专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）

专题05. 特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 8 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 4 3 【分析】此题是胡不归问题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题关键．过点作，过点作于点，交于点，在矩形中，，，则，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据，得出，再根据直角三角形的性质和勾股定理算出，根据，得出当点三点共线时，，此时最小，即可求解； 【详解】解：过点作，过点作于点，交于点， ∵在矩形中，，，，则，， ，，∵，， ∵，，，∴， ，∴当点三点共线时，， 此时最小，∴的最小值是3．故答案为：4；3． 例2．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，构造直角三角形是解题的关键．过点作交延长线于点，连接，根据平行四边形的性质，得到，由30度所对的直角边等于斜边一半，得到，进而得到，即，当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 例3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，作于，于，于，则四边形是矩形，，由题意可求，，，则，，由，可知当三点共线且时，最小，为，求的长，进而可求最小值， 【详解】解：如图，作于，于，于，则四边形是矩形，∴， ∵平行四边形中，，，，， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴当三点共线且时，最小，为， ∵，∴，由勾股定理得，， ∴最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，含的直角三角形，等边对等角，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 例4．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例5．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例6．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②和 走完全程所需时间为 ． 【分析】（1）利用四边相等的四边形是菱形进行证明即可；（2）①构造直角三角形求即可； ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置，再计算运到的时间． 【详解】（1） 四边形 是矩形， ， 与 交于点O,且 关于 对称， ，， 四边形 是菱形； （2）①连接 ,直线 分别交 于点 ,交 于点 ， 关于 的对称图形为 ， ， 在矩形 中， 为 的中点，且O为AC的中点， 为 的中位线 ，   ，同理可得： 为 的中点， ，   ， ； ②过点P作 交 于点 ， 由 运动到 所需的时间为3s， 由①可得，， 点Q以 的速度从P到A所需的时间等于以 从M运动到A， 即：， 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图，当P运动到 ,即 时，所用时间最短.， 在 中，设， ， ，解得： ， ，和 走完全程所需时间为． 1．（2024·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 2．（2024·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】解：过点A作，过点D作于点M，交于点P， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， 则，∴， ∴， ． 即的最小值为6．故选B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 4．（2024上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，连接，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形中，对角线， ∴，∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴，∴， 过点作于点，连接，过点作于点，则：，， ∵，∴，∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短，∴当时， 最小，即点与点重合， ∵，∴，∴， ∴，即：的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H．证明BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，再根据B′H≥B′F，求出B′F即可解决问题． 【详解】如图，过点B作BM∥AC交x轴于M，在直线BM上截取BB′＝DE＝1，过点B′作B′F⊥OM于F，过点E作EH⊥OC于H，连接B′H． 与x轴交于点C，与y轴变于点A， 令x=0，y=，令y=0,得x= ∴A（0，），C（，0）， ∴OA＝，OC＝，∴AC==2OA，∴∠ACO＝30°， ∵EH⊥OC，∴EH＝EC，∵BB′＝DE，BB′∥DE，∴四边形DBB′E是平行四边形，∴BD＝B′E， ∵BM∥AC，∴∠BMC＝∠ACO＝30°，∵∠BCM＝90°，BC＝，∴BM＝2BC＝3， ∴B′M＝1＋3，∵∠MFB′＝90°，∴B′F＝MB′＝， ∵BD＋EC＝B′E＋EH≥B′H，B′H≥B′F，∴BD＋EC≥， ∴BD＋EC的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解直角三角形，垂线段最短，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    【答案】①③④⑤ 【分析】①首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可判断出．②首先根据，，求出；然后在中，根据，求出的大小即可．③证明所以．④构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论．⑤首先过点作，在同一条直线上且时的值最小． 【详解】解：如图，连接，      垂直平分，，根据折叠的性质，可得：， ，为等边三角形，，即结论①正确； ，，， ，即结论②不正确． ∵折叠，∴，∴ ∵∴∴ ∴，即结论③正确．设，则， ∵，，∴，在中由， ∴，解得：，即，即结论④正确． 过点H作，是等边三角形，，∴， 在同一条直线上且时的值最小， 此时，的最小值是， 即结论⑤正确．故答案为：①③④⑤． 【点睛】此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握． 7．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 【答案】3 【分析】过点作的垂线，垂足为，过点作，根据已知条件求得的长，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，当时，最小，股定理求得的长即可求解． 