专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题05.特殊的平行四边形中的最值模型--瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 1 11 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（23-24·浙江八年级期中）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接，将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为__． 例3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ． 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ． 例6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中有两点，． (1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案） (2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）． (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标． 例7．（2024·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 1．（2024上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点（不与重合），以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在边长为12的菱形中，，为上方一点，且，则的最小值为 ． 4．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，点F是矩形内一点，点E在边上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．若，，，，则线段的最小值为__________．    5．（2024·四川内江·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 6．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在矩形中，，点为边的中点，连接．点是边上一动点，点为边的中点，连接．当时，的最小值是 ． 7．（2024·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    8．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      9．（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，，点E在射线上运动，连接，则在点E运动的过程中，线段的最小值是 ．    10．（2024·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____． 11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    12．（2024九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    13．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 14．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 15．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 16．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时， ；当从运动至过程中，的最小值为 ． 17．（2024·辽宁·九年级校考期中）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 18．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05.特殊的平行四边形中的最值模型--瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 1 11 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（23-24·浙江八年级期中）如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且△ACD是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为 . 【解答】6 【解析】连接AM、CM，如图所示：∵△ACD为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60º， ∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM， 在△ADM与△ACM中，，∴△ADM≌△ACM（SSS），∴∠DAM＝∠CAM， ∵∠DAC＝60º，∴∠ACM＝30º，即直线AM的位置是固定的，∴点D在直线BD上运动 ∴当BM⊥AM时，MB有最小值，此时. 例2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接，将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为__． 【答案】 【分析】如图取的中点K，连接，，，延长交于J，作于H．首先证明是等边三角形，利用全等三角形的性质证明，利用圆周角定理证明，推出，推出点G在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，的值最小，求出即可解决问题． 【详解】解：如图取的中点K，连接，，，延长交于J，作于H． ∵四边形是菱形，∴，，，∴， ∵，∴，∵，，∴，∴是等边三角形， ∵，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点G在直线上运动， 根据垂线段最短可知，当点G与H重合时，的值最小， 在中，∵，，， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点G的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 例3．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，，点是线段上一动点，且，若是以为底边的等腰三角形，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最值问题，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点；作，可得点在直线上运动，当，即时，有最小值，据此即可求解. 【详解】解：如图所示：作， 由题意得：，∴点在直线上运动 ∵，，∴ ∴当，即时，有最小值 此时，∴是等腰直角三角形∴ ∵，∴解得：故答案为： 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线，，且， 点为的中点，为的中位线， ，，点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，， ，即，的最小值为， ，，，， ，故选：B． 例5．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在矩形中，，点以的速度从点到点，同时点以的速度从点到点，当一个点到达终点时，则运动停止，点是边上一点，且，且是线段的中点，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，平行线分线段成比例定理，轨迹等知识，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接，首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线上运动，求出的值，再根据，可得结论． 【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，D为坐标原点建立直角坐标系，连接， 四边形为矩形，，，，， ，， ，，，，，， ，，，点Q在直线上运动， 点关于直线对称，，， ，，， 则线段的最小值为，故答案为：． 例6．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中有两点，． (1)如图1，点是轴上的点，当最小时，点坐标为________；（直接写出答案） (2)如图2，点，在轴上，且，当最小时，点的坐标________（直接写出答案，请用含的式子表示）． (3)如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点落在第一象限，连接，当的最小值时，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有最小值，继而求出答案；（2）将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，由平行四边形性质和对称轴性质可得此时最小，求出直线解析式为，即可得点的坐标；（3）过点作轴的垂线，分别交轴于两点，证明，设，则，再设点关于直线对称点是，与对称点连线与交点是使为最小值的点，继而求出答案． 【详解】（1）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ， ∵，∴最小， 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得：，∴直线的解析式为：， 令，则，∴点坐标为：，故答案为：； （2）解：将向右平移个单位得，作关于轴的对称点，连接交轴于，点在左侧个单位，如下图： ， 由作图可知，，∴四边形是平行四边形，∴， 由关于轴对称可得，∴，∴，即最小， 设直线解析式为，将，代入得： ，解得：，∴直线解析式为：， 令，则，∴点的坐标为：，故答案为：； （3）解：设点，过点作轴的垂线，分别交轴于两点， ， ∵等腰直角，∴，，∴， ∵轴，轴，∴， ∴，∴在和中， ，∴，∴， ∵点在直线上，∴，∴，∴， ∴点在直线：上运动，设点且点关于的对称点是， ∴三点共线时使为最小值的点，此时点为直线与直线的交点， ∴，解得：，∴点， ∵点的坐标为，∴直线的解析式为：， ∴，解得：，∴点． 