第08讲 二元一次方程组易错必刷题型专项训练（74题25个考点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（浙教版2024）

第08讲 二元一次方程组易错必刷题型专项训练（74题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 2．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于字母、的方程是二元一次方程，则 ． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（   ） A． B． C． D． 5．由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是 ．（写一个即可） 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 8．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列方程组中：①；②；③；④，其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 11．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 12．在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（   ） A．3 B．4 C． D． 14．若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 15．已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值． 【易错必刷六 消元法解二元一次方程组1】16．解方程组： (1) (2) 17．解下列方程组： (1)； (2)． 18．解方程组：． 【易错必刷七 消元法解二元一次方程组2】 19．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 20．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 21．嘉琪同学解方程组的过程如下： 解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是 你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程． 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 23．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 24．阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解方程组： (2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【易错必刷九 同解方程组】25．若关于x、y的方程组与的解相同，则的立方根为 ． 26．已知方程组和有相同的解，则a的值为 ． 27．若二元一次方程组的解也是方程的解，则a= . 【易错必刷十 二元一次方程组的错解复原问题】 28．在解关于，的方程组时，小明由于将方程（1）的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 29．甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则= ，= ，c= ． 30．已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得． (1)求a，b的值． (2)求原方程组正确的解． 【易错必刷十一 构造二元一次方程组求解】 31．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 32．若，，则的值等于（    ） A．9 B．2 C． D．不能求出 33．在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 35．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 36．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，则可列方程组为 ． 【易错必刷十三 方案问题】 37．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 38．某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格： 型号 A型 B型 每只船载客（人） 5 3 每只船租金（元） 160 105 (1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？ (2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？ 39．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 【易错必刷十四 行程问题】 40．甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 41．某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 42．今年“五一”黄金周，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4．5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米？ 【易错必刷十五 工程问题】 43．黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 44．玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 45．现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ； (2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值． 46．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【易错必刷十六 数字问题】 47．一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，若把个位与十位数字调换，得到的两位数比原数大36，这个两位数是 ． 48．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？ 【易错必刷十七 分配问题】 49．糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以糖稀冷却后制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩2个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩4根竹签．这些竹签共有多少根？山楂共有多少个？ 50．健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 51．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【易错必刷十八 销售利润问题】 52．某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 (1)求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ (2)若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 53．为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 54．麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元． (1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 56．为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 57．