专题05 特殊的平行四边形中的最值模型之瓜豆模型（原理）-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题05 特殊的平行四边形中的最值模型--瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 2 19 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2023·江苏·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为___． 例2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______． 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 例5．（2024·江苏淮安·三模）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ． 例6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点在第一象限，连接，在下方作等腰，使，则的最小值为 ． 例7．（2024·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 1．（2024上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（    ）．    A． B．3 C． D． 2．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 3．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，线段，点是线段上的一个动点（不与点重合），在上方作以为腰的等腰，且，过点作射线，过上一动点（不与重合）作矩形，其对角线交点为，连接，则线段的最小值为 ．    4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    5．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 7．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．    8．（2024·江苏连云港·校考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______． 9．（2024下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．    10．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    11．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ．    12．（2024·陕西师大附中校考一模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 13．（2024上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    14．（2023·江苏·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________． 15．（2023·江苏宿迁·校考期中）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 16．（2024上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 17．（2024上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：．（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    18．（2024·辽宁·八年级校考期中）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 7 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊的平行四边形中的最值模型--瓜豆模型（原理） 动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 2 19 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹 瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。 主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。 条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？ 结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线． 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？ 结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。 证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可， 比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。 解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下四种方法进行确定： ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。 例1．（2023·江苏·统考二模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为___． 【答案】 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴， ∵，∴． 根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 例2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，在上取一点使得，连接，，由正方形的性质得到，，证明得到，进而推出点在直线上运动；如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，，则，，，即，即可证明、、三点共线，进一步推出当、、三点共线时，的周长有最小值，最小值为，由勾股定理得，则的周长最小值为． 【详解】解：如图所示，在上取一点使得，连接，， 四边形是正方形，，， ，，， ，，，，， 又，，，，点在直线上运动， 如图所示，作点关于直线的对称点，连接，，， ，，，即， ，即、、三点共线， 的周长， 当、、三点共线时，的周长有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， 的周长最小值为，故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线确定点的运动轨迹是解题的关键． 例3．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形中，，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交于．首先证明，推出点在射线上运动，推出当时，的值最小，进一步即得答案． 【详解】解：如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，连接交于． ∵四边形是矩形，∴，， ∵，∴， 在和中，，∴（）， ∴，∴点在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，，，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4．（2024·广西河池·模拟预测）如图，在中，，，，为的角平分线，点F为上一动点，点G为的中点，连接，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、平行四边形的性质、解直角三角形的应用，当点与点重合时，点在点处，此时，当点与点重合时，点在点处，此时，由三角形中位线定理得出点在上运动，当时，的值最小，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，求出得出的最小值为，求出的长即可得解． 【详解】解：如图所示： 当点与点重合时，点在点处，此时， 当点与点重合时，点在点处，此时， 为的中位线，，且， 点为的中点，为的中位线， ，，点在上运动，当时，的值最小， 在中，，，，，， ，，， 为的角平分线，，， ，即，的最小值为， ，，，， ，故选：B． 例5．（2024·江苏淮安·三模）如图，，C在延长线上，作平行四边形，连接，若，则周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，设交于点， 四边形是平行四边形，，，，， ，，直线l与直线之间的距离为1， ，，， ，，即的最小值为， 即周长的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键． 