专题05 垂美四边形模型与378、578模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题05.垂美四边形模型与378、578模型 在人教版八年级的数学课程中，垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。‌ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，，∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 例2．（23-24八年级下·广东·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若，则AD的长为（  ） A． B．4 C． D． 例3．（23-24九年级上·辽宁·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ． 例4．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，是长方形内一点，已知，，，那么 ． 例5．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形的边上时，点P到4个顶点间的距离，，，之间满足，请对小明发现的结论给出证明；（2）如图2，当点P在矩形内部或矩形外部时，，，，之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形内部或外部的一种情况即可），如果不成立，请说明理由；（3）在中，，，P为平面内一点，，，则长的取值范围是 （直接写出结果）． 例6．（2023春·绵阳市·八年级专题练习）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 　 ； (2)如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点O，已知，，求的中线的长． 例7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB=AD，CB=CD． (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即， 如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2=AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． (3)问题解决：如图2．在△ABC中，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB． 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度． 例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 例5．（23-24八年级下·山东·阶段练习）中，，，，则 ． 1．（2024·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 4．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 　　． 5．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　 　． 6．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则 ． 7．（23-24八年级·绵阳市·期中）如图，点是长方形内一点，已知，，，则的值为 . 8．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 9．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，点P是矩形内任意一点，连结，记，则下列各结论一定成立的有 （填序号） ①；②若，则； ③④，则P在对角线上 10．（2024·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 11．（2024·辽宁丹东·八年级统考期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G．（1）求证：四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由； （3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　． 12．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系．(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 13．（2023春·山东威海·八年级统考期末）新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：如图①，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图②，在四边形中，与相交于点，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． (3)问题解决：如图③，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则①求证：．②______． 14．（2024春·重庆渝北·八年级校考期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 在我们学过的：①平行四边形  ②矩形  ③菱形  ④正方形中，属于垂美四边形的是______；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．    15．（2024春·湖北黄石·八年级统考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：下列三个图形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四边形的是______（填序号） (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，．试证明：． (3)解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．已知，，求的长． 16．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：要求用文字语言叙述______ 写出证明过程先画出图形，写出已知、求证． (3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 17．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）在学习了平行四边形章节后，小明根据所学习的内容，试着创造了一个新的特殊四边形，规定：对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示． (1)【概念理解】证明：有三条边相等的垂美四边形是菱形；（写出已知、求证） (2)【性质探索】若记垂美四边形面积为，试直接写出与、之间的关系； (3)【性质应用】根据不完全统计，勾股定理的证明有400多种方法，小明为了证明勾股定理，尝试用两个全等的直角三角形（）如图2摆放，其中、、在一条直线上，若假设直角三角形三边长为，，，即，，，试利用（2）中结论证明勾股定理． 18．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍 （1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05.垂美四边形模型与378、578模型 在人教版八年级的数学课程中，垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。