为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元． (1)求A，B两种品牌足球的单价． (2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？ 【易错必刷二十 几何问题】 58．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 59．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 60．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【易错必刷二十一 古代问题】 61．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋相互交换1枚，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问：黄金、白银每枚各重多少两？ 62．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．求合伙人数是多少？ 63．《孙子算经》是一本十分有名的中国古代数学典籍，许多问题浅显有趣．其中下卷第31题“鸡兔同笼”流传尤为广泛，甚至飘洋过海到了日本等国． “鸡兔同笼”问题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”你能列出方程组解决这个有趣的问题吗？ 【易错必刷二十二 其他问题】 64．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．请根据以下两位同学的对话求出甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． 65．随着全球对健康饮食和营养均衡的日益关注，许多学校开始重视学生的午餐质量．某配餐公司承接了为当地中学提供营养餐的任务，他们需要确保每餐都含有充足的蛋白质和碳水化合物，以满足学生日常学习和成长的需求．为了达到这一目标，该配餐公司决定使用两种主要的食材――甲食材和乙食材．这两种食材的营养成分如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 单位 单位 每克所含碳水化合物 单位 单位 根据营养学专家的建议，每位中学生每餐需要摄入21单位的蛋白质和40单位的碳水化合物．那么，为了满足这些营养需求，每餐应该使用甲、乙两种食材各多少克? 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 66．解方程组：． 67．解方程组： 68．解下列方程组． (1)； (2)． 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 69．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，求这个代数式的值 70．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员 小丽 小华 月销售件数（件） 200 150 月总收入（元） 1400 1250 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元． (1)求x、y的值； (2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 71．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？ 【易错必刷二十五 二元一次方程组的新定义问题】 72．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 73．定义一种新运算“※”，规定，其中，为常数，且，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 74．中考新考法 阅读理解题  新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题： 关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二元一次方程组易错必刷题型专项训练（74题25个考点） 【易错必刷一 二元一次方程的定义】 1．下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（   ） A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是①；⑤， 故选：． 2．若是关于x，y的二元一次方程，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程， 解得：， 故选：C 3．若关于字母、的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．利用二元一次方程定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【易错必刷二 二元一次方程的解】 4．下列方程中，能与方程组成二元一次方程组，且解为的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，了解方程组的解的意义是解题关键． 将代入各选项求解． 【详解】解：把代入，A选项符合题意． 不能和组成二元一次方程组，B选项不符合题意． 把代入，，C选项不符合题意． 把代入得，D选项不符合题意． 故选：A． 5．由方程可以得到用x表示y的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，把x看做已知，求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．若关于的二元一次方程的一个解是，则这个方程可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键；因此此题可根据二元一次方程的解为来得出符合条件的二元一次方程即可． 【详解】解：由题可得这个方程可以是（答案不唯一）； 故答案为（答案不唯一）． 【易错必刷三 判断是否是二元一次方程组】 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．利用二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； B、，方程组含有二次项，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； C、，符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； D、，方程组含有3个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组； 故选：C． 8．下列方程组中，①，②，③，④属于二元一次方程组的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，满足三个条件：①共含有两个未知数；②未知数的最高次数为1次；③整式方程．据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：含有三个未知数，故①不属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故②属于二元一次方程组； 满足二元一次方程组的定义，故③属于二元一次方程组； 的未知数的最高次数是2，故④不属于二元一次方程组； 故选：B． 9．下列方程组中：①；②；③；④，其中是二元一次方程组的有 ．（填序号即可） 【答案】①②④ 【分析】根据二元一次方程组的定义：“方程组中一共含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数是1”，从而可得答案． 【详解】解：由二元一次方程组的定义得到：①，②，④是二元一次方程组，而③是三元一次方程组． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义是解题的关键． 【易错必刷四 判断是否是二元一次方程组的解】 10．如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键． 【详解】解：A选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项符合题意； B选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； C选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； D选项，把代入方程得：左边，右边，所以该选项不符合题意； 故选：． 