专题05 垂美四边形模型与378、578模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题05.垂美四边形模型与378、578模型 在沪科版八年级的数学课程中，垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。‌ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，，∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则 ． 例2．（23-24八年级下·江苏·课堂例题）如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 例3．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大． 例4．（23-24八年级下·绵阳市·课后作业）如图，P为矩形内一点，，则的长为 ． 例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程）；②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 例6．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． (1)概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由；(2)性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究，的平方和与，的平方和之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．    例7．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系． (2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠A+∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 2．（2023春·广东·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ． 3．（2024·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么 ． 4、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　 　． 5．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 　　． 6．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　 　． 7．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝AD，当BC与DC满足______时，四边形ABCD为“垂美四边形”（直接写结果）； (2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD．求证：； (3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等腰Rt△ACG和等腰Rt△BAE，连结GE，已知AC＝4，AB＝5，则GE＝________（直接写出结果）． 8．（2024·江苏·八年级专题练习）我们给出如下定义：若一个四边形中，从一个顶点出发的两条边与一条对角线满足：两条边的平方和等于该对角线的平方，则称这个四边形为“爪勾股四边形”．如图1，四边形的顶点都是正方形网格中的格点，每个小正方形的边长为1，，则称四边形是“爪勾股四边形”．（1）如图1，在正方形网格中找一格点（异于点），使四边形是“爪勾股四边形”，并画出四边形；（2）如图2，，，，连接、，且．求证：四边形是“爪勾股四边形”． 9．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是 ；（只填序号） (2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度． 10．（2023·山西晋城·一模）请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍．下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线，求证： 证明：过点作于点．设，，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 11．（2024·山东聊城·一模）四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．请解答下列问题： （1）如图（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB； （2）如图（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2； （3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式． 12．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）【基础巩固】（1）如图1，P是矩形内部一点，求证：；请你将下面的证明过程补充完整． 证明：过P分别作边，的平行线，交于E，交于F，交于G，交于H．设，，，． （请在框内证明：四边形是矩形） 同理可证四边形，四边形，四边形均是矩形 ∴　　（用关于a，b，c，d的代数式填空） 【尝试应用】（2）如图2，P为正方形ABCD内一点，且，求的大小． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，点D，E是斜边上的三等分点．若，，求的长． 13．（2024·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 14．（2023春·山东·八年级期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 15．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于它的一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)回顾在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接、、． ①证明：是等边三角形；②若，证明：四边形是勾股四边形． 16．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是__________． (2)性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：． (3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长． 17．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． (1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是 ． (2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接． ①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． ②求的长（直接写出答案）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05.垂美四边形模型与378、578模型 在沪科版八年级的数学课程中，垂美四边形模型和378、578模型是勾股定理中重要的几何模型。学生可以通过研究垂美四边形的性质和定理，更好地理解勾股定理的应用；通过研究378、578模型可以更好理解等边三角形的边角关系。本专题就垂美四边形模型和378、578模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。‌ 2 模型1.垂美四边形模型 2 模型2.378和578模型 33 42 模型1.垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD； 结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S四边形ABCD=AC∙BD。 