27.2相似三角形巩固练习 2024-2025学年人教版数学九年级下册

27.2相似三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，将△ABC沿着DE剪成一个小三角形ADE和一个四边形D'E'CB，若DE∥BC，四边形D'E'CB各边的长度如图所示，则剪出的小三角形ADE应是（　　） A． B． C． D． 2．若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为（    ） A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．1：3 3．如图，在中，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是边长为1的正方形，是等边三角形，连接并延长交的延长线于点H，连接交于点Q，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．如图，已知AD是△ABC的中线，AE=EF=FC，下面给出三个关系式：①AD=2AG；②GE：BE=1：3；③，其中正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 6．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．彭老师身高，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（    ） A． B． C． D． 9．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（        ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（　　） A．3 B．6 C．6 D．3 11．如图，已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，点在边上，的延长线交于点，下列结论错误的是(   )    A． B． C． D． 二、填空题 13．我国魏晋时期数学家刘徽编撰的最早一部测量数学著作《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直．从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合．从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合．问岛高几何？    译文：今要测量海岛上一座山峰的高度，在B处和D处树立标杆和，标杆的高都是3丈，B和D两处相隔步（1丈=10尺，1步=6尺），并且和在同一平面内．从标杆后退123步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退127步的G处可以看到顶峰A和标杆顶端E在同一直线上．则山峰的高度是 ．    14．如图，，，在、、、、、中写出一对相似三角形 ． 15．小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是，幻灯片到屏幕的距离是，幻灯片上小树的高度是，则屏幕上小树的高度是 ． 16．已知两个等腰三角形相似，其中一个等腰三角形的腰长和底边长分别为8 cm和6 cm，若另一个等腰三角形的底边长为4 cm，则它的腰长为 cm． 17．如图，在中，点，，分别在，，上，，，且，已知四边形的面积为，则的面积为 ． 三、解答题 18．如图，，，，，，． （1）求的长； （2）求的长； （3）求的大小． 19．如图，中，为斜边上的高，E为的中点，的延长线交于F，交于G，求证：FG2＝FC•FB． 20．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 21．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，则∠ACB=　 ． （2）如图，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长． 22．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、(点不与点重合，点不与点重合)，设，. (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对加以证明. (2)求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围. 23．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 24．如图，O是线段上一点，以O为圆心，长为半径的交于点A，点C在上，连接，满足． (1)求证：． (2)若，求的值 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《27.2相似三角形》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C A C A C D 题号 11 12 答案 A B 1．C 【分析】利用相似三角形的性质即可判断． 【详解】设AD＝x，AE＝y， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∴x＝9，y＝12， 故选C． 【点睛】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．C 【分析】由相似三角形对应线段的比等于相似比可求得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高线之比是3：1， ∴两个相似三角形的相似比是3：1， ∴它们对应角的平分线之比为3：1． 故选：C 【点睛】本题主要了考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键． 3．C 【分析】由DE∥BC可证明△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得（cm）． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 4．D 【分析】根据等边三角形和正方形的性质对①进行判断，根据相似三角形对②进行判断，根据三角形的性质对③进行判断，由三角形面积公式对④进行判断. 【详解】解：∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， 则，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 如图，过点Q作于E， 设，则，， ∴， 由知， 解得， ∴， ∵， ∴， 则，故③错误； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形、正方形的性质对、相似三角形、三角形的性质和三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握等边三角形、正方形的性质对、相似三角形、三角形的性质和三角形面积公式. 