专题05 几何最值模型之费马点模型（旋转）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题05.几何最值模型--费马点模型（旋转） 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）如图，在直角三角形内部有一动点P，，连接，若，求的最小值 ． 例2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 例3．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程；（2）拓展研究：请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明；②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 模型2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 例1．（2024下·陕西·九年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 例2．（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 例3．（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 1．（2024·广东·二模）若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 3．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ． 4．（2024·黑龙江·一模）如图，在中，，，，P是边上的一个动点，过点P分别向直线作垂线，垂足分别为E，F，连接PA，则的最小值是 ． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点D在内连接、、，则的最小值为 ． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，P为内任意一点，分别连接PA，PB，PC．其中，，，则的最小值为 ． 7.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ． 8．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 9．（23-24九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 10．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为 ． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图1，在连接平面内A，B两点的所有线中， 号最短（从上到下依次为①，②，③，④号线）； 问题探究（2）如图2，在中，已知，以AC为边向上作等边三角形ADC，连接BD，求BD边长的最大值； 问题解决（3）如图3，某住宅区内有一块三角形空地ABC，物业公司现计划在三角形空地内部找一点P，并分别向空地的三个顶点铺设PA，PB，PC三条步行道，已知，且，为了尽可能降低施工经费，请你帮物业公司求出的最小值并找出点P的具体位置．（参考数据：，） 12．（23-24八年级下·陕西西安·期中）根据材料回答下列小题 (1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是____三角形． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形． (3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积． (4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景:如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 14．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，      ∵绕点C顺时针旋转得到∴， ∴为_________三角形，∴ ∵∴∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°． ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值； (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．       15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 16．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）． 17．（23-24江苏八年级上期中）背景资料:在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小． 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”． 如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA＋PB＋PC的值最小． 解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　 　； 基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明； 能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点， 连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值． 18．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05.几何最值模型--费马点模型（旋转） 费马点模型是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.费马点模型 2 19 模型1.费马点模型 皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等。 费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。 结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 证明：法1：如图1，将△ABM绕点B逆时针旋转60°得到△EBN． ∴BM＝BN，EN＝AM，∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形，∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 图1 图2 图3 法2：如图2，以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN． ∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN． 在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）． 连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形． ∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°； ∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。（具体原理可参考法1和法2） 【最值原理】两点之间，线段最短。 例1．（23-24八年级下·江苏·阶段练习）如图，在直角三角形内部有一动点P，，连接，若，求的最小值 ． 【答案】 【分析】 如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H．首先证明，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于H． ∵旋转，∴，，，， ∴，均为等边三角形，∴，，， ∴，当且仅当四点共线时，，值最小， ∵，∴，，∴， ∵，∴，，∴， ∴，∴的最小值为；故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，勾股定理，解题的关键是利用旋转构造特殊三角形． 例2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是 ． 【答案】 【分析】以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，可证，可得，则，即当D、E、O、N四点共线时，值最小，最小值为的长度，根据勾股定理先求得、，然后求的长度，即可求的最小值． 【详解】解：以为边作等边三角形，以为边作等边，连接，作，交的延长线于F，如图所示，∵和是等边三角形， ∴，，∴． 在和中，，∴，∴， ∴，∴当D、E、O、M四点共线时，即值最小， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴．∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质和最短路径问题，构造等边三角形是解答本题的关键． 例3．