证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，，， ∴；∵AC⊥BD，∴S△ABC=AC∙BO ，S△ADC=AC∙DO ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC∙BO+AC∙DO=AC∙BD。 条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP； 结论：DP2+BP2=AP2+PC2 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADP＝∠BCP＝90°，AD=BC， 由勾股定理得，，， ∴，∴。 条件：如图3（或图4），在矩形ABCD中，P为矩形内部（外部）任意一点，连接AP、BP，CP，DP； 结论：AP2+PC2=DP2+BP2 证明：过点作的垂线，交于点，交于点，则四边形和为矩形， ，由勾股定理得：则 ，， ，．（图4的证明和图3证明相同） 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是“垂美”四边形，∴， ∴，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·江苏·课堂例题）如图，四边形的对角线与互相垂直，若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，∵四边形的对角线与互相垂直，∴， 在中可得，；在中可得：； 在中可得：； ∴， ∴ ．故选：A． 例3．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝ 时，四边形ABCD的面积最大． 【答案】6 【详解】解：设，则 ∵四边形ABCD的对角线互相垂直，∴， 则： ．∴AC=6时，面积有最大值；故答案是6． 例4．（23-24八年级下·绵阳市·课后作业）如图，P为矩形内一点，，则的长为 ． 【答案】 【详解】过点向矩形的四边分别作垂线，垂直分别为，如图， 四边形是矩形，， 四边形是矩形， ， 设，则， ，，，．故答案为：． 例5．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程）；②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形，， ，，，，．故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即：， 又由勾股定理可知：， ，即； （3）解：①设，则，由（2）可得， ，； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则，由题意得：，即，解得：， 当、、三点共线时，最小，的最小值的最小值；故答案为：． 例6．（2023春·江西赣州·八年级统考期中）若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． (1)概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由；(2)性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究，的平方和与，的平方和之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．    【答案】(1)四边形是垂美四边形，理由见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）四边形是垂美四边形． 理由：如图，连接，，    ∵，∴点A在线段的垂直平分线上， ∵，∴点C在线段的垂直平分线上，  ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； （2）．理由：如图，      ∵四边形是垂美四边形，∴．∴， 由勾股定理得，， ∴； （3）如图，连接、， 在正方形和正方形中，， ∴，即．∴．∴． 又，∴．  ∴，即． ∴四边形是垂美四边形．由(2)得， ∵∴∴．  ∴． 例7．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)如图1，已知四边形是垂美四边形．①若，则它的面积为_____________； ②若，探究的数量关系． (2)如图2，已知分别是中边的中点，，，请运用②中的结论，直接写出的长为___________________． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①如图1，四边形是垂美四边形，， ，； ②如图1，四边形是垂美四边形，， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ，， ，即：； （2）解：如图，连接， 、分别是中边、的中点，，，，， ，四边形是垂美四边形，， ，．故答案为 模型2.378和578模型 378和578模型：边长为3、7、8或5、7、8的三角形（如图1）。 当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形。 图1 图2 图3 图4 条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时； 结论：①这两个三角形的面积分别为、；②3、8与5、8夹角都是60；③将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形。 证明：如图2，过点C作CM⊥AB于点M，设BM=x 则AM=3+x，∴∠CMB=90°， 在Rt∆ACM中：CM2 =AC2 - AM2，在Rt∆BCM中：CM2 =BC2 - BM2， ∴AC2 - AM2 = BC2 - BM2，即82 -（3+x）2 = 72 - x2，解得x=1，∴CM =4，∴CM =， ∴S∆ABC=AB•CM = •3•=，∵CM =4，AC=8，∠ACM=30°，∠CAM=60°。 如图3，过点F作FN⊥DE于点N，设DN=x 则NE=5-x，∴∠FND=90°， 在Rt∆DNF中：NF2 =DF2 - DN2， 在Rt∆ENF中：NF2 =EF2 - NE2， ∴DF2-DN2 =EF2-NE2，即72-x2 =82 -（5-x）2 ，解得x=1，NE=4，∴NF = ， ∴S∆DEF=•DE•NF = •5•=，∵NE =4，EF=8，∠EFN=30°，∠FEN=60°。 ∴CM =NF = ，∠CMB=∠FND=90°，∵CB =DF=7，∴Rt∆BCM ≌Rt∆DNF，∴∠CBM=∠FDN， ∵∠CBM+∠ABC=180°，∴∠FDN+∠ABC=180°，∵AC =EF =8。 ∴将两个三角形长为7的边拼在一起，恰好组成一个边长为8的等边三角形（如图4）。 例1．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°． 【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8， ∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选 C. 法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示： 设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2， ∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4， ∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键． 例2．（2023·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠A+∠B＝（    ）． A．45° B．37° C．60° D．90° 【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：设△ABC的三边AB=5，AC=7，BC=8，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，分别在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，从而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和． 【详解】法1：∵在△ABC中AB＝8，AC＝7，BC＝3， ∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如下图,即：∠ABC=60° ∵AB>AC>BC ∴∠BCA>∠ABC>∠CAB（由三角形中大边对大角） ∠BCA+∠CAB=180°-∠ABC= 120° 所以最大角和最小角的和是 120°.