‌ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，， ∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 例2．（23-24八年级下·广东·课后作业）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若，则AD的长为（  ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：在Rt△AOB中，AO2=AB2﹣BO2；Rt△DOC中：DO2=DC2﹣CO2； ∴AD2=AO2+DO2=AB2﹣BO2+DC2﹣CO2= AB2 +DC2﹣（BO2+CO2）=18，∴AD==．故选A． 例3．（23-24九年级上·辽宁·期中）如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：设，四边形面积为，则， 则：，当时，； 所以时，四边形的面积最大，且为，故答案为：． 例4．（23-24八年级下·湖北孝感·阶段练习）如图，是长方形内一点，已知，，，那么 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点P作于M，于E，延长交，则四边形是矩形，四边形是矩形， 四边形是矩形，∴，， 由勾股定理得 ∴， ∵，，∴， ∴．故答案为：． 例5．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）（1）小明在学习矩形的时候发现：如图1，当点P在矩形的边上时，点P到4个顶点间的距离，，，之间满足，请对小明发现的结论给出证明；（2）如图2，当点P在矩形内部或矩形外部时，，，，之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择点P在矩形内部或外部的一种情况即可），如果不成立，请说明理由；（3）在中，，，P为平面内一点，，，则长的取值范围是 （直接写出结果）． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【详解】（1）∵四边形为矩形，∴，， ∴在和中，，， ∴得：，∴， （2）如图，过点P作，交于点M，交于点N， ∴四边形和四边形均为矩形，根据图①中的结论可得， 在矩形中有，在矩形中有， 两式相加得，∴． 如图，过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点N， ∴四边形和四边形均为矩形，同样根据图①中的结论可得， 在矩形中有，在矩形中有， 两式相加得，∴； （3）如图，当P在外部时，作矩形，连，， ∴，∴，由(2)结论知：， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，如图，当P在内部时， ∵，，∴， ∴综上所述：长的取值范围是，故答案为：． 例6．（2023春·绵阳市·八年级专题练习）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 　 ； (2)如图2，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(3)如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、，与交于点O，已知，，求的中线的长． 【答案】(1)菱形和正方形(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形．故答案为：菱形和正方形． （2）解：猜想：． 理由：∵，∴， 由勾股定理，得， ，∴． （3）解：连接、，设，交于点M，如图所示： ∵四边形和为正方形，∴，，， ∴，即， ∵在和中，，∴，∴， ∵，∴，即， ∴四边形是垂美四边形，∴， ∵，，∴，， ， ∴，∴，∴． 例7．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB=AD，CB=CD． (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即， 如图1，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2=AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． (3)问题解决：如图2．在△ABC中，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB． 【答案】(1)③④(2)正确，理由见解析(3) 【详解】（1）①平行四边形的对角线不一定互相垂直，所以平行四边形不一定是垂美四边形； ②矩形的对角线相等，但不一定互相垂直，所以矩形不是垂美四边形； ③菱形的对角线互相垂直，所以菱形是垂美四边形； ④∵四边形ABCD中AB=AD，CB=CD，∴点A、C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC⊥BD，∴当四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD时，四边形是垂美四边形； 综上分析可知，在四边形ABCD中，是垂美四边形的是③④； （2）猜想正确，理由如下：∵四边形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=∠COD=∠BOC=∠AOD=90°， ∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，BC2=OB2+OC2，AD2=OA2+OD2， ∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2，∴AB2+CD2=AD2+BC2； （3）∵BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC的中点，∴AD=AC=2，BE=BC=，DE=AB， ∵AE⊥BD，∴AB2+ED2=AD2+BE2，∴AB2=4+，∴AB=． 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（    ）． A．90° B．150° C．135° D．120° 【答案】D 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 又由三角形中大边对大角，可知边长为7 的边所对的角为 60°， 所以最大角和最小角的和是 120°.故选D. 法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，如图 设BD=x，则CD=8-x 在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得： 则得方程： 解得： 即 ∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜ ∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角与最小角的和为120゜故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，解一元一次方程，大角对大边等知识，关键是作最大边上的高，从而为勾股定理的使用创造了条件． 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作 交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出 ，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8， ∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选 C. 法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D， ∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x， 在 中， ，在中， ， ∴，解得： ，∴BC=3+x=4， ∴在中， ，∴ ，∴ ．