相似三角形的判定与性质即可解答； 【详解】解：∵一次函数与x轴，y轴交于A，B两点， ∴当时，， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∵C是中点，平行， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在 ， ∴； 故选B． 9. 小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（ ）米 A. 4.3 B. 4.1 C. 4 D. 3.8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，根据题意可得：米，然后在中，利用锐角三角函数的定义可设米，则米，从而利用勾股定理可得（米），最后根据，利用关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：米， 在中，， ∴设米，则米， 米， ， ， ， 解得：， 米， 米， ∴秋千顶与地面距离为4.3米， 故选：A． 10. 如图，E是矩形的边延长线上一点，连接，分别交，于F，G，已知，，，设．则在①．②．③．④中，正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、求正切值等知识．由矩形的性质得到，则，求得，则，证明，则，故①正确；证明，则，得到，即可判断②正确；由得到，故③正确，进一步求出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形矩形，，， ∴，， ∵E是矩形的边延长线上一点，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， 故③正确； ∵， ∴， 故④正确； 故选：D 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个一元二次方程，满足其中一个根是1，这个方程可以是__________． 【答案】，答案不唯一． 【解析】 【分析】此题是开放性题目，主要考查了元二次方程的根即方程的解的定义．解此题的关键是设一元二次方程为，把这一根代入方程得出b，c之间的数量关系，只要求出满足该数量关系的b，c的值就可得出一元二次方程． 本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解． 【详解】解：答案不唯一． 设一元二次方程为， 把代入可得，， 所以只要，b，c的值满足即可． 如：，时，． 12. 如图，现有四张正面印有洛阳市的四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式的计算即可求解． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据题意得到龙门石窟和白马寺的结果，运用概率公式即可求解． 【详解】解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，用表示龙门石窟，应天门，白马寺，洛阳博物馆， 共有12种等可能结果，其中是龙门石窟和白马寺的有2种，即， ∴抽取龙门石窟和白马寺的概率是， 故答案为： ． 13. 已知抛物线的图象经过，，，四个点，则与的大小关系是________（填“>”或“”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据题意确定对称轴为直线，结合开口方向即可求解． 【详解】解：∵抛物线的图象经过，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线开口向上，， ∴， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两个顶点坐标是，，另一个顶点C在y轴的正半轴上，则第四个顶点D的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点轴于点，设与交于点，根据矩形的性质证明，求出，再证明，得，证明，得，进而可以求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点轴于点，设与交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质． 15. 中，，，，点D是平面上一点，D，A在的两旁，且．如果与相似，则________． 【答案】9或24 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 利用勾股定理可得，再利用相似三角形的性质分两种情形分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 与相似分两种情况： 如图，当时，， 即，解得：， ∴； 如图，当时，， 即，解得：，． 综上所述，或24． 故答案为：9或24． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算及解一元二次方程-因式分解法，熟知实数的运算法则及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， 则或， 所以． 17. 如图，在中，，，，求，的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形和勾股定理，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．过B作于D，在中求得， ，再在中根据解直角三角形求出，可得答案． 【详解】解：如图，过B作于D， ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴． 18. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）． （1）若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ； （2）李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识点，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向的数字为偶数的结果有1种，利用概率公式即可解答； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及所得两数之和为奇数的结果数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解∶由题意知，共有3种等可能的结果，其中指针指向的数字为偶数的结果有2，共1种，∴指针指向的数字为偶数的概率是． 