11．已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 12．在下列数对中：①；②；③；④，其中是方程的解的是 ；是方程的解的是 ；既是方程的解，又是方程的解的是 填序号 【答案】 ①③ ③ ③ 【分析】把四组值分别代入方程和，然后根据二元一次方程的解的定义进行判断． 【详解】解：；；；， ∴①③是方程的解； 当，时，， ∴①不是方程的解； 当，时，， ∴②不是方程的解； 当，时，， ∴③是方程的解； 当，时，， ∴④不是方程的解． 故答案为①③；③；③． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 【易错必刷五 已知二元一次方程组的解求参数】 13．若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故选：A． 14．若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．把，的值代入方程组进行计算，求出，的值，然后再代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：把代入中得： ， 解得：， ， 故答案为：10． 15．已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值． 【答案】 【分析】将x与y的两对值代入原方程组中的第一个方程求出A,B的值，将x与y的第一对值代入方程组的第二个方程求出C的值，即可确定所求的值． 【详解】解：由题意得， 由②得C＝1， ①×3+③得14A＝28， 解得A＝2， 把A＝2代入①得B＝3． 所以． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，关键是明白二元一次方程的解的定义以及方程组的解法． 【易错必刷六 消元法解二元一次方程组1】 16．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ②代入①得：，即， 把代入②得：， ∴方程组的解为； （2）解： ①②得：， 把代入①得：， 所以方程组的解为：． 17．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的求解方法是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：由①得③， 将③代入②中，得，解得， 将代入③中，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组整理，得， 得，解得， 将代入③中，得， ∴原方程组的解为：． 18．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先把方程后用代入消元法求解即可． 【详解】解：原方程组可变形为， 整理得， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得， ∴原方程组得解为． 【易错必刷七 消元法解二元一次方程组2】 19．下面是两名同学解方程组时的不完整的解题过程： 甲同学：，得， ． 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， . (1)甲、乙两名同学的解题过程正确吗？若不正确，请找出错误的地方及原因． (2)请你改正并完善两名同学的解题过程． 【答案】(1)甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错；乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了采用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组， （1）结合加减消元法和代入消元法的求解方法逐步判断即可作答； （2）利用加减消元法和代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：甲同学的解题过程错误，时未给②中等号前面的式子添括号致错； 乙同学的解题过程错误，将③代入②时未给③中的式子添括号致错． （2）甲同学：，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 乙同学：由①，得，③ 将③代入②，得， 解得. 将代入①，得， 解得. 原方程组的解为 20．小华在解方程组时，具体解法如下： 解：得，；……（第一步） 得，，……（第二步） 所以，； 将代入①得，．……（第三步） 所以这个方程组的解是． 任务： (1)这种求解二元一次方程组的解法叫做________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是________________________； (2)以上解答过程从第________步开始出现错误，具体错误是________________； (3)请直接写出该二元一次方程组的正确解________________________． 【答案】(1)加减消元法，等式的性质 (2)二，合并常数项时计算错误 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）根据解题步骤可知，为加减消元法，变形依据为等式的性质； （2）第二步出现错误，合并常数项时计算错误； （3）利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； （2）第二步出现错误，原因是，合并常数项计算出错； （3）解：得，③， 得，， 所以，， 将代入①得，． 所以这个方程组的解是． 21．嘉琪同学解方程组的过程如下： 解：，得 ，得 解得： 把代入②，得， 所以这个方程组的解是 你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程． 【答案】错误，过程见解析 【分析】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组，题目中第二步应该为，再进行计算即可． 【详解】解：错误． 正解如下： ，得 ，得 解得： 把代入②，得 所以这个方程组的解是． 【易错必刷八 二元一次方程组的特殊解法】 22．若关于x， y的方程组（其中是常数）的解为则关于x， y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：关于方程组（其中是常数）的解为， 方程组的解为， 解得，， 故选：． 23．若方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． 设，则方程组可化为，根据题意得出，即可求出的值． 【详解】解：设，则方程组可化为， 方程组的解为， 方程组的解为， ， ， 方程组的解为， 故答案为： 24．阅读探索：解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解方程组： (2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，可得到，解关于和的二元一次方程组，即可求得和的值 （2）设，．将关于，的方程组可转化为，即． 【详解】（1）设，． 原方程组可变为． 解得 ． 即． 所以． （2）设，． 关于，的方程组可转化为，即． 解得 ． 即 ． 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组，能根据题意构建二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷九 同解方程组】 25．若关于x、y的方程组与的解相同，则的立方根为 ． 【答案】3 【分析】由于两个方程组的解相同，那么可以重新组合方程组，解必然也相同．所以先解新的方程组，解得x与y的值，再将x与y的值代入到剩余的两个方程中，组成新的方程组，解得a与b的值，从而进行计算即可． 【详解】解：解方程组， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴， ∴的立方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同解方程组，根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解是解答此题的关键． 26．已知方程组和有相同的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】由方程组同解可得：，解方程组求解，再把求得的的值代入另外一个含系数的方程即可得到答案． 