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现：如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程；（2）拓展研究：请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明；②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出；（2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到；②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，，根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴是直角三角形， 且，∴，∴； （2）①．证明： ∵,，∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴，∴ ， ∵，，∴， 又∵∴，∴，∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，，∴∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵，∴，∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 模型2.加权费马点模型 结论：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加权费马点） 证明：第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=，如图，B、P、P2、A2四点共线时，取得最小值。 例1．（2024下·陕西·九年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．    问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有． 故．因此，当共线时，有最小值是． 学以致用：(1)如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是________．(2)如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5(2) 【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，易知是等边三角形，，转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．（2）将绕点逆时针旋转得到，易知是等腰直角三角形，，作交的延长线于．转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 【详解】（1）解：如图3中，       将绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴是等边三角形，，在中，， ，，的最小值为5．故答案为5． （2）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，∴，， ∴是等腰直角三角形，∴，作交的延长线于． 在中，，，， 在中，， ，的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 例2．（23-24八年级下·重庆·期中）在中，，E为平面内一点，连接． (1)如图1，若点E在线段上，，，，求线段的长； (2)如图2，若点E在内部，，，求证：； (3)如图3，若点E在内部，连接BE，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)5(2)见解析(3) 【分析】（1）如图1，过作的延长线于，则，，设，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可； （2）如图2，过作交的延长线于，在上截取，使，由勾股定理得，，证明，由全等的性质，等边对等角，三角形内角和定理等可求，证明，则，根据，可得； （3）如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接，则，由勾股定理得，，证明，则，由，可知当四点共线时，最小，即最小，为，如图3，过作的延长线于，则，，，，由勾股定理得，，，可求，则，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：如图1，过作的延长线于，                     图3 ∴，∴，设，则， 由勾股定理得，， 解得，，∴， 由勾股定理得，，即，解得，，∴的长为5； （2）证明：如图2，过作交的延长线于，在上截取，使， ∴，∴，由勾股定理得，， ∵，，，∴， ∴，，∴，∵，∴， ∵，， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，将绕着点顺时针旋转到，连接， ∴，，∴， 由勾股定理得，，∵， ∴，∴，∴， ∴当四点共线时，最小，即最小，为， 如图3，过作的延长线于，∵，，∴， ∴，，∴，∴， 由勾股定理得，，， 解得，，∴，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 例3．（2023春·江苏苏州·八年级期中）已知为等边三角形，边长为4，点D、E分别是、边上一点，连接、．． (1)如图1，若，求的长度；(2)如图2，点F为延长线上一点，连接、，、相交于点G，连接，已知，求证：；(3)如图3，点P是内部一动点，顺次连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）先根据等边三角形性质得三角形ABE为直角三角形，再利用勾股定理求解即可； （2）延长BF交AC延长线于H，先证明△ABE≌△CAD，得到△BGF为等边三角形，BF+GE =BE，再证明△ABG≌△CBF，得CF∥BE，再证明△GCF≌△HCF，得C是EH中点，结合等量代换，完成证明； （3）先将原式变形为，将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接AG，构造出来，利用两点之间线段最短判断出其最小值为AG的长度，再利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，边长为4，AE=2， ∴E为AC中点，∴EB⊥AC，即∠BEA=90°，由勾股定理得：． （2）证明：延长BF交AC延长线于H，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD， 由三角形外角性质知，∠BGF=∠ABE+∠BAG=∠CAD+∠BAG=60°， ∵∠GBF=60°，∴△BGF为等边三角形，∴BF=GF=BG，∴BF+GE=BG+GE=BE， ∴∠ABG=60°－∠DBG，∠CBF=60°－∠DBG，∴∠ABG=∠CBF，∴△ABG≌△CBF， ∴∠BFC=∠AGB=120°，∴∠CFH=60°=∠GBF，∠GFC=60°，∴CF∥BE， ∴∠FCH=∠CEG，∠EGC=∠GCF，∵CE=CG，∴∠CEG=∠CGE， ∴∠GCF=∠FCH，∴△GCF≌△HCF，∴CG=CH=CE，GF=FH=BF， 即C是EH中点，F是BH中点，∴BE=2CF，故． （3）解：原式变形为，将三角形BPC绕B顺时针旋转60°得三角形BDE，延长BD至F，使DF=BD，延长BE至G，使EG=BE，连接PF，GF，如图所示， 由旋转性质知，△BPD为等边三角形，∴∠PDB=60°， ∵BD=DF=PD，∴∠PFB=30°，∴∠FBP=90°，∴PF=， 由辅助线知：DE为三角形BFG的中位线，∴FG=2DE=2PC， ∴=，故当A、P、F、G共线时，取最小值，最小值为， 过G作GH⊥AH于H，在直角三角形BGH中，BG=2BC=8，∠GBH=60°，∴BH=4，GH=， ∴AG=，∴=，即的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、三角形的中位线等知识点，解决问题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 1．（2024·广东·二模）若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，，则的费马点到，，三点的距离之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作于点，过分别作， ∵是等腰三角形，∴，∴，∴点是的费马点， ∵，，∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴，∴， 即的费马点到，，三点的距离之和为，故选：． 2．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（    ） A． B．36 C． D． 【答案】A 【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示， ∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴， ∵等边三角形，∴，， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线时最小， ∵∴，∵，∴， ∴，∴， ∴的最小值为，故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则 ． 【答案】 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接， 则，是等边三角形， ，， ∴当共线时，的值最小，最小值为线段的长， 的最小值为，， ，，， 作于．