5．C 【分析】根据三角形的中位线的性质定理和平行线分线段定理的推论即可判定，根据已知对各个关系式进行分析，从而得到正确的选项． 【详解】∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∵EF=FC， ∴DF为△CBE的中位线， ∴DF∥BE， ∴△CDF∽△CBE，△AGE∽△ADF， ∴GE：DF=AG：AD=1：2，DF：BE=1：2， ∴GE：BE=1：4，①正确； 连接GF，设BE、DF之间的距离是h， 根据题意，得S△BDG=BG•h，S四边形EFDG=S△DFG+S△EGF=DF•h+EG•h， 又∵DF：BG=2：3，DF=GE， ∴S△BDG=DF•h，S四边形EFDG=DF•h， ∴S△BDG=S四边形EFDG， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理．解题的关键是证明DF是△CBE的中位线，EG是△ADF的中位线． 6．A 【分析】作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G，先通过角度等量代换证明，求出，再证明，求出，，则，，由此可解． 【详解】解：如图， 作轴于点D， 过点A作轴于点E，过点C作轴于点G， ∵点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3， ∴，，， ∵轴，轴，轴， ∴， ∵ 四边形AOBC是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵ 四边形AOBC是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵点C在第二象限， ∴点C的坐标是． 故选A． 【点睛】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关键． 7．C 【分析】由勾股定理可求AC＝6，通过证明△DEB∽△CAB，可得，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8， ∴AC6， ∵DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠C＝90°， 又∵∠B＝∠B， ∴△DEB∽△CAB， ∴， ∴， ∴DE＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 8．A 【分析】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【详解】解：解：设彭老师举起的手臂超出头顶是，根据同一时刻物高与影长成比例，得， 解得：． 故选：A． 9．C 【分析】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【详解】过点M作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此， ∵截得的三角形与△ABC相似， ∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意 ∴过点M作直线l共有三条． 故选C． 10．D 【分析】过点F作FM⊥AD于M，证△AEG∽△MEF，设AG=x，利用相似的性质用含x的代数式表示EM的长度，在Rt△GBF中，利用勾股定理用含x的代数式表示出GF2，利用函数的性质求出其最小值，再求出GF的最小值即可． 【详解】解：如图，过点F作FM⊥AD于M， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6， ∵EF⊥GE， ∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°， ∴∠AGE＝∠MEF， ∴△AEG∽△MFE， ∴， 设AG＝x， ∵AD＝9，DE＝2AE， ∴AE＝3， ∴， ∴ME＝2x， ∴BF＝AM＝3+2x， 在Rt△GBF中， GF2＝GB2+BF2 ＝（6﹣x）2+（3+2x）2 ＝5x2+45， ∵点G在线段AB上， ∴0≤x≤6， 由二次函数的性质可知，当x＝0时，GF2有最小值45， ∴GF的最小值为3， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值等，解题关键是要善于运用函数思想求最值． 11．A 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，符合题意； 选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴选项C、D均错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 12．B 【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,根据相似三角形的判定得出△FEC∽△FAD,△AEB∽△FEC,再根据相似三角形的性质得出比例式即可． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD， A、∵BC∥AD， ∴△FEC∽△FAD， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确，故本选项不符合题意； B、∵BC∥AD， ∴△FEC∽△FAD， ∴, ∵AD＝BC， ∴， ∴错误，故本选项符合题意； C、∵BC∥AD， ∴△FEC∽△FAD， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确，故本选项不符合题意； D、∵AB∥CD， ∴△AEB∽△FEC， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定,解决本题的关键是要能根据相似三角形的性质得出正确的比例式． 13．1255步 【分析】先证、可得、，再结合可得，进而求得（步），最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴（步）， 又∵， ∴（步）， 故答案为：1255步． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、相似三角形的应用等知识点，根据题意、正确找到相似三角形是解答本题的关键． 14． 【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解． 【详解】解：设AP， ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD， ∴AP=PB=BC=CD， ∴AB=， ∴，， ∴， 又∵∠ABC=∠DBA， ∴△ABC∽△DBA， 故答案为：△ABC∽△DBA． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 15． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键利用投影得出比例式； 设小树的高度为，再根据投影得出出比例式即可求解． 【详解】解：设小树的高度为，， 根据投影得，， 解得， 故答案为60． 16． 【分析】设另一个等腰三角形的腰长为xcm，利用相似三角形的性质列出比例式，可求得答案． 【详解】解：设另一个等腰三角形的腰长为xcm， ∵这两个等腰三角形相似， ∴，解得x＝， ∴另一个等腰三角形的腰长为cm， 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 17． 【分析】由DE∥BC、DF∥AC，可得出△ADE∽△ABC、△DBF∽△ABC，根据相似三角形的性质结合，可得出，再根据S四边形DECF=S△ABC-S△ADE-S△DBF，即可求出△ABC的面积． 【详解】解：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴△ADE∽△ABC，△DBF∽△ABC． ∵ ∴S四边形DECF=S△ABC-S△ADE-S△DBF， 故答案为 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出是解题的关键． 18．（1）AB的长是3；（2）CD的长是；（3）∠BAD是153°． 【详解】试题分析：已知△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质可得∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°， ，然后根据已知边的长求出边AB和CD的长；再由相似三角形对应角相等，求出∠BAD的度数即可． 试题解析：解：∵△ABC∽△DAC， ∴∠DAC=∠B=36°，∠BAC=∠D=117°， ， 又AD=2，AC=4，BC=6， ∴AB=3，CD= ． ∠BAD=∠DAC+∠BAC=36°+117°=153°． 答：（1）AB的长是3；（2）CD的长是；（3）∠BAD是153°． 考点：相似三角形的性质． 19．见解析 【分析】延长AC，GF相交于点H，可得到△HCF∽△BGF，由相似的性质得到，即CF•BF＝FG•HF，然后只要证明FG＝HF即可． 【详解】证明：延长AC，GF相交于点H， ∵FG⊥AB（已知） ∴∠FGB＝90°（垂直的定义） ∵∠ACB＝90°（已知） ∴∠FGB＝∠ACB（等量代换） ∵∠1＝∠2（对顶角相等） ∴△HCF∽△BGF（两角对应相等的两个三角形相似） ∴（相似三角形对应边成比例） 即CF•BF＝FG•HF（比例的基本性质） ∵CD⊥AB，FG⊥AB（已知） ∴∠4＝∠5＝90°（垂直的定义） ∴CDHG（同位角相等，两直线平行） ∴∠3＝∠H（两直线平行，同位角相等） ∵∠3＝∠H，∠6＝∠6 ∴△ACE∽△AHF（两角对应相等的两个三角形相似） ∴（相似三角形对应边成比例） ∵∠4＝∠5，∠7＝∠7 ∴△AED∽△AFG（两角对应相等的两个三角形相似） ∴（相似三角形对应边成比例） ∴（等量代换） ∵E是CD的中点（已知） ∴CE＝DE（中点的定义） ∴FH＝FG ∵CF•BF＝FG•HF（已证） ∴CF•BF＝FG•FG 即FG2＝FC•FB． ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定方法与性质，通过作辅助线证明三角形相似，由相似三角形的对应边成比例，列出比例式，进而得出结论． 20．（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等； （2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明； ②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴． （2）①证明：连接，延长到点，使，连接． 由（1）知， ∴， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． ②由①可知， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键． 21．（1）96°；（2）﹣． 【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠BCD=∠A=48°，再根据角的和差关系求出∠ACB即可． （2）设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解决问题． 【详解】解：（1）当AD=CD时，如图3，∠ACD=∠A=48°， ∵△BDC∽△BCA， ∴∠BCD=∠A=48°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°． （2）由已知AC=AD=2， ∵△BCD∽△BAC， ∴ ，设BD=x， ∴（）2=x（x+2）， ∵x＞0， ∴x=﹣1， ∵△BCD∽△BAC， ∴=， ∴CD=×2=﹣ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 22．(1)，；证明见解析；(2)，或. 【分析】（1）根据“两角对应相等的两个三角形相似”，可知△ABE∽△DAE，△DCA∽△DAE； （2）由（1）知，，，则有，因为相似三角形的对应边成比例，所以，再把已知数据代入求解即可． 【详解】解：(1)，， ∵， ∴ 又 ∴. (2)由(1)可知，，则有. ∴ 又∵是等腰直角三角形，且， ∴，又，， ∴，即，或. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两角相等的两三角形相似、相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 23．详见解析 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，推出，得出，根据，推出，得出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的应用，关键是得出△DOF∽△DBE． 24．(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似； （2）先证明，再由可得，，则有，再根据勾股定理计算然后根据相似三角形的性质可得出的值． 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵, ∴． （2）解：如下图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵是直径， ∴， ∴, ∴, ∴, ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 【点睛】本题考查圆、相似三角形和直角三角形的性质，解题的关键根据圆的相关知识和勾股定理推算出． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$