【详解】如图，过点作的垂线，垂足为，过点作， 中， ， 如图，当时，最小，最小值为 的最小值为．故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，轴对称求线段和的最小值，垂线段最短，转化线段是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 【答案】[小试牛刀]6；[变式探索]； 【分析】[小试牛刀] 在中，，推出，再证明，即可得答案； [变式探索] 如图3，过点P作于点E，过点D作于点F，根据四边形ABCD是菱形，且，，得，当点D、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为DF的长，可得答案； 【详解】[小试牛刀]解：如图2，在中， ， ， 平分，， ，，，， ，； [变式探索] 如图3，过点P作于点E，过点D作于点F， 四边形ABCD是菱形，且，，， ，，，， ，当点D、P、E三点共线且时，的值最小，最小值为DF的长， 的最小值为； 9．（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，取中点，连接，由三角形中位线定理可得，即，由三角形三边关系可得，当三点共线时，上式取等号，由的坐标可得，再根据两点间的距离公式可得，即可得到答案． 【详解】解：连接，取中点，连接，   ， 为的中点，，即，， 当三点共线时，上式取等号，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 10．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 【答案】 【分析】过点P作PQ⊥AD于点Q，由于∠PDQ=60°，因此，由此可知当B、P、Q三点共线时有最小值，然后利用解直角三角形的知识进行求解即可. 【详解】过点P作PQ⊥AD，垂足为Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC//AB，∴∠QDP=∠DAB=60°， ∴PQ=PD•sin∠QDP=PD，∴=BP+PQ，∴当点B、P、Q三点共线时有最小值， ∴的最小值为，故答案为：3. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，线段之和最短问题，正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键. 11．（2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE，由含有30度直角三角形的性质可得PF=，DP+，结合图形可得当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度，利用锐角三角函数求解即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，AB=4，∠BAD=30°，∴AD=AB=4，∠BAC=∠CAD=15°， 如图所示，以AB为一边，在AB下方作∠BAE=∠BAC=15°，过点P作PF⊥AE，过点D作DH⊥AE， ∴∠EAP=30°，∠PFA=90°，∠DHA=90°，∴PF=，∴DP+， 当D、P、F三点共线时，取得最小值，最小即为DH长度， 在Rt∆DHA中，∠DAH=45°，∴，故答案为：． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 12．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定，含直角三角形的三边关系，垂线段最短等相关知识，延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值是解题关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ，即，垂直平分，， ，，是等边三角形，，， 过点作于点，，， 求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，此时，设，则， ，即当取最小值时，的值为．故答案为：． 13．（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）已知为等边三角形，D是直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在线段上，以为边向上作等边，连接．当时，求的大小；(2)如图2，若点D在线段的延长线上，以为边向上作，使得且，连接交线段于点F．求证：；(3)如图3，若点D为线段的中点，射线上有一点E，且，为的角平分线，P为上一动点，为上动点，连接，．已知，．直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)答案见解析(3)的最小值是 【分析】（1）根据等边三角形的性质，先证，再证，得，最后根据三角形的内角和即可得答案；（2）在线段上截取，连接，先证，得，再证，即可得答案； （3）作交与点，作，垂足为N，连接交角平分线点P ，连接，与角平分线相交于点M，先证，再证，得，判断出动点P，Q在P，时，的值最小，再求出，即可得答案． 【详解】（1）解：是等边三角形，， 是等边三角形，，， 在和中，，， ； （2）如下图，在线段上截取，连接， 是等边三角形，， ，，， ，， 在和中，， ，， 在和中，，  ； （3）如下图，作交与点，作，垂足为N，连接交角平分线点P ，连接，与角平分线相交于点M， 是等边三角形，点D为线段的中点，， ，，，， 是 的平分线，，，   ，， ，，，， ，动点P，Q在P，时，的值最小， ，  ，，的最小值是． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是灵活证明三角形全等． 14．（23-24八年级下·重庆渝北·期末）如图1， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴分别交于A， B两点，直线与x轴， y轴分别交于C， D两点，这两条直线相交于点E，其中．(1)求直线的解析式及点E的坐标；(2)如图2，点P是直线上一点，点P的横坐标为，点N为直线上的动点，连接， 求 的最小值及此时点N的坐标； (3)点F是y轴上一点，当以点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点 F 的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为， (2)的最小值为， (3)点 F 的坐标为或或或． 