故选 C． 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 例3．（2023·广东·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度． 解：如图所示，作AD⊥BC于点D，设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x， 则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：AB2﹣BD2＝AC2+CD2， 即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，解得：x＝1．故CD长度为1． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 例4．（2023·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（　　） A．20 B．10 C．10 D．28 【答案】C 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据勾股定理列方程得到BD，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】如图， ∵AB=5，AC=7，BC=8，过A作AD⊥BC于D，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，∴52-BD2=72-（8-BD）2， 解得：BD=，∴AD=，∴△ABC的面积=10，故选C． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 例5．（23-24八年级下·山东·阶段练习）中，，，，则 ． 【答案】3或5 【分析】作于D，由直角三角形的性质得出，由勾股定理分别求得和的长，分两种情况讨论即可求解． 【详解】法1：解：作于D，∵，∴， ∴，，∴， 分两种情况：①如图1所示：；       ②如图2所示：，综上所述，或5；故答案为：3或5． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键． 1．（2024·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：设，四边形面积为S，则， 则： 当时，S最大为：32﹔故选：B． 【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键． 2．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：． 【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD ∵，，， ∴故：选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键． 3．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ） A．16 B．32 C．36 D．64 【答案】B 【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：设，四边形面积为S，则， 则： 当时，S最大为：32﹔故选：B． 【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键． 4．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 　　． 解：过A作AD⊥BC，交BC于D， △ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4， 则 CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案为：7． 5．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　 　． 解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D， 则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x． ∵∠BAD＝30°，AC＝7，∴AD＝． ∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝． ∴当x＝时，AB＝2x＝3；当x＝时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5． 6．（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点．若，，则 ． 【答案】169 【分析】根据“垂美”四边形，得到AC⊥BD，由勾股定理得，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，∴AC⊥BD， ∴，∴ ∵，∴169，故答案为：169． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义构建勾股定理的等式是解题的关键． 7．（23-24八年级·绵阳市·期中）如图，点是长方形内一点，已知，，，则的值为 . 【答案】18 【分析】可过P作AD、AB的平行线，将矩形ABCD分割成四个小矩形，然后根据勾股定理求出PA、PB、PC、PD四条线段的长度的数量关系，然后再代值计算． 【详解】如图，过P作AD、AB的平行线，原矩形被分成四个小矩形； 由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2； 因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18． 【点睛】此题考查了矩形的性质和勾股定理的应用，正确地得到PA、PB、PC、PD四条线段之间的数量关系至关重要． 8．（2022春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O． （1）若，，，则 ； （2）若，，则 ； （3）若，，，，则m，n，c，d之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】（1）根据题意和勾股定理即可求出． （2）利用勾股定理，进行等量代换，可以得到的值． （3）由（2）得求解过程可以得到，进行替换即可． 【详解】（1）， ， ，．故答案为． （2）由（1）得：，，，，， ，，．故答案为． （3）由（2）得：，．故答案为． 【点睛】本题考查勾股定理的应用问题，熟练利用勾股定理和等量代换是解题的关键． 9．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，点P是矩形内任意一点，连结，记，则下列各结论一定成立的有 （填序号） ①；②若，则； ③④，则P在对角线上 【答案】①②③④ 【分析】①根据三角形面积求法以及矩形性质得出=，=，即可判断；②根据∠APB和∠DPC，得到∠PAB+∠PBA和∠PCD+∠PDC，再根据余角的性质得到∠PAB+∠PBA-90°=，∠PCD+∠PDC-90°=，可得=50°；③过点P作EF∥BC，交AB于E，交CD于F，利用已知可证得四边形ADFE是矩形，而得出AE2=DF2，CF2=BE2，即可判断；④根据所得面积关系得到==，从而可得结论． 