【点睛】本题考查最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，解分式方程，一次函数图象及性质等． 例7．（2024·广东·校考一模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为边作等边，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【分析】以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，由“SAS”可证△EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可得当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形△ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在△EDH和△FDA中，，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，   ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（2024上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一个动点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，证明，得出，点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，在上截取，使，连接，过点D作于点H，如图所示：    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，∴， ∵，∴，在和中， ∴，∴， ∴点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小， ∵，，∴，故选：B． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点F在直线上运动，当点F与H重合时，的值最小，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点（不与重合），以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，正方形的性质，垂线段最短，锐角三角函数，中点定义，掌握三角形三边关系是解题的关键． 连接，连接，过点作，垂足为，根据中点定义垂线段最短可知当点与重合时，有最小值，再根据等边三角形的性质及正方形的性质可知，最后利用锐角三角函数即可解答． 【详解】解：∵是边的中点，，∴， 如图，连接，连接，过点作，垂足为， ∵在中，，∵点是动点，∴当点与重合时，有最小值， ∵是等边三角形，∴，∵是边的中点，∴，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴在中，，故选． 3．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在边长为12的菱形中，，为上方一点，且，则的最小值为 ． 【答案】20 【分析】过点A作于点E，根据菱形的性质可推出，过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线的对称点H，连接交于点G，连接交直线于点K，连接，根据轴对称可得，根据两点之间线段最短的性质，的最小值为的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点E，如图，    ∵边长为12的菱形中， ∴， ∵在中，，，∴， ∵，∴，过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线的对称点H，连接交于点G，连接交直线于点K，连接，如图， ∵的面积为48保持不变，的长保持不变，∴点P总是在直线上， ∵，，∴，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴，∴， 根据抽对称的性质可得，，，∴， 根据两点之间线段最短的性质，得，，即， ∴的最小值为的长，∵，，∴， ∴在中，，∴的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，轴对称的性质，准确分析轴对称的最短路线知识点是解题的关键． 4．（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，点F是矩形内一点，点E在边上，连接，．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．若，，，，则线段的最小值为__________．    【答案】 【分析】将绕点A顺时针旋转得到，易得，，由，可知当在上时线段取最小值． 【详解】解：连接并将绕点A顺时针旋转90°得到，连接、，    由旋转的性质可知：，，， ∴，∴，∴， ∵，∴当在上时线段取最小值． ∵，，∴，矩形中，， ∴，∴在中，， ∴，当在上时线段取最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理解三角形，涉及了矩形的性质，三角形的全等判定和性质，两点间线段的最短，熟练掌握下载全等模型构造全等三角形转化线段关系是解题的关键． 5．（2024·四川内江·校考一模）如图，矩形中，已知，点F是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：当点F与点C重合时，点P在处，， 当点F与点E重合时，点P在处，，∴且． 当点F在上除点C、E处的位置时，有．由中位线定理可知：且． ∴点P的运动轨迹是线段，∴当时，取得最小值． ∵矩形中，，E为的中点， ∴为等腰直角三角形，． ∴．∴．∴． ∴，即，∴的最小值为的长．在等腰直角中，， ∴∴的最小值是．故答案是：． 【点睛】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度． 6．（2023上·陕西榆林·九年级校考期中）如图，在矩形中，，点为边的中点，连接．点是边上一动点，点为边的中点，连接．当时，的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点H，连接，作于点，根据四边形为矩形，得，根据点为边的中点，点H为的中点，得，，可得，根据得四边形为平行四边形，则，根据得与的交点为的中点，根据G为的中点，得过点G，即点G在线段上随点F运动而运动，当时有最小值，则即为所求，根据勾股定理得，根据得，根据得，则，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，取的中点H，连接，作于点， ∵四边形为矩形，，∴，∵点为边的中点，点H为的中点， ∴，，∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵，∴与的交点为的中点，∵G为的中点， ∴过点G，即点G在线段上随点F运动而运动，当时有最小值，则即为所求， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了线段最小值，矩形的性质，垂线的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 7．（2024·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值． 【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，    ∵正方形的边长是8，∴，，， ∵点G是线段的中点，∴，∴三点共线，∴点G的运动轨迹是线段， ∵，∴当点G和点H重合时，线段值最小，∴， ∴，即线段的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明三点共线是解题的关键． 8．（2023上·天津河东·九年级统考期中）如图，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，连接，则的最小值为      【答案】 【分析】将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，首先证明，推出点G在射线上运动，进而得到当时，的值最小，，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，连接交于点J，    ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．（2023上·浙江湖州·八年级校联考期中）如图，和都是等腰直角三角形，，，，点E在射线上运动，连接，则在点E运动的过程中，线段的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，根据等腰直角三角形的性质得到，，，然后证明出，进而得到，点F运动的轨迹是一条直线，且与的夹角为，当时，线段有最小值，然后利用含角直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，    ∵和都是等腰直角三角形，∴，， ∴∴∴∴ ∵∴ ∴点F运动的轨迹是一条直线，且与的夹角为 ∴当时，线段有最小值，∴此时 ∵∴∴．故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，．勾股定理：若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则． 10．（2024·江苏·一模）如图，正方形ABCD的边长为7，E为BC上一点，且BE＝，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为_____． 【答案】 【分析】根据等边△EFG，EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，从而得出矩形HEPQ，从而找到最短CG，再利用30°角所对直角边为斜边一半，从而得解． 【详解】∵△EFG为等边三角形，∴EF＝EG，把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上， 易得四边形HEPQ为矩形，∴PQ＝EH＝，∠HEP＝90°， ∵∠CEP＝90°﹣∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝ ∴CQ＝CP+PQ＝+＝．∴CG的最小值为．故答案为． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，旋转图形的性质，全等三角形的性质，30°角所对直角边为斜边一半，牢固掌握几何相关知识点，灵活添加辅助线构造矩形是解题关键。 11．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】由“”可证，可得，可得点G在平行于且与的距离为1的直线上运动，则当点G在上时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，作，过点G作于H，延长，交于点N，过点A作，    ∵点E绕点F逆时针旋转至点G，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点G在平行于且与的距离为1的直线上运动，∴当点G在上时，有最小值， ∵，∴， ∴，，∴，， ∴的最小值，故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 12．（2024九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，过点作于首先说明等的运动轨迹是直线，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形，推出，，推出，过点作直线于，根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小． 【详解】解：如图，过点作于．    ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴点在直线的上方到直线的距离为的直线上运动， 将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形， ∴，，∴，过点作直线于交于点F， 则，，∴ 根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空压轴题． 13．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确判断点G的轨迹是解题关键．根据正方形的性质，证明，进而推断点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值，根据特殊角的正弦函数值求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，∴，∴， ∴点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵，∴，∴，故答案为：． 14．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________． 【答案】4+2 【分析】取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题． 【详解】解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H， ∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠BAD＝120°，∴∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形， 又∵DE＝DG，∴△DEG也为等边三角形．∴DE＝GE， ∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，即∠DEF＝∠GEF'， 由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，所以EF＝EF'． 在△DEF和△GEF'中，，∴△DEF≌△GEF'（SAS）． ∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°， 则点F'的运动轨迹为射线GF'．观察图形，可得A，E关于GF'对称，∴AF'＝EF'，∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE， 在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，∴， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，∴BF'+EF'≥2， ∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，故答案为：4+2． 【点睛】本题考查旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 15．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点，为直线上的两个动点，且，将线段关于翻折得线段，连接．当线段的长度最小时，的度数为 度． 【答案】75 【分析】将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，得到，再由当时，有最小值，可得与均为30°、60°、90°直角三角形，再证明为等腰直角三角形，是等边三角形，进而得到，最后当于H时，有最小值，由此可以求出． 【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转后点A落在点E，连接，设交于G点，如下图所示：在矩形中，，，根据折叠可知，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴点在上， ∵垂线段最短，∴当时，有最小值，∴与均为、、直角三角形， 设，，则，，， ∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键． 16．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等腰，其中，，连接．当时， ；当从运动至过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】当时，得出，进而勾股定理即可求解；当从运动至过程中，由题意可知点为主动点，为从动点，则可知点的运动轨迹，然后作垂线段即可求解． 【详解】当时，∵，，∴是等腰直角三角形，则∴ 又∵∴∵∴， ∵，∴∴在中，； 将绕点顺时针旋转，使与重合，∴，           ∴，，点在垂直于所在直线上，过作于点， ∴当与重合时，最小，如图，过作于点， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∴，∴，在中，由勾股定理得：， ∴由题意得：，∴，∴， 则的最小值为，故答案为：，． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，线段极值问题，垂线段最短，解题的关键是分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹． 17．（2024·辽宁·九年级校考期中）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析② 【分析】根据证明三角形全等即可；根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，． ，．，， 在和中， ≌； （2）证明：如图中，设与相交于点． ，．≌，． ，．， ，，四边形是矩形，． 四边形是正方形，，．． 又，≌．．矩形是正方形； 解：作交于点，作于点， ∵∴≌．． ，，最大时，最小，． ．由可知，是等腰直角三角形，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 18．（2023上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：． （）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）． 【分析】（1）（i）证明，可得；（）以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点在线段上运动，即可求出点运动的路径长为； （2）将线段绕点顺时针旋转到，作射线，连接交于点，证明，得，说明点在以点为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可． 【详解】（1）（i）证明： ∵，，∴， ∵是边长为5等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∵， ∴，∴，∴； ②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，    ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接， 则，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，由（）得，∴， ∵，且，∴点在线段上运动， ∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， ∴点运动的路径长为． （2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，    ∵作顶角的等腰，∴，，∴， ∵， ∴，∵四边形是长方形，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动， ∴当时，线段最短，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴， ∴，∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$