【分析】（1）利用一次函数与y轴交点得到，进而得到，，即，，，将代入求出值，得到直线解析式，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，联立和直线的解析式求解，即可得到点E的坐标；（2）过点作于点，利用等腰直角三角形性质结合勾股定理得到，进而得到，要的值最小，即的值最小，当，，三点共线，且时，的最小值为，利用点P的横坐标为求得，即可得到的最小值，根据点N为直线上的动点，，，三点共线，且，即可得到此时点N的坐标；（3）利用勾股定理得到，根据点F是y轴上一点，点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形，分以下三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，即点在的垂直平分线上，对于以上三种情况结合勾股定理和坐标与图形的性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线与x轴、y轴分别交于A， B两点，，， ，，，即，，， 将代入直线解析式得：，， 直线解析式为，设直线的解析式为， ，，解得，直线的解析式为， 这两条直线相交于点E，令，解得， 将代入中，有，． （2）解：过点作于点，，， ，，，， 要的值最小，即的值最小， 当，，三点共线，且时，的最小值为， 点P是直线上一点，点P的横坐标为， ，的最小值为； 点N为直线上的动点，，，三点共线，且，， 将代入中，有，； （3）解：，，， 点F是y轴上一点，点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时，∵，点 F 的坐标为或， ②当时，，点 F 的坐标为， ③当时，即点在的垂直平分线上，设点 F 的坐标为， 则，，，解得：，点 F 的坐标为， 综上所述，点 F 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴交点情况，待定系数法求一次函数解析式，两条直线的交点情况，等腰直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形性质，坐标与图形，解题的关键在于熟练掌握一次函数性质与分类讨论的思想方法． 15．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．    (1)求的长；(2)连接，若，求证：； (3)若，试求的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【分析】（1）证明是等边三角形，即可求解；（2）延长至，使得，在上取，连接，证明，可得，，证明四边形是平行四边形，可得，即可得出，进而证明，即可得证；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，当三点共线时，，此时取得最小值，为的中点，当为的中点时（或者设其他点为中点，再证明为中点），过点作于点，勾股定理解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，，∴， ∵，∴是等边三角形，又∵，∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，在上取，连接，    在与中，∴∴， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，设，则 在中，， ∴，∴ ∵∴， ∴ 在中， ∴，∴，∴； （3）如图所示，连接，过点作于点，    将绕点逆时针旋转得到，连接，则， 当三点共线时，，此时取得最小值， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵三点共线∴，∴， ∵为的中点，当为的中点时， ∴，，则，∴，， ∵∴，∵ ∴ 又，∴，∴， ∴当是的中点时，三点共线，过点作于点， ∴，，∴， 在中，， ∵，∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）根据菱形的性质证明，再结合是的垂直平分线，即可证明； （2）过点N作于点F，连接，，则，故，此时，在中，进行解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：连接，            ∵四边形是菱形，∴，， ∵，∴，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴； （2）解：过点N作于点F，连接， ∵，∴，∵，∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图： 即，∴在中，，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，解直角三角形，正确添加辅助线是解决本题的关键． 17．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 【答案】(1)(2)不改变，见解析(3) 【分析】（1）由菱形可得，，从而，是等边三角形，根据“三线合一”可得 ，，进而证得点F是边的中点，从而，根据即可解答； （2）由（1）得到，是等边三角形，从而，，进而证得，得到，从而； （3）过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点，则，因此，当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H，的最小值即为的长，在中通过解直角三角形即可解答． 【详解】（1）∵四边形是菱形，边长为6，∴，， ∴，是等边三角形，∴， ∵点E是边的中点，∴，， ∵，∴∴点F是边的中点， ∴，∴； （2）的度数不改变，证明如下： 由（1）得到，是等边三角形，∴，， ∵，∴，∴， ∴； （3）如图，过点P作于点 G，连接，过点F作于点，交于点， ∵，∴在中， ∴  ∴当点F，P，G三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，过点D作于点H， ∵四边形是菱形，∴，∴的最小值即为的长， ∵，是等边三角形，∴，∴的最小值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形全等的判定及性质，垂线段最短，解直角三角形．正确作出辅助线，综合运用相关知识，采用转化思想是解题的关键． 18．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 【答案】(1)见详解(2)见详解(3) 【分析】（1）取的中点，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得；（2）过点作交延长线于点H，则，证明，得出，从而得出，是等腰直角三角形，得出，即可得到；即可证出平分． （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，由（2）知，，得出是等腰直角三角形，，即可得到点与关于对称，根据对称性质得到，即可得到当三点共线时，最小，最小值为的长，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即可得到，故的最小值为． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，      ∵、分别为、的中点，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：过点作交延长线于点H，则， ∵四边形是正方形，∴， ∵，∴， ，∴， ∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴；∴平分． （3）连接，作，交的延长线于，交于，连接，    由（2）知，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴点与关于对称，∴，∴ 当三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，，由勾股定理得， ∵在中，，∴，∴， ∴的最小值为，则的最小值是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05. 特殊的平行四边形中的最值模型--胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 8 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即。 