例6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，点A坐标为，点在第一象限，连接，在下方作等腰，使，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．先判断点在线段上，当时，取得最小值，此时取得最小值，再证明和都是等腰直角三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵点在第一象限，∴点在线段上， ∴当时，取得最小值，此时取得最小值，作于点，如图， 令，则，令，则，∴点C坐标为，点D坐标为， ∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，由勾股定理得，∴， ∵等腰，，∴，，∴， 由勾股定理得，即，解得，故答案为：． 例7．（2024·江苏苏州·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为，∠ABC＝60°，对角线AC、BD交于点O．点E为直线AD上的一个动点，连接CE，将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF长度的最小值为_________． 【答案】3 【分析】连接BE，作BH⊥AD，由旋转的性质可得△DCF≌△BCE，把求DF的最小值转化为求BE的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：连接BE，作BH⊥AD交DA的延长线于H， 菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°． ∵∠ECF=120°，∴∠BCD=∠ECF，∴∠BCE=∠DCF 由旋转可得：EC=FC， 在△BEC和△DFC中，，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE， 即求DF的最小值转化为求BE的最小值． ∵在Rt△AHB中，∠BAH=60°，AB=，∴BH==3， 当E与H重合时，BE最小值是3，∴DF的最小值是3．故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题关键． 1．（2024上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形中，，，E为上一点．且，F为边上的一个动点．连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，其中点B、点F的对应点分别为点H、点G，连接和，则的最小值为（    ）．    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．首先证明，推出点G的在射线上运动，推出当时，的值最小，证明四边形是矩形，进一步推出，则，即可得到的最小值为． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接交于J．    ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点G的在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∴，∴四边形是矩形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴的最小值为．故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形得到动点运动的轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 2．（2024上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，连接，可证明，，当时，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到点P的运动路线是解答的关键． 【详解】解：连接， 由题意，，，∴垂直平分，即， ∵，∴，∴点P在与成的射线上， 故当时，最小，如图，则， ∴，由勾股定理得， ∴，则，即的最小值是，故选：C． 3．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）如图，线段，点是线段上的一个动点（不与点重合），在上方作以为腰的等腰，且，过点作射线，过上一动点（不与重合）作矩形，其对角线交点为，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，垂线段最短等，本题综合性较强，证明是解题的关键；连接，易证，可得，根据垂线段最短，即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示：    是等腰三角形，，在矩形中，， 又，，， ，，当时，的值最小， ，最小值，故答案为：． 4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且，F为边上一动点，点E绕点F逆时针旋转至点G，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】由“”可证，可得，可得点G在平行于且与的距离为1的直线上运动，则当点G在上时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接，作，过点G作于H，延长，交于点N，过点A作，    ∵点E绕点F逆时针旋转至点G，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴点G在平行于且与的距离为1的直线上运动，∴当点G在上时，有最小值， ∵，∴， ∴，，∴，， ∴的最小值，故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 5．（2023九年级上·福建泉州·专题练习）如图，在边长为的正方形中，点在边上，且．点是边上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若在正方形内还存在一点，则点到点、点、点的距离之和的最小值为 ．    【答案】 【分析】如图，过点作于首先说明等的运动轨迹是直线，将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形，推出，，推出，过点作直线于，根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小． 【详解】解：如图，过点作于．    ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴点在直线的上方到直线的距离为的直线上运动， 将绕点顺时针旋转得到，连接，，，则，都是等边三角形， ∴，，∴， 过点作直线于交于点F，则，，∴ 根据垂线段最短可知，当，，，共线且与重合时，的值最小，最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点H是上一点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，正确判断点G的轨迹是解题关键．根据正方形的性质，证明，进而推断点G的轨迹是射线，根据垂线段最短可知，当时，有最小值，根据特殊角的正弦函数值求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，，， ∴，∴，∴，∴点G的轨迹是射线， 根据垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵，∴，∴，故答案为：． 7．（2023下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】6 【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可． 【详解】解：如图，连接，    因为等边，矩形，所以， 所以，所以，所以，所以平分， 因为是定角，所以的角平分线是唯一确定的射线，所以点O在定直线上，所以， 过点B作于点E，因为，所以，故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键． 8．（2024·江苏连云港·校考一模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【分析】如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得 ，连接，利用全等三角形的性质证明，由矩形的性可得、，进而推出点F在射线上运动，当时值最小． 【详解】解：如图：在取一点T使得，连接，在上取一点K，使得，连接 ∵∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴∴, ∵矩形中，，∴， ∵,∴，∴, 点F在射线上运动，当时，的值最小，最小值为．故答案为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形并确定是解答本题的关键． 9．