故答案为∶． 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 共有12种等可能的结果，其中所得两数之和为奇数的结果有∶、、、、、，共6种， ∴两数之和为奇数的概率为． 19. 已知抛物线．（其中） （1）求该抛物线的对称轴及其顶点坐标； （2）①已知点，若抛物线经过线段的中点，求拋物线的解析式； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为； （2）①抛物线的解析式为：；②的取值范围 ． 【解析】 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数与方程及不等式的关系，熟练掌握二次函数的性质，并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用对称轴公式求得对称轴为直线，再代入解析式求得的值，即可求得顶点坐标； （2）①求出中点坐标，代入抛物线求得的值，即可求得抛物线的解析式；②当时，，即，解得，当时，，即，解得，即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：， 对称轴直线， 把代入， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①线段的中点坐标为，， 中点坐标为， 抛物线经过线段中点， ， ， 抛物线的解析式为：； ②抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 且抛物线与线段恰有一个公共点， 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 的取值范围为． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上． （1）求的值； （2）在不添加字母的情况下填空并证明．________． 证明： 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及相似三角形的判定知识点，解题的关键是熟练运用勾股定理求出线段长度，并依据相似三角形的判定条件证明三角形相似． （1）通过在正方形网格中利用勾股定理求出相关线段的长度，再根据三角函数的定义计算出所求三角函数值． （2）同样先利用勾股定理算出各个三角形的边长，然后通过边长之间的比例关系，依据相似三角形的判定定理来确定两个三角形相似，并完成填空和证明． 【小问1详解】 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴ ∴； 【小问2详解】 ，理由： 由图可知，，，，，， ∵， ∴， ∴． 21. 龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．它坐落在龙门山突然断裂的“伊阙”上，伊河横流，把山分成东西两座．资料显示，西山山顶A比河谷高出116米；东山又名香山，山顶D比河谷高出166米，小明游玩西山石窟后，渡河从B到C，然后沿坡度是1：0.75的登上东山山顶，俯瞰西山山顶A的俯角为．已知，量得西山的坡角是76°，求河宽．（参考数据：，，） 【答案】河宽等于246.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过作于E，于H，过D作于F，由，坡度是1：0.75，西山的坡角是76°分别解三角形得到，，，再利用线段的和差计算即可得到河宽． 【详解】解：如图，过作于E，于H，过D作于F， 则米，米， ∴米 ∵， ∴米 ∵坡度是1：0.75， ∴米， ∵ ∴米． ∴（米） 即河宽等于246.5米． 22. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为． （1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时与之间的关系式为________； （2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？ （3）李明驾驶汽车以的速度在某公路上行驶，突然发现在汽车正前方处有一障碍物，他立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距． 【答案】（1） （2）此款新型汽车合格 （3）经过时间与抛锚汽车相距 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，顶点式的特点，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）将，代入计算即可； （2）根据二次函数解析式得到顶点式即可求解； （3）根据，得到，可得当时，取得最大值，最大值为，此时汽车停止，当汽车与障碍物相距时，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴对称轴直线为， ∴此时，， ， ∴此款新型汽车刹车距离合格； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时汽车停止， ， 当汽车与障碍物相距时，， 即， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴汽车与障碍物相距时，． 23. 如图1，中，，，．延长到D，使，过D做交延长线于E． （1） 小明发现，不但存在，而且还能够得出：的长为________，的长为________； （2）将图1中的绕点A旋转到图2位置，连接，，当时，求的长度； （3）在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出的长度． 【答案】（1）3，4 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意可得、，再证明，由相似三角形的性质可得，进而求得的长； （2）由勾股定理可得，再由可得，即，解得：，进而得到，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答； （3）分点E在线段的延长线上和的延长线上两种情况，分别根据相似三角形的判定与性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵延长到D，使， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：3，6． 