【详解】解：根据题意：和 有相同的解， 可得：， ③①得：，， 将代入①，得， 所以方程组的解：， 将代入②， 得． 故答案为： 【点睛】本题考查的是同解二元一次方程组的问题，二元一次方程组的解法，掌握利用方程组同解构建新的方程组是解题的关键． 27．若二元一次方程组的解也是方程的解，则a= . 【答案】 【分析】根据方程组的解也是方程的解得 求出x，y得值，再代入方程，即可解答. 【详解】的解也是方程的解 ∴得 解得： 把代入方程得： 解得：a= 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 【易错必刷十 二元一次方程组的错解复原问题】 28．在解关于，的方程组时，小明由于将方程（1）的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把代入中可求出，的值，再把，的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：把代入中可得： ，解得：， 把代入中可得， ，解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 29．甲乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得；则= ，= ，c= ． 【答案】 2 0 1 【分析】先把把代入求得c，把代入可得，把代入可得，最后解关于a、b的二元一次方程组即可解答． 【详解】解：把代入，解得： 再把代入可得： 把代入可得： 联立，解得． 故答案为：2，0，1． 【点睛】本题主要考查学生对二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，理解二元一次方程组的解是解答本题的关键． 30．已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得． (1)求a，b的值． (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）首先根据题意列出关于a，b的方程，再进行求解即可求得a，b的值； （2）将a，b的值代入原方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴， 将代入中，得， ∴； （2）解：由（1）得，原方程组是， ①②得， 解得：， 将代入②得， 解得， 即． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 【易错必刷十一 构造二元一次方程组求解】 31．对于实数x，y定义新运算：，其中a，b为常数．已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题是新定义题型，主要考查解二元一次方程组的能力，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．根据新定义，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， 故选B． 32．若，，则的值等于（    ） A．9 B．2 C． D．不能求出 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，将原等式变形得，，设，,得，解方程组即可求解，将原等式变形处理是解题的关键． 【详解】解：由得， 由得， 设，, 则， 解得：， ， 故选A． 33．在方程中，当时，；当时，．当时，求y的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程，以及解二元一次方程组，先构造二元一次方程组解得，然后把代入即可求出y的值． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， ∴方程为， ∴当，， 故答案为：． 【易错必刷十二 根据实际问题列二元一次方程组】 34．七件甲商品和八件乙商品共重48千克，甲商品比乙商品重，互换其中一件，恰好一样重，设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设每件甲商品重千克，每件乙商品重千克，根据七件甲商品和八件乙商品共重48千克可得方程，根据互换其中一件，恰好一样重可得方程，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 35．已知一个两位数，它的十位上的数字x比个位上的数字y大1，若对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，求这个两位数，所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需掌握的知识点是两位数的表示方法：十位数字个位数字． 关键描述语是：十位上的数字x比个位上的数字y大1，新数比原数小9．等量关系为：①十位上的数字个位上的数字；②原数新数． 【详解】解：根据十位上的数字x比个位上的数字y大1，得方程； 根据对调个位与十位上的数字，得到的新数比原数小9，得方程． 列方程组为． 故选C． 36．在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，其中有一道周瑜寿属的题目原文为“而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符”，意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数．若设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设这个两位数的十位上的数字是x，个位上的数字为y，列方程组为： ， 故答案为：． 【易错必刷十三 方案问题】 37．年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 38．某班52名师生准备去亮子河旅游，为确定旅游费用，班主任刘老师派班长去了解船只租金情况，班长得到如下表格： 型号 A型 B型 每只船载客（人） 5 3 每只船租金（元） 160 105 (1)如果两种船都租，且既不超载也不空载，那么你能设计出几种租船方案？ (2)若你是班长，为了使总租金最少，应该选择怎样的租船方案？ 【答案】(1)三种 (2)A型船8只，B型船4只 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设租A型船只，B型船只，可得，根据取正整数求出方程的解即可； （2）分别求出三种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设租A型船只，B型船只，可得（取正整数）， 解得或或， 即如果两种船都租，且既不超载也不空载，一共有三种设计方案： 方案一，租用A型船2只，B型船14只； 方案二，租用A型船5只，B型船9只； 方案三，租用A型船8只，B型船4只． （2）解：方案一的租金为：（元）， 方案二的租金为：（元）， 方案三的租金为：（元）． 由上可得方案三租金最少， 故使总租金最少，应该选择的租船方案是A型船8只，B型船4只． 39．“亲子猫”研学公司组织某中学师生共人到佛顶山去参加研学活动，请阅读下列对话，解决实际问题： 老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到佛顶山研学，一天的租金共计元．” 小英说：“我们学校七年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到佛顶山研学活动，一天的租金共计元．” (1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用应为多少元？ 【答案】(1)座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元 (2)租车费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握二元一次方程组的应用，根据题意，列出方程组，进行解答，即可． （1）设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，根据题意，列出方程组，即可； （2）设租辆座客车，辆座客车，根据题意得：，分类讨论，，的值，根据租金为，求出最省钱的方案，即可． 【详解】（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元， ∴由题意得，， 解得：． 