若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，，，则对角线 ，点是上的动点，连接，则的最小值是 ． 例2．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 例3．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，，，在线段上取一点E，使，连接，点M，N分别是线段上的动点，连接，则的最小值为 ． 例4．（23-24九年级上·山东日照·期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 例5．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例6．（2024·重庆·九年级校考期中）如图，矩形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接，若，． ①求的值；②若点为线段上一动点（不与点重合），连接，一动点从点出发，以的速度沿线段匀速运动到点，再以的速度沿线段匀速运动到点，到达点后停止运动．当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时，求的长和点走完全程所需的时间． 1．（2024·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2024·山东日照·九年级校联考期末）如图，在矩形中，，，点P是对角线上的动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．4 3．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 4．（2024上·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，在长方形中，对角线．将长方形沿对角线折叠，得，点 M 是线段上一点．则的最小值为 ． 5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校考期末）如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、在直线上，且，则的最小值是 ． 6．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形是正方形纸片，．对折正方形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠正方形纸片，使点落在上的点处，折痕为；再次展平，延长交于点Q．有如下结论：①；②；③；④；⑤为线段上一动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是 ．    7．（2023·广东中山·统考二模）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为_________． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）【课本探究】如图1所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【小试牛刀】 如图2，在中，，AD平分，，则BC= 　　． 【变式探索】如图3，菱形ABCD的边长为6，，点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则的最小值为 ． 9．（2023上·湖北黄石·九年级校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，将线段绕点进行旋转，，取中点，，连接，已知点的坐标为，那么将线段绕点的旋转过程中，的最小值为 ．    10．（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________． 11．（2024·广东·二模）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠BAD＝30°，P为对角线AC（不含A点）上任意一点，则的最小值为 ． 12．（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ． 13．（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）已知为等边三角形，D是直线上一点，连接． (1)如图1，若点D在线段上，以为边向上作等边，连接．当时，求的大小；(2)如图2，若点D在线段的延长线上，以为边向上作，使得且，连接交线段于点F．求证：；(3)如图3，若点D为线段的中点，射线上有一点E，且，为的角平分线，P为上一动点，为上动点，连接，．已知，．直接写出的最小值． 14．（23-24八年级下·重庆渝北·期末）如图1， 在平面直角坐标系中， 直线与x轴、y轴分别交于A， B两点，直线与x轴， y轴分别交于C， D两点，这两条直线相交于点E，其中．(1)求直线的解析式及点E的坐标；(2)如图2，点P是直线上一点，点P的横坐标为，点N为直线上的动点，连接， 求 的最小值及此时点N的坐标； (3)点F是y轴上一点，当以点C、D、F为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出点 F 的坐标． 15．（2023·广东广州·校考二模）如图，菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，点为边的中点，连接，．(1)求的长；(2)连接，若，求证：；(3)若，试求的最小值．    16．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．(1)求证：；(2)求的最小值．    17．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形中，，连接，点 E，F分别是边，上的动点，且，连接，，． (1)如图①，当点E是边的中点时，求的度数； (2)如图②，当点E是边上任意一点时，的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段上的一个动点，连接，求的最小值． 18．（23-24八年级下·湖北十堰·期末）【教材呈现】人教版八年级下册数学教材第69页有这样一个问题： 如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形的外角的平分线于点F．求证．    (1)【思考尝试】教材有以下提示：取的中点G，连接，请在图1中补全图形，并解答这个问题． (2)【逆向思考】小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，正方形中，点E是线段延长线上一动点(点E与点C不重合)，是等腰直角三角形，．求证：平分请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】小华深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的问题：如图3，正方形的边长为4，E为射线上一动点，以为边作等腰，连接．则的最小值是 (请在横线上直接写出结果) 1 / 13 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