则 故答案为： 4．（2024·黑龙江·一模）如图，在中，，，，P是边上的一个动点，过点P分别向直线作垂线，垂足分别为E，F，连接PA，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：过A作于点Q，∵，，∴，， ∵,∴，， ∴∴， 即解得， ∴当P与Q重合时，最小，即的最小值为：故答案为：． 5．（23-24八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，，，点D在内连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接，． ∴，，， ∴是等边三角形∴∴ ∴当点B，D，F，E四点共线时，有最小值，即的长度 ∵∴∴． ∴的最小值为． 6．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，P为内任意一点，分别连接PA，PB，PC．其中，，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：将绕点B逆时针旋转60度得到，连接， ∵，，，∴，根据勾股定理可得：， ∵绕点B逆时针旋转60度得到，∴， ∴，是等边三角形，∴，∴， 当在同一直线上时，，取最小值， 此时，故答案为：． 7.（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为 ． 【答案】7+2 【详解】解：如图：∵∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120，∠ABC＝60°， ∴∠1+∠3＝60°，∠1+∠2＝60°，∠2+∠4＝60°，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∴△BPC∽△APB ∴ 即PB2＝12∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是利用相似三角形的判定和性质． 8．（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）【阅读材料】十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A、B、C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 绕点B顺时针旋转得到，连接，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，，作交的延长线于点， 在中，，， ， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形，，， ，当、、、共线时，的值最小， ，，， ，， ，， ，的最小值为，故答案为：． 9．（23-24九年级下·湖北十堰·阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点、、，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将绕点顺时针旋转60°得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因，由两点之间线段最短可知，的最小值与线段的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形内部有一动点，，，连接，，，若，求的最小值 ． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于点， 在中，∵，，∴， 由旋转的性质可知：，、是等边三角形， ∴，∴， ∵，∴当共线时，的值最小， ∵，，∴， ∵，∴，， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 10．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，． 如图，将绕点C逆时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质得，，，， 是等边三角形，，， 当点P，F在直线上时，等号成立，取最小值． ，． 的最小值为．故答案为：． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图1，在连接平面内A，B两点的所有线中， 号最短（从上到下依次为①，②，③，④号线）； 问题探究（2）如图2，在中，已知，以AC为边向上作等边三角形ADC，连接BD，求BD边长的最大值； 问题解决（3）如图3，某住宅区内有一块三角形空地ABC，物业公司现计划在三角形空地内部找一点P，并分别向空地的三个顶点铺设PA，PB，PC三条步行道，已知，且，为了尽可能降低施工经费，请你帮物业公司求出的最小值并找出点P的具体位置．（参考数据：，） 【答案】（1）③；（2）5；（3）的最小值为82，分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,理由见解析． 【详解】解：（1）根据两点之间、线段最短可得③号最短．故答案为：③． （2）如图：以为边向左作等边,连接，∴， ∵,,∴， ∵等边三角形ADC，∴，∵,∴,∴,, ∵,∴的最大值为5，即BD边长的最大值为5． （3）如图：将绕B点顺时针旋转至的位置，连接,则, ∴是等边三角形，∴,∴, 当在同一条直线上时，有最小值， 如图：过E作交延长线于N，过C作于M， 在中，,∴,∴,∴, 在中，,∴, 在中，, ∴,∴,∴, ∴, ∴的最小值为82；这时, ∵，∴，∴, 如图：分别以为边作等边三角形,连接,则与的交点P是具体位置,理由如下：∵,,∴,∴, ∵，∴,∴， 如图：连接,分别作，垂足为, 根据全等三角形对应边上的高相等可得：,∴平分, ∴,即,∴,即点P符合题意． 12．（23-24八年级下·陕西西安·期中）根据材料回答下列小题 (1)【操作发现】如图1，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则是____三角形． (2)【类比探究】如图2，在等边三角形内任取一点，连接，求证：以，的长为三边必能组成三角形． (3)【解决问题】如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，．求的面积． (4)【拓展应用】如图4是三个村子位置的平面图，经测量，，，区管委会想在内建污水处理厂，为了快捷、环保和节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值（污水处理厂与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）． 【答案】(1)等边(2)证明见解析(3)(4) 【详解】（1）解：等边三角形，理由： ∵绕点A顺时针旋转，得到， ∴，∴是等边三角形； （2）证明：如图，以为边长作等边，使 P，D分别在，的两侧，连接， ∵∴， ∵， ∴，∴  ， 在中，∵， 又∵，∴， ∴以的长为三边必能组成三角形． （3）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴   ， ∴，∴，即， ∵，∴，即， ∴（舍负），∴，∴； （4）如图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接， ∵将绕点M顺时针旋转，得到， ∴ ∴是等边三角形，∴， 过点E作，交延长线于点F， 当点N、O、D、E四点共线时，有最小值，最小值为的长，最小值为． 13．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景:如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决:如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用:如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短（2）5（3） 【详解】（1），，为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值．故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ，， 又，，根据旋转的性质可知：， ，即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低，将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中，，， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度，，，，， ， ，的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 14．（2023上·福建厦门·九年级校考期中）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，分两种情况讨论，请补充以下推理过程： ①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，      ∵绕点C顺时针旋转得到∴， ∴为_________三角形，∴ ∵∴∴ 由几何公理：_____________可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有________°． ②当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点，证明略． (2)如图3，在中，三个内角均小于，且，，，若P为的“费马点”，求的值； (3)如图4，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为1万元，1万元，万元，则总的铺设成本最少是_______万元．       