【小问2详解】 解：∵中，，，， ∴， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可知：在旋转过程始终有， ∴， 如图：当点E在线段的延长线上时，设交点是O，则， ∴， 设，则，， 在中，，解得：（已舍弃负值）， ∴； 如图，当点E在线段的上时， 在旋转过程中始终有， ∴， 设交点是O，则， ∴∠EBD=∠DAE=90° 设，则，， 在中，，解得：（已舍弃负值）， ∴． 综上，当B、C、E共线时，的长度是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河南省洛阳市九年级（上）期末数学试卷（华师大版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．，测得，，则树高（ ）． A. a B. C. D. 5. 如图，不能判定和相似的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 袋子中有6个红球和若干个黑球，它们除了颜色不同其它没有差别．将袋中球摇匀，然后随机摸出1球，记下颜色后放回袋中，如此重复操作从中摸很多次后发现，摸到黑球频率稳定在左右．那么，估计袋子里黑球数量大约为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 近几年，洛阳市文旅市场持续火热，从龙门石窟、应天门到洛邑古城、白马寺，处处都是灯火璀璨、人潮涌动的景象．从2021年到2023年洛阳市全年共接待国内外游客从亿人次增长到亿人次，设洛阳市全年共接待国内外游客从2021年到2023年平均增长率为，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一次函数与x轴，y轴交于A，B两点，P是反比例函数第二象限部分的动点，连接，，C是中点，平行交于D．则长度为（） A 2 B. C. 2.5 D. 无法确定 9. 小明带妹妹玩秋千，当秋千停止不动时，踏板与地面的距离米．小明推了一把，秋千旋转到位置，踏板与地面的距离米．已知，则秋千顶O与地面距离（ ）米 A. 4.3 B. 4.1 C. 4 D. 3.8 10. 如图，E是矩形的边延长线上一点，连接，分别交，于F，G，已知，，，设．则在①．②．③．④中，正确的有（ ）个 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 写出一个一元二次方程，满足其中一个根是1，这个方程可以是__________． 12. 如图，现有四张正面印有洛阳市的四个著名景点的不透明的卡片，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，王明和李洋先后分别从中随机抽取一张（不放回）．他们俩抽取的这两张卡片中，是龙门石窟和白马寺的概率是____________． 13. 已知抛物线的图象经过，，，四个点，则与的大小关系是________（填“>”或“”或“<”） 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的两个顶点坐标是，，另一个顶点C在y轴的正半轴上，则第四个顶点D的坐标是________． 15. 中，，，，点D是平面上一点，D，A在的两旁，且．如果与相似，则________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在中，，，，求，的长． 18. 在某次数学活动中，有两个如图所示的转盘，甲为三等分数字转盘，分别标有数字1、2、3，乙为四等分数字转盘，分别标有数字1、2、3、4，指针固定不变，转动转盘（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止）． （1）若单独转动甲盘，当它停止时，指针指向的数字为偶数的概率是 ； （2）李雷转动甲盘，王明转动乙盘，当两个转盘停止后，记下各个转盘指针所指区域内对应的数字，请用画树状图或列表法求所得两数之和为奇数的概率． 19. 已知抛物线．（其中） （1）求该抛物线的对称轴及其顶点坐标； （2）①已知点，若抛物线经过线段的中点，求拋物线的解析式； ②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，直接写出的取值范围． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点E与四边形的顶点都在这些小正方形的顶点上． （1）求的值； （2）在不添加字母的情况下填空并证明．________． 证明： 21. 龙门石窟被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”．它坐落在龙门山突然断裂的“伊阙”上，伊河横流，把山分成东西两座．资料显示，西山山顶A比河谷高出116米；东山又名香山，山顶D比河谷高出166米，小明游玩西山石窟后，渡河从B到C，然后沿坡度是1：0.75的登上东山山顶，俯瞰西山山顶A的俯角为．已知，量得西山的坡角是76°，求河宽．（参考数据：，，） 22. 汽车在行驶途中，为了安全，车与车之间必须保持一定的距离．因为司机发现异常情况刹车后汽车还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．经研究发现汽车开始刹车后行驶距离s满足关系式，其中是开始刹车后汽车行驶时间，v是开始刹车时的速度，a是刹车减速度，大约为． （1）某汽车研发中心研发了一款新型汽车，现对汽车以的速度行驶进行刹车测试，此时与之间的关系式为________； （2）在（1）的条件下，根据国家标准规定，此时的刹车距离在到的范围为合格，请通过计算说明此款新型汽车（刹车距离）是否合格？ （3）李明驾驶汽车以的速度在某公路上行驶，突然发现在汽车正前方处有一障碍物，他立刻刹车，试计算在汽车刹车过程中，经过多长时间汽车与障碍物相距． 23 如图1，中，，，．延长到D，使，过D做交延长线于E． （1） 小明发现，不但存在，而且还能够得出：长为________，的长为________； （2）将图1中的绕点A旋转到图2位置，连接，，当时，求的长度； （3）在旋转过程中，当B，C，E共线时，直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $