第二十六章反比例函数巩固练习2024-2025学年人教版数学九年级下册

第二十六章反比例函数 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（　　） A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟 2．如果反比例函数的图象经过点，则k的值是（    ） A．1 B． C． D．3 3．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．如图，过坐标原点的直线AC与函数相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记的面积为的面积为，则（  ） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 5．已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（    ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 6．下列函数：①y＝3x；②y＝；③y＝x－1；④y＝＋1.其中是反比例函数的有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．已知点A在函数（x>0）的图象上，点B在直线（为常数，且k≥0）上，若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为 A．有对或对 B．只有对 C．只有对 D．有对或对 8．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示，当压强不超过400 Pa时，木板的面积应（    ） A．不大于1.5 m2 B．不小于1.5 m2 C．不大于m2 D．不小于m2 9．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连结，当轴时，的值是（    ） A． B． C． D． 10．已知A（-1，），B（2，）两点在双曲线上，且，则m的取 值范围是（   ） A． B． C． D． 11．下列关系式中的两个量成反比例的是(   ) A．圆的面积与它的半径； B．正方形的周长与它的边长； C．路程一定时，速度与时间； D．长方形一条边确定时，周长与另一边． 12．当x＞0时，反比例函数（　　） A．图象在第四象限，y随x的增大而增大 B．图象在第三象限，y随x的增大而增大 C．图象在第二象限，y随x的增大而减小 D．图象在第一象限，y随x的增大而减小 二、填空题 13．如图，在平面直角坐标系中，点P是第一象限内的一点，其纵坐标为2，过点P作轴于点Q，以为边向右侧作等边，若反比例函数的图象经过点P和点M，则k的值为 ． 14．如果点、在反比例函数的图像上，那么、的大小关系是 ．（用“＜”号连接） 15．已知反比例函数y=-的图象经过点P（2，a），则a= . 16．反比例函数的比例系数为 . 17．已知双曲线经过直线与的交点，则它的解析式为 ． 三、解答题 18．小华画的反比例函数的图象如图所示，你认为他画得对吗？反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？ 19．如图1，木匠陈师傅现有一块五边形木板，它是矩形木板用去后的余料，，，，是边上一点．陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上． (1)[初步探究] 当时． ①若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； ②若截取的矩形有一边是，则截取的矩形面积的最大值是______； (2)[问题解决] 如图2，陈师傅还有另一块余料，，，，，，且和之间的距离为4，若以所在直线为轴，中点为原点构建直角坐标系，则曲线是反比例函数图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，所截矩形材料面积是．求的长． 20．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限内的图象交于和两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量x的取值范围 (3)求△AOB面积． 21．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求反比例函数的关系式； (2)若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数的图象上时，求线段OD扫过图形的面积． (3)在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请直接写出点P坐标. 22．已知反比函数，当x＝2时，y＝3． (1)求m的值； (2)当3≤x≤6时，求函数值y的取值范围． 23．一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 24．已知是的函数，给出了几组和的对应值，请根据表格中的数据特点填空． 第1组： 0 5 10 10 5 0 【观察】和同时呈现等差变化 【得出结论】是的 函数 第2组： 1 2 10 5 【观察】与的乘积均为10 【得出结论】是的 函数 第3组： 1 2 3 6 【观察】与的乘积均为 【得出结论】是的 函数 第4组： 0 1 2 12 【观察】当和时，的值均为 【得出结论】是的 函数 第5组： 0 3 0 【观察】随着的增大，的值先增大后减小 【得出结论】是的 函数 第6组： 1 2 1 0 4 9 【观察】随着的增大，的值先减小后增大 【得出结论】是的 函数 第7组： 2 4 0 3 5 【描点画图】 【得出结论】是的 函数 第8组： 0 1 2 4 0 2 8 【描点画图】 【得出结论】是的 函数 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章反比例函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C C C A B C D 题号 11 12 答案 C A 1．C 【分析】分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y=8时，x的值，从而得到有效消毒时间． 【详解】解：当0≤x≤6时，设y=mx， 将点（6，16）代入，得：16=6m，解得m=， ∴y=； 当x＞6时，设y=， 将点（6，16）代入，得：16=， 解得：n=96， ∴y=； 综上，y=； 当0≤x≤6时，若y=8，则x=8， 解得x=3； 当x＞6时，若y=8，则， 解得x=12； ∴12-3=9（分钟）， 故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟． 故选：C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 2．C 【分析】把点的坐标代入反比例函数解析式中得到一元一次方程并求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握该知识点是解题关键． 3．A 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．对进行分类讨论，结合选项进行排除即可． 【详解】解：当时，， 反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象经过一、三、四象限，故C，D错误； 当时，， 反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象经过一、二、四象限，故B选项错误，A选项正确； 故选：A． 4．C 【详解】解：结合题意可得：A、C都在双曲线上，由反比例函数系数k的几何意义有S1=S2．故选C． 点睛：本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点． 5．C 【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可． 【详解】解：A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意； B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数关系和反比例函数关系，熟练掌握正比例函数关系和反比例函数关系的定义是解题的关键． 6．C 【详解】分析：此题应根据反比例函数的定义，解析式符合y=（k≠0）的形式为反比例函数． 详解：①是正比例函数，故A选项错误； ②属于反比例函数，故B选项正确； ③是反比例函数，故C选项正确； ④不是反比例函数，故D选项错误． 故选C． 点睛：本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 7．A 【详解】解：设A（a，）， 由题意知，点A关于原点的对称点B（−a，）在直线y2=kx+1+k上， 则=−ak+1+k， 整理，得：ka2−（k+1）a+1=0①， 即（a−1）（ka−1）=0， ∴a−1=0或ka−1=0， 则a=1或ka−1=0， 若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对； 若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对， 综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对， 故选A． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标． 8．B 【分析】设反比例函数关系式为，将点代入，即可得出反比例函数解析式，再将时，求S的值即可得出答案． 【详解】解：设反比例函数关系式为，将点代入，得， ， 解得：， 反比例函数关系式为， 当时，， 当压强不超过400 Pa时，木板的面积应不小于1.5 m2， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是将实际转化为函数问题是解题的关键． 9．C 【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得ACOB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE＝OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝，所以D点坐标为（−4，），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值． 【详解】解：延长AC交y轴于E，如图， ∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上， ∴ACOB， ∴AE⊥y轴， ∵∠BOC＝60°， ∴∠COE＝30°， ∴CO=2CE 而顶点C的坐标为， ∴OE＝，CE=-m，CO=-2m， ∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2 =（-m）2+（）2， 解得m=-2 ∴OC＝2CE＝4， ∴C ∵四边形ABOC为菱形， ∴OB＝OC＝4，∠BOA＝30°， ∴OD=2BD 在Rt△BDO中，DO2=BD2+OB2，即（2BD）2 = BD 2+42， ∴BD＝， ∴D点坐标为（−4，）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴k＝−4×＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 10．D 【详解】∵A（，），B（2，）两点在双曲线上， ∴． ∵， ∴，解得． 故选D． 11．C 【分析】根据反比例的定义判断即可． 【详解】解：A、设圆的半径为r，则圆的面积为，不是反比例关系，故本选项错误； B、正方形的周长边长，不是反比例关系，故本选项错误； C、路程s一定时，则，即速度v与时间t成反比例，故本选项正确； D、设长方形的一条边为a，另一条边为b，周长为c，则，不是反比例关系，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查反比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系． 12．A 【详解】解：∵反比例函数中的-2＜0，∴该反比例函数经过第二、四象限； 又∵x＞0，∴图象在第四象限；y随x的增大而增大． 故选A． 点睛：反比例函数（k≠0），当k＞0时，其图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，其图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．此题考查了反比例函数的性质． 13． 【分析】作轴交x轴于点N，分别表示出、，利用k的几何意义即可求出答案． 【详解】解：过点M作轴，如图所示， ∵轴，是等边三角形， ∴， ∵P点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴， 设点P坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，涉及到了直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义是解题关键． 14． 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 15．-3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将坐标代入即可得出a的值． 【详解】解：把点P（2，a）代入反比例函数y=-中，a=-3． 故答案为-3． 【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标的求法，把已知量代入求得未知量，得出坐标． 16． 【分析】化为一般形式后可直接得出比例系数. 【详解】解：， ∴比例系数为， 故答案为. 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，将函数化为一般形式是解题的关键． 17． 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式．先根据题意将两个已知的函数组成方程组求出交点，然后代入反比例函数解析式中求出系数，最后写出解析式即可． 设出反比例函数解析式y=，将与组成方程组求出交点，然后代入反比例函数解析式中即可得解． 【详解】解∶设反比例函数解析式为y=， 将与组成方程组 得：， 解得， ∴4=，解得， 则函数解析式为y=． 故答案为y=． 18．不对，反比例的图像不能与x轴和y轴相交，理由见解析 【分析】根据反比例函数的解析式可知，再结合坐标轴上点的坐标特征可知：反比例函数图像与与x轴和y轴没有交点 【详解】小华画的不对． 对于反比例函数，6除以任何不为零的数都不等于0，即，所以反比例函数的图像上没有纵坐标为0的点，所以图像与x轴不能相交； 对于反比例函数，x在分母上，0不能作除数，所以，所以反比例函数的图像上没有横坐标为0的点，所以图像与y轴不能相交． 【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题关键． 19．(1)①4；②10 (2) 【分析】（1）①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大； ②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大； （2）由题意可知，，，，再由点在函数图象上，求出反比例函数的解析式为，再求点，，用待定系数法求出直线的解析式，设，则，再由方程，求出的值即可求的长． 【详解】（1）解：①当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大， ，， ， 截取的矩形面积的最大值4； 故答案为：4； ②当为矩形一条边，为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大， ，， ， 截取的矩形面积的最大值10； 故答案为：10； （2）解：， ，， ， ，， 点在函数图象上， ， 反比例函数的解析式为， 和之间的距离为4，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， 解得， 的长为． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． 20．(1)． (2)1﹤x﹤3． (3)4． 【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得n的值，再代入反比例函数解析式可求得k，即可得出反比例函数的表达式； （2）根据A，B点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x的取值范围； （3）设一次函数与x轴交于点C，可求得C点坐标，利用可求得的面积． 【详解】（1）解：（1）∵点A在一次函数图象上， ∴n=-1+4=3， ∴A（1，3）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴k=3×1=3， ∴反比例函数的表达式为 （2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x的取值范围为1＜x＜3． （3）如图，设一次函数与x轴交于点C， 在y=-x+4中，令y=0可求得x=4， ∴C（4，0），即OC=4， 将B（3，m）代入y=-x+4，得m=1，∴点B的坐标为（3，1）． 故△AOB的面积为4． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键． 21．(1)反比例函数y=(x>0)； (2)线段OD扫过的面积为； (3)P点作标（，0） 【分析】（1）作DE⊥BO，DF⊥x轴于点F，求出A点坐标，求出表达式即可． （2）将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上，求出D′点的纵坐标为3，表示出DF、OO′再求出线段OD扫过图形的面积． （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，求出直线的关系式，再求出P点坐标． 【详解】（1）作DF⊥x轴于点F， ∵点D的坐标为(4，3)， ∴FO=4，DF=3， ∴DO=5， ∴AD=5， ∴A点坐标为：(4，8)， ∴xy=4×8=32， ∴k=32； 反比例函数y=(x>0) （2） ∵将OD向右平移，使点D落在反比例函数y=(x>0)的图象上， ∴DF=3， =3， ∴点的纵坐标为3， ∴3=，x=， ∴=， ∴=−4=， ∴平行四边形 平移的面积S=×3=； （3）作B点关于x轴的对称点 ，连接交x轴于点P，此时PA+PB有最小值， ∵OB＝OD＝5 ∴点B的坐标是(0，5)， ∴点的坐标是(0，-5)， 设直线的关系式 把A (4，8)，(0，-5)代入解析式得∶ 解得： 当y=0时，， ∴PA+PB有最小值，P点作标（，0 ） 【点睛】本题考查了菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的面积、待定系数法求一次函数，解题的关键是利用菱形性质找出点A、B的坐标，利用坐标求出一次函数． 22．（1）m＝－1；（2）1≤y≤2． 【详解】解：(1)把x＝2，y＝3代入，得，解得m＝－1． (2)由m＝－1知，该反比例函数的解析式为． 当x＝3时，y＝2． 当x＝6时，y＝1． ∴当3≤x≤6时，函数值y的取值范围是1≤y≤2． 23．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 24．一次；反比例；反比例；二次；二次；二次；画图见解析，一次；画图见解析，二次 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的判断，熟练掌握一次函数、反比例函数及二次函数的图像与性质是解题关键．根据表格所给数据及相应图像，即可得出结论或画出图像． 【详解】解：第1组：根据题意得：和同时呈现等差变化，是的一次函数； 第2组：与的乘积均为10，是的反比例函数； 第3组：与的乘积均为，是的反比例函数； 第4组：当和时，的值均为，是的二次函数； 第5组：随着的增大，的值先增大后减小，是的二次函数； 第6组：随着的增大，的值先减小后增大，是的二次函数； 故答案为：一次；反比例；反比例；二次；二次；二次； 第7组：画图如下： 是的一次函数； 故答案为：一次； 第8组：画图如下： 是的二次函数． 故答案为：二次． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$