答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元． （2）解：设租辆座客车，辆座客车， ∴ ∴ ∵，都是非负整数， ∴或或或 ∵租金为， ∴当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； 当时，（元）； ∵， ∴使用最省钱的租车方式，费用为元． 【易错必刷十四 行程问题】 40．甲、乙两人准备自行车骑行比赛，相约一同训练．两人从相距80千米的两地同时出发，相向而行，经过2个小时相遇；若甲比乙提前1小时出发，那么乙出发小时后两者相遇．求甲、乙两人的速度． 【答案】甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度． 【详解】解：设甲的速度为千米时，乙的速度为千米时， ， 解得， 答：甲的速度为16千米时，乙的速度为24千米时． 41．某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 42．今年“五一”黄金周，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4．5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时 (2)重庆港与该码头两地相距162千米 【详解】（1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，依题意，得 解得 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时． （2）设从重庆港到该码头两地相距千米，则从石宝寨到该码头两地相距千米， 依题意，得，解得． 答：重庆港与该码头两地相距162千米． 【易错必刷十五 工程问题】 43．黄河是母亲河，为打造黄河的风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框内补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________，y表示________；乙：x表示________，y表示________； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数 (2)A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米 【分析】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数米，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间工程队用的时间天，A工程队整治河道的米数工程队整治河道的米数天，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【详解】（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x米，B工程队整治河道的米数为y米，由此列出的方程组为 ； 故答案为： A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）选甲同学所列方程组解答如下： ， 得：， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：米， B工程队整治河道的米数为：米； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 44．玲玲家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需6周完成，若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？ 【答案】应选甲公司 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是通过设未知数，根据工作总量=工作时间工作效率的关系列出方程组，从而求出甲乙各自的工作效率，进而得出单独完成工作所需时间． 首先设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为．根据甲乙合作 6 周完成工作，可列出一个方程；再依据甲单独做 4 周后乙做 9 周完成工作，列出另一个方程，联立方程组求解出和的值，即得到甲乙每周的工作效率．然后根据工作时间＝工作总量工作效率，计算出甲乙单独完成工作分别需要的时间，比较两者时间长短，时间短的公司更节约时间． 【详解】设甲每周完成的工作量为，乙每周完成的工作量为， 联立方程组：    ， 解得，， 即甲单独完成需要10周，乙单独完成需要15周 因此从节约时间的角度考虑应选甲公司 45．现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． (1)根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ； (2)若设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值． 【答案】(1)A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数 (2)；60，120 【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可； （2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，得到，根据共用时20天得到：，即可得出方程组，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意和所列方程组可知：x表示A工程队整治河道的天数，表示：B工程队整治河道的天数， 故答案为：A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数； （2）设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，由题意，得： ，解得：． 即m，n的值分别为60，120． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． 46．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元 (2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． 【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算． 【易错必刷十六 数字问题】 47．一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，若把个位与十位数字调换，得到的两位数比原数大36，这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设十位数字为，个位数字为，根据十位数字与个位数字的和是8，把个位与十位数字调换，得到的两位数比原数大36，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设十位数字为，个位数字为，由题意，得： ，解得：， ∴这个两位数是； 故答案为：． 48．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？ 【答案】66 【分析】设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，根据“一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即可求出结论． 【详解】解：设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y．     所以可列：     解得：     所以     所以这个两位数是66． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【易错必刷十七 分配问题】 49．糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以糖稀冷却后制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上，如果每根竹签串5个山楂，还剩2个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩4根竹签．这些竹签共有多少根？山楂共有多少个？ 【答案】竹签有15根，山楂有77个． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，能够根据题意列出方程组是解题的关键． 