【详解】解： ∵△PAB以AB为底边，△PCD以CD为底边， ∴此时两三角形的高的和为BC，∴=， 同理：=，∴=，故①正确； ∵∠APB=80°，∠DPC=50°，∴∠PAB+∠PBA=100°，∠PCD+∠PDC=130°， ∴∠PAB-∠PBC=∠PAB-（90°-∠PBA）=∠PAB+∠PBA-90°=， ∠PCD-∠PDA=∠PCD-（90°-∠PDC）=∠PCD+∠PDC-90°=， ∴=∠PAB+∠PBA-90°+∠PCD+∠PDC-90°=100°-90°+130°-90°=50°，故②正确； 过点P作EF∥BC，交AB于E，交CD于F， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC，∴AB⊥EF，DC⊥EF， ∴在Rt△APE中，PA2=AE2+PE2，同理，PC2=CF2+PF2，PB2=BE2+PE2，PD2=DF2+PF2， 则PA2+PC2=AE2+PE2+CF2+PF2，PB2+PD2=BE2+PE2+DF2+PF2， ∵AB⊥EF，DC⊥EF，AD⊥AB，可证得四边形ADFE是矩形， ∴AE=DF，同理CF=BE，∴AE2=DF2，CF2=BE2，∴PA2+PC2= PB2+PD2，故③正确； ∵，=，∴=， ∴==，∴点P在对角线AC上，故④正确；故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，三角形内角和等知识，掌握并熟练运用矩形的判定定理和性质定理是解题的关键． 10．（2024·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD² =DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²即可得到答案; （2）连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；（3）连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（4）²=32，DP²+PC²=DC²=（）²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64从而求出BP=，再证明AB∥PC则S△ABC＝AB×BP. 【详解】解：（1）证明：∵AC⊥BD∴∠AOB=90° 在Rt△AOB中AB²=AO²+OB²∴∠COD=90° 在Rt△COD中CD² =DO²+OC²∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²∴AB2＋CD2＝AD2＋BC² (2) ①解：连DC、AE相交于点F ∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形∴BE=BCAB=BD ∠CBE=∠ABD=90° ∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∴△ABE≌△DBC∴∠CDB=∠BAE ∵∠ABD=90°∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90° ∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∴∠AFD=90°∴AE⊥CD ∵AB=5，BC=4∠ACB=90°∴AC= ∵AB=5，BD=5∠ABD=90°∴AD= ∵BC=4，BE=4∠CBE=90°∴CE= 由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²∴(10)²+（8）²=（3）²+DE²∴DE= ②连DC、AE相交于点F ∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝∴DC=2GH= 作CP⊥BD交DB延长线于点P BP²+CP²=BC²=（4）²=32 DP²+PC²=DC²=（）²=96 ∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64∴DP²-BP²=64 ∴（BD+BP)²-BP²=64∴（5+BP)²-BP²=64∴BP= ∵∠PBA=90°，∠P=90°，∴∠PBA+∠P=90°+90°=180°∴AB∥PC 则S△ABC＝AB×BP=×5× 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 11．（2024·辽宁丹东·八年级统考期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 如图点E是四边形ABCD内一点，已知BE＝EC，AE＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，对角线AC与BD交于O点，BD与EC交于点F，AC与ED交于点G． （1）求证：四边形ABCD是垂美四边形； （2）猜想四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间的数量关系并说明理由； （3）若BE＝3，AE＝4，AB＝6，则CD的长为　 　． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）先证明可得再证明从而可得结论； （2）由 结合勾股定理可得： 从而可得结论； （3）利用已知条件结合勾股定理分别求解再利用（2）中的结论解题即可. 【详解】解：（1） ∠BEC＝∠AED＝90°， BE＝EC，AE＝ED， 四边形是垂美四边形. （2）猜想：理由如下： 同理可得： （3） （负根舍去）故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平方根的含义，理解题意，熟练运用以上知识解题是关键. 12．（2023春·浙江·八年级专题练习）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系．(2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 【答案】(1)①；②(2) 【分析】（1）①由面积和差关系可求解；②由勾股定理列出方程组，可求解； （2）由三角形的中位线定理可得，，，由②的结论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：①如图1，四边形是垂美四边形，， ，； ②如图1，四边形是垂美四边形，， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ，， ，即：； （2）解：如图，连接， 、分别是中边、的中点，， ，，， ，四边形是垂美四边形， ，，．故答案为 【点睛】本题是四边形综合题，考查了勾股定理，三角形中位线定理，勾股定理等知识，理解垂美四边形 13．（2023春·山东威海·八年级统考期末）新概念：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：如图①，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图②，在四边形中，与相交于点，若，则．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由． (3)问题解决：如图③，分别以Rt的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接．若，，则①求证：．②______． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析(2)正确，理由见解析(3)①见解析；② 【分析】（1）概念理解：根据垂直平分线的判定定理证明是线段的垂直平分线，即可得证； （2）性质探究：根据垂直的定义和勾股定理得出，，得出；即可得出结论；（3）问题解决：①连接，根据垂美四边形的性质、证明；②结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：概念理解：四边形是垂美四边形． 理由如下：连接    ，点在线段的垂直平分线上， ，点在线段的垂直平分线上，是线段的垂直平分线， ，即四边形是垂美四边形． （2）性质探究：正确． 如图①，已知四边形中，，垂足为，       ，， 由勾股定理得，，， ，，， ； （3）问题解决：①连接， 正方形和正方形，，，， ，即，； ②，． 又，，即， 四边形是垂美四边形，由（）得：． ，，，，， ，．故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题．