【答案】(1)①等边，两点之间选的最短，120；②见解析(2)7(3) 【详解】（1）解：①当的三个内角均小于时， 如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，    ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴， 由几何公理：两点之间选的最短，可得： ∴当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有．       ②当时，∵，∴， ∴，∴顶点A到另两个顶点距离和最小， ∵，∴， ∴当点P和点A重合时，取最小值，即此时的A点为该三角形的“费马点”． （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可得：当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 延长，过点作延长线的垂线，垂足为D， ∵绕点C顺时针旋转得到，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，则 根据勾股定理可得：，∴； （3）解：根据题意可得：总的铺设成本为万元， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， ∴，，∴，则， 当B，P，，在同一条直线上时，，此时取最小值， ∵，∴，∴， 根据勾股定理可得：，∴， 根据勾股定理可得：， 即最小值为，∴总铺设成本最少为万元．故答案为：．    15．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A．(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形；∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，，∴，， 又∵，∴， ∴，∴； ∵，∴，，∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A，故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵，∴， 又∵∴， 由旋转性质可知：，∴，∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴，∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为，∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴ 的最小值为 总的铺设成本（元）故答案为： 16．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）． 【答案】（1）150°；（2），证明见解析；（3） 【详解】解：（1）由题意得， ∴ ，∠APB=， ， ， ∴，∴ ，∵ ， ∴△是直角三角形，且 ，∴∠APB= ． （2），理由如下：把绕点逆时针旋转得到，如图， 则，，，，， ∵，∴，∴，∴，∴ ， ∵，∴，∴，∴，即  ． （3）将△PAB绕点B顺时针旋转60°至 ，连接，如图， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC=， ∵△PAB绕点B顺时针旋转60°至，∴ ， ∴，，，∴是等边三角形，∴ ，， ∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，∴ ， ∴ 四点共线，∴，∴． 17．（23-24江苏八年级上期中）背景资料:在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小． 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”． 如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA＋PB＋PC的值最小． 解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB=　 　； 基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明； 能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点， 连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值． 【答案】（1）150°；             （2）E′F2=CE′2+FC2，理由见解析；（3）． 【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得到△ACP′，如图，连结PP′， ∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，∴△APP′为等边三角形，∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3， 在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，∴PP′2+P′C2=PC2， ∴△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°， ∴∠APB=150°，故答案为150°；              （2）E′F2=CE′2+FC2，理由如下：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°， ∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F=EF， ∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°， 由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2；    （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC==， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO， ∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°， ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°， ∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C===， ∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=． 18．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）【问题背景】在已知所在平面内求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1）．这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．解决方法如下：如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵______，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． 任务：（1）横线处填写的条件是______；（2）当点P是的“费马点”时，______； （3）如图3，△ABC中，，，E，F为BC上的点，且，判断之间的数量关系并说明理由； 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，AC＝4km，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则的最小值是______． 【答案】问题背景：（1）见解析；（2）；（3） ，理由见解析；实际应用； 【详解】解：问题背景：（1）如图2，把绕A点逆时针旋转得到（点P，C的对应点分别为点，），连接，则，． ∵，∴为等边三角形，∴，∴， ∴当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，即点P是的“费马点”． （2）如图2所示，设交于O，由（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，由旋转的性质可得，，又∵，∴ ∵为等边三角形，∴，∴，， ∴，∴，故答案为：；    （3） ，理由如下：∵，，∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转，得到，连接， 则：， ∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴，∴； 实际应用：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由问题背景（1）可得当B，P，，四点在同一直线上时，的值最小，最小值为， 过点作交延长线于D，由旋转的性质可得，， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，∴得最小值为，故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$