设竹签有x根，山楂有y个，根据题意列出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设竹签有x根，山楂有y个， 根据题意，得 解得： 答∶竹签有15根，山楂有77个． 50．健康营养师用甲、乙两种原料为运动员的康复训练配制营养品，每克甲原料含单位蛋白质和单位铁质，每克乙原料含单位蛋白质和单位铁质． 项目 甲原料克 乙原料克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） ______ ______ ______ 其中所含铁质（单位） ______ ______ ______ (1)依据题意，填写上表： (2)如果运动员每餐需要单位蛋白质和单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足运动员的需要？ 【答案】(1)见解析 (2)克，克 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键， （1）根据题意正确列出代数式即可； （2）设每餐需甲原料x克、乙原料y克，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解： 项目 甲原料x克 乙原料y克 所配制营养品 其中所含蛋白质（单位） 其中所含铁质（单位） （2）解：设每餐需甲原料x克、乙原料y克， 根据题意，得， 化简，得 解这个方程组得． 所以每餐甲、乙两种原料分别是克、克时恰好满足运动员的需要． 51．已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每人每天300元．为吸引客源，促进旅游，在“十·一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间，双人间客房．如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ 【答案】租住了三人间8间、双人间13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设三人间有a间，双人间有b间， 根据题意得：， 解得：， 答：租住了三人间8间、双人间13间． 【易错必刷十八 销售利润问题】 52．某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如下表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 (1)求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ (2)若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 【答案】(1)该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子 (2)他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚40元钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组． （1）设批发黄瓜，茄子，根据黄瓜和茄子共，共花了90元，列出二元一次方程组计算求解； （2）根据黄瓜和茄子的斤数，再求出每斤黄瓜和茄子赚的钱数，即可求出总的赚的钱数． 【详解】（1）解：设批发黄瓜，茄子． 根据题意得方程组， 解得， 答：该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子； （2）解： （元） 答：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚40元钱． 53．为丰富学生的社会实践活动，八年级（1）班开展了一次水果售卖体验活动．其中第一小组花380元从水果批发市场批发了苹果和桔子共50千克到零售市场售卖，苹果和桔子当天的批发价与零售价如下表所示： 价格水果种类 批发价（元／千克） 零售价（元／千克） 苹果 6 8.4 桔子 10 13 (1)第一小组当天批发苹果和桔子各多少千克？（要求用二元一次方程组解决问题） (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚多少元？ 【答案】(1)第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 (2)该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用知识点，解题的关键是根据题目中的条件找到合适的等量关系，列出二元一次方程组并求解． （1）设批发苹果千克，批发桔子千克．题目中存在两个等量关系，一是苹果和桔子共 50 千克，可列方程；二是批发苹果和桔子总共花费 380 元，根据批发价可列方程．联立这两个方程组成方程组，通过消元法求解即可得； （2）利润=售价-成本，通过计算每种商品的利润再求和，可得到总利润． 【详解】（1）设第一小组当天批发苹果千克，批发桔子千克， 根据题意，得， 解这个方程组，得． 答：第一小组当天批发苹果30千克，批发桔子20千克 （2）（元）． 答：该小组当天售卖完这些苹果和桔子可赚132元． 54．麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元． (1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份； (2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值． 【答案】(1)97份，39份 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，根据“已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元”，进行列二元一次方程组，再解得，即可作答． （2）依题意，列出一元一次方程，再解出，即可作答． 【详解】（1）解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，由题意得 解得； ∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份， （2）解：由题意得, ， ∴ 解得． 【易错必刷十九 和差倍分问题】 55．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某校开展了大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，最初男生报名人数比女生多3人，后来又有15名女生报名参加了跳绳活动，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，求最初报名时女生与男生各有多少人？ 【答案】最初报名时男生有12人，女生有9人． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设最初报名时女生有x人，男生有y人，由题意：男生报名人数比女生多3人，后来又报了15名女生，这时女生人数恰好是男生人数的2倍，列出方程组，解之即可． 【详解】解：设最初报名时女生有x人，男生有y人， 依题意，得：， 解得：， 答：最初报名时男生有12人，女生有9人． 56．为响应政府号召，陵水县圣女果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台“拼多多”上零售圣女果，已知线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元；线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同．求线上零售和线下批发圣女果的单价分别为每千克多少元？ 【答案】线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元，根据线上零售40千克、线下批发圣女果80千克共获得销售额4000元，线上零售60千克和线下批发80千克圣女果的销售额相同，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设线上零售圣女果单价为每千克x元，线下批发圣女果单价为每千克y 元． 根据题意得： 解得： 答：线上零售圣女果单价为每千克40元，线下批发圣女果单价为每千克30 元． 57．为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元． (1)求A，B两种品牌足球的单价． (2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？ 