故选C. 法2：如图，过点A作 交BC延长线于点D， ∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x， 在 中， ，在中， ， ∴，解得： ，∴BC=3+x=4， ∴在中， ，∴ ，∴ ． ∵AB>AC>BC ∴∠BCA>∠ABC>∠CAB（由三角形中大边对大角） ∠BCA+∠CAB=180°-∠ABC= 120° 所以最大角和最小角的和是 120°.故选C. 【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于 是解题的关键． 例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高． 解：作AD⊥BC于D， 由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1， 则BC边上的高AD＝＝4． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 例4．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，在和中根据勾股定理表示出和，列出方程求出，代入求出的值，再根据三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：如图，过作，垂足为．设，则，      ∵在和中，， ，解得，． ．故选：C． 另解：可以和三边长为 3，7，8 的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。 【点睛】本题考查了勾股定理以及三角形的面积公式，熟练掌握利用勾股定理表示相应线段之间的关系是解题的关键． 例5．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则的长为 ． 【答案】5或3 【分析】分当是锐角三角形时，当是钝角三角形时两种情况，过点A作于D，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理分别求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当是锐角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴；       如图所示，当是钝角三角形时，过点A作于D， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； 综上所述，的长为5或3，故答案为：5或3． 【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：． 【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90° 又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD ∵，，， ∴故：选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键． 2．（2023春·广东·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ． 【答案】13 【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值． 【详解】解：， ， 在和中，根据勾股定理得，，， ， ，，．故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 3．（2024·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】过点作于，由等腰三角形“三线合一”的性质可知，在中，由勾股定理可得，然后借助的面积求出，再在中，由勾股定理可得；证明，由相似三角形的性质计算的长即可． 【详解】解：如下图，过点作于， ∵，，∴，∴在中，， 又∵，∴，∴， ∴，∴在中，， ∵，又∵，∴， ∴，即，解得．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积等知识，熟练运用勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 　 　． 解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形， 如图，∴拼成的等边三角形的高为 4，∴这两个三角形的面积之和为×8×4=16. 5．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 　　． 解：过A作AD⊥BC，交BC于D， △ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4， 则 CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案为：7． 6．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 　 　． 解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D， 则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x． ∵∠BAD＝30°，AC＝7，∴AD＝． ∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝． ∴当x＝时，AB＝2x＝3；当x＝时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5． 7．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． (1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，已知AB＝AD，当BC与DC满足______时，四边形ABCD为“垂美四边形”（直接写结果）； (2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD．求证：； (3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等腰Rt△ACG和等腰Rt△BAE，连结GE，已知AC＝4，AB＝5，则GE＝________（直接写出结果）． 【答案】(1)BC=DC(2)证明见解析(3) 【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）如图3，连接CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）当BC=DC时，四边形ABCD为“垂美四边形”，理由如下：连接AC，BD， ∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上， ∴AC是线段BD的垂直平分线，∴四边形ABCD是垂美四边形，故答案为：BC=DC； （2）证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，，， ∴； （3）如图3，连接GB、CE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG=∠AEC， 又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC，∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG，   ∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，， ∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=，BE=， ∴，∴．故答案为： 【点睛】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 8．（2024·江苏·八年级专题练习）我们给出如下定义：若一个四边形中，从一个顶点出发的两条边与一条对角线满足：两条边的平方和等于该对角线的平方，则称这个四边形为“爪勾股四边形”．如图1，四边形的顶点都是正方形网格中的格点，每个小正方形的边长为1，，则称四边形是“爪勾股四边形”．（1）如图1，在正方形网格中找一格点（异于点），使四边形是“爪勾股四边形”，并画出四边形；（2）如图2，，，，连接、，且．求证：四边形是“爪勾股四边形”． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）可找一格点E，使BE=5，则有AB2+BC2=BE2，问题得解； （2）连接CE，则由已知可得BC=CE，∠DCE=90°，所以结合勾股定理可得 DC2+BC2=AC2，问题得证． 【详解】解：（1）如图，E为一格点，则由勾股定理可得：BE=， ， ∵AB=3，BC=4，∴AB2+BC2=BE2，∴四边形ABCE是“爪勾股四边形”； （2）如图，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，， 又∵，∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，∵，∴， ∵，，，∴，∴． ∴在中，，∴， ∴四边形是爪勾股四边形． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题关键． 9．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)在我们学过：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，能称为垂美四边形的是 ；（只填序号） (2)如图，垂美四边形的对角线交于点，求的长度． 【答案】(1)③④(2) 【分析】本题主要考查了特殊平行四边形的性质，平行四边形的性质，勾股定理 （1）根据菱形和正方形的性质即可得到答案； （2）先根据勾股定理得到，，，，即可推算出，代入数据，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线相互垂直，矩形和平行四边形的对角线不一定垂直， ∴只有正方形和菱形能称为垂美四边形，故答案为：③④； （2）∵，∴，，，， ∴，，∴； ∵∴∴． 10．（2023·山西晋城·一模）请阅读材料，并完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯（约公元前262—190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步．直到17世纪的帕斯卡和笛卡尔才有新的突破．阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系，即三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边一半的平方与该边中线平方和的2倍．下面是该结论的部分证明过程． 已知：如图所示，在锐角中，为中线，求证： 证明：过点作于点．设，，． 任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知为矩形内任一点，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）由勾股定理可得，即可得结论； （2）连接，交于点，连接，由阿波罗尼奥斯定理和矩形的性质，可得结论． 【详解】（1）证明：是中线，， ，， ； （2）证明：如图，连接，交于点，连接， 四边形是矩形，， 根据阿波罗尼奥斯定理得：，，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，读懂题意并能运用是解题的关键． 11．（2024·山东聊城·一模）四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA，PB，PC，PD．请解答下列问题： （1）如图（1），当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB； （2）如图（2），当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA2+PC2=PB2+PD2； （3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图（3）所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）y与x的函数关系式为y=x－4. 【分析】（1）利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可； （2）利用已知可证得四边形ADGK是矩形，进而得出AK2=DG2，CG2=BK2，，即可得出答案； （3）结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时，以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时，分别求出即可． 【详解】（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD， 如图（1）所示，∵MN是BC的中垂线，∴PA=PD，PC=PB， 又∵四边形ABCD是矩形，∴AC=DB，即，∴△PAC≌△PDB（SSS）， （2）证明：过点P作KG∥BC，如图（2） ∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，DC⊥BC ∴AB⊥KG，DC⊥KG，∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2 同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=DG2+PG2 PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2 AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形， ∴AK=DG，同理CG=BK，∴AK2=DG2，CG2=BK2∴PA2+PC2=PB2+PD2 （3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）∴BC=4，AB=2，∴S矩形ABCD=4×2=8， 直线HI垂直BC于点I，交AD于点H，当点P在直线AD与BC之间时， S△PAD+S△PBC=BC•HI=4，即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=-x+4， 当点P在直线AD上方时，S△PBC-S△PAD=BC•HI=4，而y与x的函数关系式为y=4+x， 当点P在直线BC下方时，S△PAD-S△PBC=BC•HI=4，y与x的函数关系式为y=x-4． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定与全等三角形的判定以及分类讨论思想应用，根据已知得出P点不同位置得出y与x之间的关系是解题关键． 12．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）【基础巩固】（1）如图1，P是矩形内部一点，求证：；请你将下面的证明过程补充完整． 证明：过P分别作边，的平行线，交于E，交于F，交于G，交于H．设，，，． （请在框内证明：四边形是矩形） 同理可证四边形，四边形，四边形均是矩形 ∴　　（用关于a，b，c，d的代数式填空） 【尝试应用】（2）如图2，P为正方形ABCD内一点，且，求的大小． 【拓展提高】（3）如图3，在中，，点D，E是斜边上的三等分点．若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解，；（2）；（3） 【分析】（1）根据题意及矩形的判定、勾股定理可进行求解； （2）把绕点B逆时针旋转得到，连接，，然后根据（1）中的结论可知，则有，然后可证，，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可进行求解； （3）过点B、C分别作、的平行线，交于一点G，连接，由题意易得四边形是矩形，然后可证，则，同理可得，进而根据（1）中结论可进行求解． 【详解】证明：过P分别作边，的平行线，交于E，交于F，交于G，交于H．如图1所示，设，，，． ∵四边形是矩形，∴，，， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形， 同理可证四边形，四边形，四边形均是矩形， ∴，， ∴由勾股定理可得：， ∴； （2）解：连接，把绕点B逆时针旋转得到，连接，，如图所示： ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，即， ∵，∴，∴，， 由可设， 由（1）可知：，∴，， ∴，，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）过点B、C分别作、的平行线，交于一点G，连接，如图所示： ∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵点D，E是斜边上的三等分点，∴， ∴，∴，同理可得， 由（1）可知：，∴，∴，∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 13．