考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 14．（2024春·重庆渝北·八年级校考期中）【知识感知】（1）如图1，四边形的两条对角线交于点O，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 在我们学过的：①平行四边形  ②矩形  ③菱形  ④正方形中，属于垂美四边形的是______；（只填序号） 【性质探究】（2）如图1，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明； 【性质应用】（3）如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．    【答案】【知识感知】③④【性质探究】，证明见解析【性质应用】 【分析】知识感知：根据垂美四边形的定义和以上四边形的性质即可判断； 性质探究：利用勾股定理分辨表示出四条边即可得出关系并求证； 性质应用：先证明，得到,再利用性质探究中的结论和勾股定理即可求解． 【详解】知识感知：∵菱形和正方形的对角线互相垂直，∴属于垂美四边形的是③④； 性质探究：； 证明：，∴，，,， ∴，即； 性质应用：∵正方形和正方形，∴， ∴,∴，∴， 又∵,∴,∴，∴, 连接，∵，，， ∴,，， ∴，∴．    【点睛】本题为新定义题型，考查了正方形菱形的性质和勾股定理的应用，解题关键是理解题意，发现边之间的关系，本题有一定的运算量，需要细心对待． 15．（2024春·湖北黄石·八年级统考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：下列三个图形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四边形的是______（填序号） (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，．试证明：． (3)解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．已知，，求的长． 【答案】(1)①②(2)证明见解析(3) 【分析】（1）由垂美四边形的定义可得答案； （2）根据垂直四边形对角线互相垂直，再在直角三角形中，利用勾股定理即可推得结论； （3）先证明，得到，然后再证明四边形是垂直四边形，结合第二问的结论即可求得的长． 【详解】（1）解：∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形，故答案为：①②． （2），理由如下： 证明：∵，∴， 由勾股定理，得，， ∴， （3）如图3，连接、， ∵正方形和正方形， ∴，，，∴，    在和中，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，即， ∴四边形是垂美四边形，由（2）得，， ∵，，∴， ∵，， ∴，∴． 【点睛】本题考查新定义的理解、矩形，菱形，正方形的性质、三角形全等判定和性质、勾股定理等知识点，理解新定义的含义并灵活应用是解题的关键． 16．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：如图，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：试探索垂美四边形两组对边，与，之间的数量关系． 猜想结论：要求用文字语言叙述______ 写出证明过程先画出图形，写出已知、求证． (3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，见解析 (2)垂美四边形的两组对边的平方和相等，见解析(3) 【分析】（1）证明直线是线段的垂直平分线，即可得到结论； （2）先利用勾股定理猜想结论，再画图，写出已知，求证，再利用勾股定理进行证明即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【详解】（1）四边形是垂美四边形． 证明：，点A在线段的垂直平分线上，       ，点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线，，即四边形是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图，已知四边形中，，垂足为， 求证： 证明：，， 由勾股定理得，， ，； （3）连接、，∵正方形，正方形， ∴，，， ，即，      在和中，，≌， ，又， ，即，四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ，，，，， ，． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 的定义并运用是解题的关键． 17．（2023春·福建厦门·八年级校考期中）在学习了平行四边形章节后，小明根据所学习的内容，试着创造了一个新的特殊四边形，规定：对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”如图1所示． (1)【概念理解】证明：有三条边相等的垂美四边形是菱形；（写出已知、求证） (2)【性质探索】若记垂美四边形面积为，试直接写出与、之间的关系； (3)【性质应用】根据不完全统计，勾股定理的证明有400多种方法，小明为了证明勾股定理，尝试用两个全等的直角三角形（）如图2摆放，其中、、在一条直线上，若假设直角三角形三边长为，，，即，，，试利用（2）中结论证明勾股定理． 【答案】(1)证明见详解(2)(3)证明见详解 【分析】（1）根据已知写出已知求证再利用三角形全等证明结论即可； （2）四边形的面积的面积的面积； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）已知：四边形的两条对角线互相垂直，即 ，且； 求证：四边形是菱形 证明：∵，∴ ， 在 和中 ∴， 同理可得：，∴， 又∵，∴四边形是菱形，∴有三条边相等的垂美四边形是菱形； （2）解：如图1所示： 四边形的面积的面积的面积；∴； （3）由已知，可得 ∵ ∴ ∴∴是垂美四边形 由（2）可得是垂美四边形的面积∴ ∵ ∴即所以勾股定理得证． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 18．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍 （1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论． （2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理得出AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2，即可得出结论； （2）连接BP，设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵AC⊥BD，∴Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2， Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，Rt△COB中，OC2+OB2=CB2， Rt△AOD中，OD2+OC2=DC2，∴AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2； （2）连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC， 设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，BP2=AB2+AP2=62+(2x)2=36+4x2， ∵PC⊥BD，∴BP2+CD2=BC2+PD2，∴36+4x2+62=(3x)2+x2， 化简得x2=12，解得x=2或x=−2 (舍) ．∴AD=6． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$