【答案】(1)A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元 (2)学校最少需要花费2120元 【分析】（1）根据购买6个品牌的足球和4个品牌的足球共需960元；购买5个品牌的足球和2个品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到的取值范围，再依次代入计算可得结果． 【详解】（1）解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元， 由题意可得：， 解得， 答：种品牌的足球单价为80元，种品牌的足球单价为120元； （2）若购品牌的足球个，则购买品牌的足球个， 则共需要元， 购买品牌的足球不少于3个且不多于7个， 购买品牌的足球有3个或4个或5个或6个或7个， 分别代入可得：当购买品牌的足球7个时，式子取得最小值，原式， 答：学校最少需要花费2120元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的代数式． 【易错必刷二十 几何问题】 58．如图，在长为，宽为的长方形展厅划出三个形状、大小完全相同的小长方形摆放水仙花，其示意图如图所示．求一个小长方形的周长． 【答案】 【分析】此题考查二元一次方程组的运用，看清图意，正确列出方程组解决问题．设小长方形的长为，宽为，由图可知，长方形展厅的长是，宽为，由此列出方程组求解即可． 【详解】解：小长方形的长为，宽为，由图可得： ， 两式相加得，， ∴， 则小长方形的周长为． 59．如图，小雯家客厅的电视背景墙是由10块相同的小长方形墙砖砌成的大长方形，已知电视背景墙的高度为． (1)求每块小长方形墙砖的长和宽； (2)求电视背景墙的面积． 【答案】(1)长为，宽为 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、长方形面积等知识，读懂题意列出方程是解决问题的关键． （1）设一块长方形墙砖的长为，宽为，列方程组求解即可得到答案； （2）利用面积公式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为， 依题意得，解得， 答：一块长方形墙砖的长为，宽为； （2）解：求电视背景墙的面积为， 答：电视背景墙的面积为． 60．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器（加工时接缝材料忽略不计）．    (1)填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 1只横式无盖铁容器中 (2)现有长方形铁片300张，正方形铁片100张，如果将两种铁片刚好全部用完，则可加工的竖式和横式长方体铁容器各有多少个？ (3)把无盖铁容器加盖可以加工成铁盒．现工厂准备将35块铁板裁剪成长方形铁片和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1块铁板可裁成3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁成1张长方形铁片和2张正方形铁片．问：该工厂充分利用这35张铁板，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1)见解析 (2)可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个 (3)最多可以加工成19个铁盒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组或二元一次方程． （1）根据图2进行填表即可； （2）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片300张、正方形铁片100张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，根据裁成的长方形铁片和正方形铁片正好配套，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n，均为非负整数，即可得出各裁剪方案，再分别求出各方案所能加工成的铁盒数量，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据图2可知：1只竖式无盖铁容器中长方形铁片4张，正方形铁片1张；1只横式无盖铁容器中长方形铁片3张，正方形铁片2张； 填表： 长方形铁片张数 正方形铁片张数 1只竖式无盖铁容器中 4 1 1只横式无盖铁容器中 3 2 （2）解：设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个， 依题意，得：， 解得：． 答：可以加工竖式长方体铁容器60个，横式长方体铁容器20个． （3）解：设用m块铁板裁成长方形铁片，n块铁板裁成正方形铁片，则用块铁板裁成长方形铁片和正方形铁片，依题意，得： ， ∴， ∵m，n，均为非负整数， ∴或， 当，时，； 当，时，； ∵， ∴最多可以加工成19个铁盒． 【易错必刷二十一 古代问题】 61．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金质量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银质量相同），两袋质量相等，两袋相互交换1枚，甲袋比乙袋轻了13两（袋子质量忽略不计），问：黄金、白银每枚各重多少两？ 【答案】每枚黄金重两，每枚白银重两． 【详解】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据题意设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，可得等量关系，根据等量关系列出方程即可． 【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两， 由题意得：， 解得，， 答：每枚黄金重两，每枚白银重两． 62．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．求合伙人数是多少？ 【答案】合伙买羊的有21人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解二元一次方程组，设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱， 依题意，得：，解得． 答：合伙买羊的有21人． 63．《孙子算经》是一本十分有名的中国古代数学典籍，许多问题浅显有趣．其中下卷第31题“鸡兔同笼”流传尤为广泛，甚至飘洋过海到了日本等国． “鸡兔同笼”问题为：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”你能列出方程组解决这个有趣的问题吗？ 【答案】笼中有鸡23只，兔12只 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，审清题意，找出题中数量关系是解题的关键．设鸡有只，兔有只，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得，， 解得． 答：笼中有鸡23只，兔12只． 【易错必刷二十二 其他问题】 64．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小星和小红都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．请根据以下两位同学的对话求出甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？ 小星：我买了1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型，共花了40元． 小红：我买了2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型，共花了95元． 【答案】甲种飞船模型每件进价25元，乙种飞船模型每件进价15元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． 设甲种飞船模型每件进价x元，乙种飞船模型每件进价y元，根据1件甲种飞船模型和1件乙种飞船模型的售价共计40元，2件甲种飞船模型和3件乙种飞船模型的售价共计95元，建立二元一次方程组，解之即可； 【详解】解：设甲种飞船模型每件的售价为元，乙种飞船模型每件的售价为元， 根据题意得， 解得， 答：甲种飞船模型每件的售价为25元，乙种飞船模型每件售价为15元． 65．