（2024·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹）；(2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________； (3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系； (4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)(4) 【分析】（1）分别以点E、点G为圆心画弧，交于EG上方于点F，交EG下方于点G，连接EF、EH、GF、GH，四边形EFGH即为所求；（2）将四边形ABCD分为上下两个三角形，分别求出两个三角形的面积再相加即可；（3）将四边形ABCD分为四个小的直角三角形，再根据勾股定理分别用OA、OB、OC、OD表示出、、、即可知道a、b、c、d之间的数量关系； （4）连接DE，根据题意可得四边形AEDB是垂美四边形，结合（3）的结论即可求出AB长度． 【详解】（1）解：如图1： （2）解：如图2，Rt△ACD中，，Rt△ABC中，，． （3）∵，∴中，； 中，，中，， 中，，∴， ；∴； （4）解：连接，如图3， ∵D、E分别是中边的中点，∴； ∵，∴四边形是垂美四边形；∴； 即，得． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练地掌握勾股定理，读懂题目的新定义，巧妙地运用等量代换得出结论是解题的关键． 14．（2023春·山东·八年级期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD； ①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长； ②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　． 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】（1）根据AC⊥BD可以得到∠AOB =∠COD=90°即可得到AB²=AO²+OB²，CD² =DO²+OC²即AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC²同理可以得到AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²即可得到答案; （2）连DC、AE相交于点F，先证明△ABE≌△DBC得到∠CDB=∠BAE从而证得AE⊥CD再利用勾股定理和（1）中的结论求解即可得到答案；（3）连DC、AE相交于点F，作CP⊥BD交DB延长线于点P，BP²+CP²=BC²=（4）²=32，DP²+PC²=DC²=（）²=96，(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64，DP²-BP²=64从而求出BP=，再证明AB∥PC则S△ABC＝AB×BP. 【详解】解：（1）证明：∵AC⊥BD∴∠AOB=90° 在Rt△AOB中AB²=AO²+OB²∴∠COD=90° 在Rt△COD中CD² =DO²+OC²∴AB²+CD²=AO²+OB²+DO²+OC² 同理AD²+BC²=AO²+OB²+DO²+OC²∴AB2＋CD2＝AD2＋BC² (2) ①解：连DC、AE相交于点F ∵Rt△BCE和Rt△ABD是等腰三角形∴BE=BCAB=BD ∠CBE=∠ABD=90° ∴∠ABE=∠DBC=90°+∠ABC∴△ABE≌△DBC∴∠CDB=∠BAE ∵∠ABD=90°∴∠CDB+∠CDA+∠DAB=90° ∴∠BAE+∠CDA+∠DAB=90°∴∠AFD=90°∴AE⊥CD ∵AB=5，BC=4∠ACB=90°∴AC= ∵AB=5，BD=5∠ABD=90°∴AD= ∵BC=4，BE=4∠CBE=90°∴CE= 由（1）中结论AD²+EC²=AC²+DE²∴(10)²+（8）²=（3）²+DE²∴DE= ②连DC、AE相交于点F ∵点G、H分别是AD、AC中点，GH＝∴DC=2GH= 作CP⊥BD交DB延长线于点P； BP²+CP²=BC²=（4）²=32 DP²+PC²=DC²=（）²=96∴(DP²+PC²)-(BP²+CP²)=96-32=64 ∴DP²-BP²=64∴（BD+BP)²-BP²=64∴（5+BP)²-BP²=64∴BP= ∵∠PBA=90°，∠P=90°，∴∠PBA+∠P=90°+90°=180°∴AB∥PC 则S△ABC＝AB×BP=×5× 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 15．（2023春·浙江·八年级专题练习）若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于它的一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．(1)回顾在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称． (2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转得到，连接、、． ①证明：是等边三角形；②若，证明：四边形是勾股四边形． 【答案】(1)正方形、矩形；(2)①见解析，②见解析． 【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，可证明矩形或正方形是勾股四边形； （2）①由旋转可知，得出，结合旋转角可证； ②利用等边三角形的性质，进一步得出是直角三角形，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：如图在正方形中， 正方形是勾股四边形； 如图在矩形形中，矩形是勾股四边形；故答案为：正方形、矩形； （2）证明：①∵，∴，∵，∴是等边三角形； ②∵，∴，；∵为等边三角形，∴，， ∵，∴，在中，，∴ ∴四边形是勾股四边形 【点睛】此题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解勾股四边形的定 16．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是__________． (2)性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：． (3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长． 【答案】(1)菱形，正方形(2)见解析(3) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形； （2）证明：如图，连接，交于点．    四边形是垂美四边形，，． 由勾股定理，得， ，． （3）如图，连接，．      ，，即． 在和中，，，， ，． 又，． 又，，， 四边形是垂美四边形．由（2）可知， ，，由勾股定理，得，，， ，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 17．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形． (1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是 ． (2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接． ①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论． ②求的长（直接写出答案）． 【答案】(1)菱形、正方形(2)，见解析 (3)①四边形是垂美四边形，见解析；② 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；（2）利用勾股定理即可得出结论；（3）①根据证明，得，再由三角形内角和定理得，从而可得结论；②根据等腰直角三角形的性质可得，再代入计算即可 【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形； （2）∵，垂足为点E， ∴， 由勾股定理得，，， ∴；故答案为：， （3）①连接与交于点O，与交于点N，如图， ∵，∴，即， ∵是等腰直角三角形，∴ ∴，∴， ∵∴， ∴，即CE⊥BG，∴四边形是垂美四边形； ②∵在中，，∴， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵四边形是垂美四边形， ∴，即解得， 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$