27.3位似巩固练习 2024-2025学年人教版数学九年级下册

27.3位似 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在平面直角坐标系中，点A（6，3），以原点O为位似中心，在第一象限内把线段OA缩小为原来的得到线段OC，则点C的坐标为（    ） A．（2，1） B．（-2，-1） C．（2，2） D．（2，1）或（-2，-1） 3．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（    ） A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转 5．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC：AF=2：3，则下列结论不正确的是（　　） A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 B．AD与AE的比是2：3 C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2：3 D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4：9 6．如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′，A′、B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(     ) A． B．（m，n） C． D． 7．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为 (3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是(    ) A．(1，0) B．(－5，－1) C．(1，0)或(－5，－1) D．(1，0)或(－5，－2) 8．如图，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，，则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．2：5 D．4：25 9．已知△ABC， 以点A为位似中心，作出△ADE， 使△ADE是△ABC放大2倍的图形，这样的图形可以作出（ ）个 A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 10．在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 11．如图所示，下列图形中不是位似图形的是(    ) A． B． C． D． 12．如图，与是位似图形，点和点是对应点，则内的点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图在RtAOB中，∠ABO=90°， O为坐标原点，直角边OB在x轴上且A(4，2) ，以O为位似中心，在y轴右侧将ABO放大两倍，则放大后，点A的对应点坐标为 ． 14．放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系： ． 15．画位似图形的依据是 ． 16．已知，如图，，，且，则与 是位似图形，位似比为 . 17．如图，在直角坐标系中，有两点、以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为 ． 三、解答题 18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于点B中心对称的△，并直接写出点的坐标； （2）以原点O为位似中心，相似比为，在y轴的左侧画出放大后的，并直接写出点的坐标． 19．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为格点三角形， 图中的△ABC就是格点三角形． 在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）． （1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1， 画出△A1B1C1的图形,并直接写出点B1的坐标为 ； （2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形，并直接写出点B2的坐标为 ； （3）把△ABC以点A为位似中心，在x轴下方放大，使放大前后对应边长的比为1：2，在方格纸中画出△AB3C3的图形． 20．如图，以为位似中心，将四边形放大为原来的2倍．（画出一个图形即可） 21．实践操作在数学活动中，林老师按如下的步骤进行操作：如图 (a)，①在△A OB内画任意等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作C′E′∥CE，交OA于点C′，作D′E′∥DE，交OB于点D′，连接C′D′.林老师告诉同学们△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形． (1)请证明林老师的结论； (2)仿照林老师的操作步骤，请在图(b)中作出内接正方形CDEF，要求DE在OB上，点C，F分别在OA，AB边上．(不需要写作图过程，画出图形即可) 22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，点C1的坐标为_______； (2)以原点O为位似中心，在第四象限画一个△A2B2C2，使它与△ABC位似，并且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1. 23．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画出矩形的位似图形，要求它与矩形的相似比为．你有几种方法？ 24．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（－4，4），（－1，2）． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为________． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《27.3位似》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C B D D D B A 题号 11 12 答案 C B 1．C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形. 根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 2．A 【分析】根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的，则点A的对应点C的坐标为（，），即（2，1）． 故选: 【点睛】本题考查的是位似变换的性质和坐标与图像的关系，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 3．A 【分析】连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：∵如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 【点睛】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 4．C 【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解． 【详解】解：选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意； 选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意； 选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意； 选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键． 5．B 【详解】∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形； A、四边形ABCD与四边形AEFG一定是相似图形，故正确； B、AD与AG是对应边，故AD：AE=2：3；故错误； C、四边形ABCD与四边形AEFG的相似比是2：3，故正确； D、则周长的比是2：3，面积的比是4：9，故正确． 故选B． 6．D 【分析】根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标： 【详解】解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上， 即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1）， 所以：位似比为2：1， ∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：． 故选D． 7．D 【详解】试题分析：考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．本题应分两种情况讨论，一种是E和C是对应点，G和A是对应点；二种是A和E是对应点，C和G是对应点． 