随着全球对健康饮食和营养均衡的日益关注，许多学校开始重视学生的午餐质量．某配餐公司承接了为当地中学提供营养餐的任务，他们需要确保每餐都含有充足的蛋白质和碳水化合物，以满足学生日常学习和成长的需求．为了达到这一目标，该配餐公司决定使用两种主要的食材――甲食材和乙食材．这两种食材的营养成分如下表所示： 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 单位 单位 每克所含碳水化合物 单位 单位 根据营养学专家的建议，每位中学生每餐需要摄入21单位的蛋白质和40单位的碳水化合物．那么，为了满足这些营养需求，每餐应该使用甲、乙两种食材各多少克? 【答案】每餐需要甲食材65克，乙食材2克 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出方程组求解即可． 【详解】解：设每餐需要甲食材x克，乙食材y克， 根据题意得：， 解得：， 答：每餐需要甲食材65克，乙食材2克． 【易错必刷二十三 解三元一次方程组】 66．解方程组：． 【答案】． 【分析】根据解三元一次方程组的方法解方程即可． 【详解】解：． ①+②，得④， ②+③，得⑤， ④⑤，得，解得． 把代入④，得，解得． 把，代入③，得，解得． 所以原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题是解题关键． 67．解方程组： 【答案】 【分析】先①②和②③消去后，再解二元一次方程组即可． 【详解】解：， ①②得：④， ②③得：⑤， ④⑤得：， ④⑤得：， 把代入②得：， 所以方程组的解是：． 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元思想． 68．解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用代入消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可； （2）用加减消元法把三元一次方程组化简为二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 化简得：， 把①代入③得：， 化简得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， ∴原方程的解为 （2）解： 得：， 得：， 把代入②得：， 把，代入①得：， ∴原方程的解为 【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法、代入消元法是解题关键． 【易错必刷二十四 三元一次方程组的应用】 69．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当时，其值为25；则当时，求这个代数式的值 【答案】52 【分析】本题主要考查了代数式求值，解三元一次方程，正确建立三元一次方程组求出a、b、c的值是解题的关键．根据已知条件可知，由此解方程组求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得 用得：④， 用得：⑤， 用得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴当时，， 即当时，求这个代数式的值为52． 70．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员 小丽 小华 月销售件数（件） 200 150 月总收入（元） 1400 1250 假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元． (1)求x、y的值； (2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？ 【答案】(1)x的值为800，y的值为3 (2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元 【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可； （2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解． 【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元． 由题意得， 解得， 即x的值为800，y的值为3； （2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元． 则可列方程组：， 将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150， 答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元． 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 71．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元．现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？ 【答案】105元 【分析】先设甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，根据购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元，购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元，列出方程组求出的值即可. 【详解】解：设购甲、乙、丙各一件分别需要x，y，z元，根据题意得： ①×3-②×2得． 则现在购甲、乙、丙各一件共需105元 【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据题意设出未知数，列出方程组，注意要把x，y，z以整体形式出现． 【易错必刷二十五 二元一次方程组的新定义问题】 72．定义运算：，例如：，所以方程的解的情况是（  ） A．有且只有一组解 B．有无数组解 C．无解 D．有且只有两组解 【答案】B 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题中定义． 根据“”表示出，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴有无数组可以满足， 故选：B． 73．定义一种新运算“※”，规定，其中，为常数，且，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】首先根据题意，可得，应用加减消元法，求出方程组的解；然后根据※，求出2※3的值即可．此题主要考查了定义新运算，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． 【详解】解：※，其中，为常数，且，， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， ． 故选：B． 74．中考新考法 阅读理解题  新定义：若关于x，y的两个二元一次方程组的解中，x值（或y值）相等，y值（或x值）互为相反数，则称这两个方程组为“友好方程组”．例如：方程组的解为方程组的解为两个方程组的解中，x值相等，y值互为相反数，所以与为“友好方程组”．请你根据上述描述，解决问题： 关于x，y的二元一次方程组与为“友好方程组”，求a，b的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了二元一次方程组以及新定义的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 结合“友好方程组”的定义进行分类讨论，①若x值相等，y值互为相反数，先得出原方程组的解为，同理可知方程组的解为联立⑤，⑥得方程组解得以及②若y值相等，x值互为相反数，得，⑦，得，⑧，再建立方程组，进行计算，即可作答． 【详解】解：分情况讨论：①若x值相等，y值互为相反数， 由①得，由④得， 则，解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为 将代入②中，得，⑤ 同理可知方程组的解为 将代入③，得，⑥ 联立⑤，⑥得方程组解得 ②若y值相等，x值互为相反数， 由①得，由④得， 则，解得， 将代入①，得， 解得， 原方程组的解为 将代入②，得，⑦ 同理可得的解为 将代入③，得，⑧ 联立⑦，⑧得方程组 解得 综上所述，a，b的值为或 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$