（2024下·江苏泰州·八年级校考期中）如图，线段的长为12，点在上（不与端点重合），以为边向上作等边，过作与垂直的射线，点是上一动点（不与点重合），以、为边作矩形，对角线与交于点，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】6 【分析】连接，证明平分，从而确定点O在定直线上，结合等边，确定，是定角，根据垂线段最短计算即可． 【详解】解：如图，连接，    因为等边，矩形，所以， 所以，所以，所以，所以平分， 因为是定角，所以的角平分线是唯一确定的射线， 所以点O在定直线上，所以，过点B作于点E， 因为，所以，故答案为：6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键． 10．（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形的边长是8，点E是边的中点，连接，点F是线段上不与点D，E重合的一个动点，连接，点G是线段的中点，则线段的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，与相交于点H,取中点I，连接，由正方形的边长是8得到，，，由中位线定理得到，则三点共线，即点G的运动轨迹是线段，由，当点G和点H重合时，线段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到线段的最小值． 【详解】解：连接，与相交于点H,取中点I，连接，    ∵正方形的边长是8，∴，，， ∵点G是线段的中点，∴，∴三点共线，∴点G的运动轨迹是线段， ∵，∴当点G和点H重合时，线段值最小， ∴，∴，即线段的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，证明三点共线是解题的关键． 11．（2023上·河南平顶山·九年级统考期中）如图，在菱形中，，，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接，在移动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，连接，作于，如图，利用菱形的性质得，则可判断和都是等边三角形，再证明得到，，接着判定为等边三角形，所以，然后根据垂线段最短判断的最小值即可． 【详解】解：连接，作于，如图，    四边形为菱形，，而， 和都是等边三角形，，， 在中，，，， 在和中，，，， ，为等边三角形，， 而当点运动到点时，的值最小，其最小值为，的最小值为，故答案为：． 12．（2024·陕西师大附中校考一模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解． 【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点， 正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F， 是等腰直角三角形, 在射线上运动，则是等腰直角三角形， 与点重合时，取得最小值，等于 即的最小值为故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键． 13．（2024上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转60°至线段，连接，则线段长的最小值为 .    【答案】 【分析】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．，，是等边三角形，，， ，，是等边三角形，，， ，，， ，，点在射线上运动，    根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，，，，，， ，四边形是平行四边形，，， ，，，的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．（2023·江苏·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是________． 【答案】 【分析】取CD中点H，连接AH，BH，可证四边形AECH是平行四边形，可得AH//CE，由三角形中位线定理可得PH//EC，可得点P在AH上，当BP⊥AH时，PB有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，取CD中点H，连接AH，BH，设AH与DE的交点为O，连接BO， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝4，CD//AB， ∵点E是AB中点，点H是CD中点，∴CH＝AE＝DH＝BE＝4，∴四边形AECH是平行四边形，∴AH//CE， ∵点P是DF的中点，点H是CD的中点，∴PH//EC，∴点P在AH上， ∴当BP⊥AH时，此时点P与H重合，BP有最小值， ∵AD＝DH＝CH＝BC＝4，∴∠DHA＝∠DAH＝∠CBH＝∠CHB＝45°，AH＝BH＝， ∴∠AHB＝90°，∴BP的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，垂线段最短等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键． 15．（2023·江苏宿迁·校考期中）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动 将绕点旋转，使与重合，得到， 从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上， 作，则即为的最小值，作，可知四边形为矩形， 则.故答案为． 【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键． 16．（2024上·陕西西安·九年级校考期中）如图，矩形中，，，是的中点，是直线上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理和点的运动轨迹，取中点H，连接，交于点O，根据四边形为矩形，得到四边形为矩形，，结合点O为的中点，有为点P的运动轨迹，则求得当点F与点E重合时最小． 【详解】解：取中点H，连接，交于点O，如图， ∵四边形为矩形，∴，，， ∵点E为中点，点H为中点，∴，，∴四边形为矩形，， ∵点O为的中点，∴为点P的运动轨迹， ∵在直线上运动，∴当点F与点E重合时最小为，故答案为：． 17．（2024上·北京西城·八年级校考期中）（1）如图①，在边长为的等边中，点为上一点，，过作，垂足为，点是线段上一动点，以为边向右作等边． （）过点作于，证明：．（）当点从点运动到点时，求点运动的路径长． （2）如图，在长方形中，，，．为上一点，且，为边上的一个动点，作顶角的等腰，连接，求的最小值．（提示：等腰直角三角形的三边长，，满足）    【答案】（1）（i）见解析；（ii）点F运动的路径长为4；（2）． 【分析】（1）（i）证明，可得；（）以为一边向右作等边三角形，连接，以为一边向右作等边三角形，连接，证明，则，，再说明，且，则点在线段上运动，即可求出点运动的路径长为； （2）将线段绕点顺时针旋转到，作射线，连接交于点，证明，得，说明点在以点为端点且与平行的射线上运动，当时，线段最短，求出此时的长即可． 【详解】（1）（i）证明： ∵，，∴， ∵是边长为5等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∵， ∴，∴，∴； ②如图①乙，以为一边向右作等边三角形，即，    ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴连接，以为一边向右作等边三角形，连接， 则，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，∴，，由（）得，∴， ∵，且，∴点在线段上运动， ∵当点与点重合时，则点与点重合；当点与点重合时，点与点重合， ∴点运动的路径长为． （2）如图②，将线段绕点E顺时针旋转到，作射线，连接交于点K，    ∵作顶角的等腰，∴，，∴， ∵， ∴，∵四边形是长方形，∴， ∵，，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∴点G在以点L为端点且与平行的射线上运动， ∴当时，线段最短，∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴， ∴的最小值是． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 18．（2024·辽宁·八年级校考期中）已知，四边形是正方形，绕点旋转（），，，连接，． (1)如图，求证：≌；(2)直线与相交于点． 如图，于点，于点，求证：四边形是正方形； 如图，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析② 【分析】根据证明三角形全等即可；根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，，． ，．，， 在和中， ≌； （2）证明：如图中，设与相交于点． ，．≌，． ，．， ，，四边形是矩形，． 四边形是正方形，，．． 又，≌．．矩形是正方形； 解：作交于点，作于点， ∵∴≌．． ，，最大时，最小，． ．由可知，是等腰直角三角形，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 13 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$