解：∵正方形ABCD和正方形OEFG中A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1）， ∴E（﹣1，0）、G（0，﹣1）、D（5，2）、B（3，0）、C（5，0）， （1）当E和C是对应顶点，G和A是对应顶点时，位似中心就是EC与AG的交点， 设AG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴，解得． ∴此函数的解析式为y=x﹣1，与EC的交点坐标是（1，0）； （2）当A和E是对应顶点，C和G是对应顶点时，位似中心就是AE与CG的交点， 设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ，解得，故此一次函数的解析式为y=x+…①， 同理，设CG所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）， ，解得， 故此直线的解析式为y=x﹣1…② 联立①②得 解得，故AE与CG的交点坐标是（﹣5，﹣2）． 故答案为（1，0）、（﹣5，﹣2）． 考点：位似变换． 8．D 【分析】根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的， ∴△DEF∽△ABC， ∵， ∴ ，即△DEF与△ABC的相似比为， ∴△DEF与△ABC的面积比是4：25， 故选D． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 9．B 【详解】本题主要考查了对位似图形的认识． 根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧．所以这样的图形可以作出2个． 解：如图： ∴这样的图形可以作出2个． 故选B． 10．A 【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案． 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形． 11．C 【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、D三个图形中的两个图形都是位似图形； 而C的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形． 故选C． 12．B 【分析】先根据点和点是对应点求出位似比，再结合所在的象限即可求出点的对应点的坐标. 【详解】由点和点是对应点，可得与的相似比为1：2，结合与的位置，可得内的点的对应点的坐标为. 故选B. 【点睛】此题主要考查了位似变换，以及坐标与图形的性质，①当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时.②当时，图形扩大为原来的倍；当时，图形缩小为原来的. 13．(8，4) 【详解】试题分析：由题意知图形放大两倍，得到的新图形的面积将放大4倍，依题意则有其边长两直角边长分别是原来的2倍，所以得到的新坐标A′（8,4） 考点：坐标和图形的变化 点评：本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，图形面积和边长的关系 14．位似 【分析】根据位似的定义直接得出结果． 【详解】解：放映电影时，屏幕上的图象和胶片上对应的图形是位似图形，因为图形形状相同，对应边平行，因此屏幕上的图象和胶片上对应的图形之间的关系：位似． 【点睛】本题考查的是位似图形的定义，利用位似图形的形状相同，对应边平行得出是解题关键． 15．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】由位似图形的定义：两个图形是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，结合相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：画位似图形的依据是：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 故答案为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了位似图形的有关知识，如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线经过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，熟知位似图形的概念是关键． 16． 7：4 【分析】由平行易得△ABC∽△A′B′C′，且两三角形位似，位似比等于OA′：OA． 【详解】解：∵A′B′∥AB，B′C′∥BC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ，， ∠A′B′O=∠ABO，∠C′B′O=∠CBO， ，∠A′B′C′=∠ABC， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴△ABC与△A′B′C′是位似图形， 位似比=AB：A′B′=OA：OA′=（4+3）：4=7：4． 【点睛】本题考查了相似图形交于一点的图形的位似图形，位似比等于对应边的比． 17．． 【分析】根据位似变换的性质可知，∽，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标． 【详解】解：由题意得，∽，相似比是， ， 又，， ，， 点C的坐标为：， 故答案为． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用． 18．（1）见解析，点的坐标为；（2）见解析，点的坐标为． 【分析】（1）分别画出各个顶点关于点B中心对称的对应点，再顺次连接起来，即可； （2）连接OA，OB，OC，并延长使，再顺次连接，即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求，点的坐标为． （2）如图所示，即为所求，点的坐标为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，图形的旋转变换与位似变换，理解位似图形的定义，是解题的关键． 19．（1）画图见解析；（-1，-9）；（2）画图见解析；（5，5）; （3）画图见解析 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出B、A的对应点B2、A2即可； （3）延长AB到B3使BB3=AB，延长AC到C3使CC3=AC． 【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（﹣9，﹣1）； （2）如图，△A2B2C为所作，点B2的坐标为（5，5）； （3）如图，△AB3C3为所作． 【点睛】本题主要考查的是平移变换，旋转变换，平移中的坐标变换，旋转中的坐标变换，位似变换的有关知识，掌握基本变换的性质是解题关键． 20．见解析 【分析】第一种情况：连接OA并延长OA到A1使OA1＝2OA，连接OB并延长OB到B1使OB1＝2OB，连接OC并延长OC到C1使OC1＝2OC，连接OD并延长OD到D1使OD1＝2OD，从而得到四边形A1B1C1D1． 第二种情况：连接OA并反向延长OA到A2使OA2＝2OA，连接OB并反向延长OB到B2使OB2＝2OB，连接OC并反向延长OC到C2使OC2＝2OC，连接OD并反向延长OD到D2使OD2＝2OD，从而得到四边形A2B2C2D2． 【详解】解：如图，四边形A1B1C1D1即为所求： 如图，四边形A2B2C2D2即为所求： 【点睛】本题考查了作图——位似变换：掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长（或反向延长）位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． 21．(1)见解析；(2) 如图见解析. 【分析】（1）根据作法可知：C′E′∥CE， D′E′∥DE，可证得△CDE∽△C′D′E′，又∵△CDE是等边三角形，可得△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形； （2）仿照林老师的操作步骤，在靠近点O端作一个小正方形，正方形的三个顶点分别在OA和OB上，再过正方形的第四个顶点作射线OF，交AB于点F,然后分别做平行线可得到内接正方形CDEF． 【详解】(1)证明：∵C′E′∥CE，D′E′∥DE， ∴，，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O， ∴，∠CED＝∠C′E′D′， ∴△CDE∽△C′D′E′. 又∵△CDE是等边三角形， ∴△C′D′E′是等边三角形， ∴△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形． (2)如下图所示，四边形CDFE即为所求作的内接正方形． 【点睛】此题考查了学生的应用能力，考查了相似三角形的判定与性质，考查了作一个正方形等知识． 22．（1）图详见解析，点C1的坐标为(1,4)；（2）图详见解析. 【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接即可得； （2）分别作出点A、B、C的对应点，顺次连接可得． 【详解】解:(1)△A1B1C1如图所示,点C1的坐标为(1,4). (2)△A2B2C2如图所示. 【点睛】本题考查作图-轴对称变换、位似变换，解题关键是熟练掌握轴对称变换和位似变换的定义和性质． 23．两种，图见解析． 【分析】将矩形各顶点的横坐标、纵坐标都乘，以所得四个点为顶点的图形就是符合要求的图形；或将矩形各顶点的横坐标、纵坐标都乘 ，以所得四个点为顶点的图形也是符合要求的图形． 【详解】解：由图可知，点坐标是：，点坐标是： ，点坐标是：， 点坐标是：， 将矩形各顶点的横坐标、纵坐标都乘，可得：点坐标是：， 点坐标是：，点坐标是： ， 点坐标是：， 所得四边形如下图所示： 将矩形各顶点的横坐标、纵坐标都乘，可得：点坐标是：， 点坐标是：，点坐标是： ， 点坐标是：， 所得四边形如下图所示： 【点睛】本题考查的是作图-位似变换，熟知位似图形的作法是解答此题的关键． 24． 【详解】（1）如图所示： （2）∵将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1， ∴点A的对应点A1的坐标为（－8，8）或（8，－8）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$