专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数；(2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度(2)，见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 【详解】（1）解： ，． ，． ，，． （2）解：．理由如下： 由（1）可知，， 即，，整理，得． 例2．（23-24·江苏·七年级期中）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，， ，；故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键 例3．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．    【答案】/度 【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到． 【详解】解：如图，延长交于，    ，，， 又，．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 例4．（2023·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______． 【答案】∠P＝360°﹣2a 【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P． 【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H， ∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3， ∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG， ∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°， ∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3， ∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a． 【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键． 例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，． (1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，，，与交于点，求的度数． 【答案】(1)∠BED＋∠D＝120°．见解析(2)100° 【分析】（1）如图①，延长交于点，根据平行线的性质即可得结论； （2）设，，可得，，，，结合（1）可知，进而可得结论； 【详解】（1）解：（1）结论：， 证明：如图①，延长交于点，∵，，       ，，； （2）解：如图②，，， 即，设，， ，，，， 由（1）知：，， ，， ，答：的度数为； 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和与外角性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 例6．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　． 【答案】(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3） 【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答. 【详解】（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠END=∠EFB， ∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME， （2）如图2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB， ∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA， ∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA， ∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°， ∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，∴∠E+2∠NPM=180°； （3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，① ∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），② 由①代入②，可得∠F=∠E，即. 点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义. 例7．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ，，又，， ，，，故答案为：． 例8．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)150(2)见解析(3)或 【分析】（1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质求出结果即可； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；（3）分两种情况进行讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：150； （2）证明：过点作， ∵，∴，， ，， ，即； （3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示： ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，整理得：； 当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线定义，平行公理的应用，以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． 1．（2023·安徽六安·统考模拟预测）一个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点，与交于点，若，则的大小为(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，因此，由平行线的性质得到． 【详解】解：，，， ，，， ，．故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由平行线的性质即可求出的度数． 2．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，已知，于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，，，   ， ，， ，，故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余以及两直线平行，同位角相等是解题的关键． 3．（2023下·河南周口·七年级统考期中）某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，根据得到，结合三角形内外角关系即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，∵，∴， ∵，，∴，故选B；    【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内外角的性质，解题的关键是作出辅助线． 4．（2023下·湖南常德·八年级校联考期中）如图，已知直线a，b被直线c，d所截，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性质得到，则由对顶角相等可得． 【详解】解：∵，∴， ∵，，∴，∴，故选C．    5．（2023下·吉林长春·九年级校考开学考试）已知直线，， ，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对顶角相等可得，，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图所示：   ， ，，，， ，，， ，故选：C． 【点睛】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握对顶角相等、平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ， ，，，即，故选：A．    【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】过C点作，根据平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理以及三角板的特点即可作答． 【详解】解：过C点作，如图，      结合图形，根据含角的直角三角板的特点可知：，，， 根据题意有：，∴，∴，， ∵，∴， ∵（对顶角相等），∴， 若∵，∴，∴， ∵，∴，故正确的有：②③④，即正确的有3个；故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键． 8．（2023·山西·统考模拟预测）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式旋转，若，则等于（    ） A．35° B．45° C．55° D．65° 【答案】D 【分析】利用对顶角相等及三角形内角和定理，可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，内错角相等”可求出结果． 【详解】解：∵，，∴． ∵直线，∴．故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 9．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过G作，根据平行线的性质可推导出，，再根据角平分线的定义和三角形的外角性质推导出，则，进而求解即可． 【详解】解：如图，过G作，则，    ∵，∴，，∴，∴， ∵、分别为，的角平分线，∴，， ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，则，∴，故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质等知识，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键． 10．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】先根据对顶角相等求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，再由三角形的性质即可得出答案． 【详解】 直线， ，故答案为：43. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，本题解题关键是熟知两直线平行，内错角相等． 11．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知，，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得出，进而利用三角形外角性质解答即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，∴， ∵，∴，故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 12．（2024下·河南信阳·七年级统考期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是 ．    【答案】/20度 【分析】过作，根据平行线的性质即可推出，从而求得的度数． 【详解】解：过作，如图所示，    ，，，， ，．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 13．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图①，直线，直线EF和直线、分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、上，点P在直线上，连接、．    (1)如图①，若点P在线段上，，，求的大小； (2)猜想：如图①，若点P在线段上移动，直接写出、、之间的数量关系； (3)探究：如图②，若点P不在线段上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的结论． 【答案】(1)(2)，理由见解析 (3)不成立，或 【分析】（1）根据平行线的性质和，即可得的大小； （2）如图①所示：结合猜想即可得出、、之间的数量关系； （3）如图②所示：分两种情况画出图形，当点P在延长线上时或当点P在延长线上时，结合探究过程即可写出、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图①所示：过点P作 ， ∵，，∴ ， ∵，∴ ，∵， ∴ ，∴； （2）解：猜想：， 如图①所示：过点P作 ，∴， ∵，∴ ，∴， ∴； （3）解：不成立，①当点P在延长线上时，有，理由如下：       过点P作，∴ ， ∵，∴，∴ ， ∴ ； ②当点P在延长线上时，有，理由如下： 过点P作，∴， ∴，， ∴ ， ∴综上所述：当点P不在线段上时，或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及其辅助线的添加方法，能够熟练的添加平行线做为辅助线并运用平行线的性质求角度的关系是解题的关键． 14．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD． （1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°． 【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3；  图2：∠1+∠2+∠3＝； 图3：∠1＝∠2+∠3；  图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3) 【分析】(1) 图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案； 图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案； 图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案． （2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；（3）利用图1结论进行求解 【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；  图2：∠1+∠2+∠3＝  图3：∠1＝∠2+∠3；  图4：∠1+∠3＝∠2； (2)选择图1，如图所示：过点P作EP//AB ∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC 又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3； (3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO， 又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101° 【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法． 15．（2023下·广东梅州·七年级统考期中）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，则　　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系，请给出证明；（不需要写出推理依据）。(3)如图③，平分，平分，若，求度数．    【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【分析】（1）过点P作，则，根据平行线的性质可得，，根据即可求解； （2）延长交于点H，根据得，结合三角形的外角定理 ，即可得出结论； （3）延长交于点H，过点G，作，则，可推出，，，则，，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点P作，∵，∴， 又∵，，∴，， ∴；故答案为：60； （2）解：如图②，，证明如下； 证明：延长交于点H，∴是的一个外角， ∵，∴，∴在，， ∴、、之间存在的数量关系为：∠； （3）解：如图③，延长交于点H，过点G，作， ∵，∴，∴，，， ∵平分，平分，， ∴，，， ∴，， ∴，∴．    【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 16．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，的是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在两点上，是橡皮筋上一点，将橡皮筋拉紧后，随意拉动点． (1)当在平行木条中间时，请你探索之间有怎样的数量关系，并说明理由．    (2)若将点拉至木条的上方，且E，A，C三点不共线．上述结论是否仍成立？若不成立，请探索新的数量关系，并说明理由．    (3)继续将点拉至木条下方，且E，A，C三点不共线，你又能得出怎样的结论？（直接写出结论）    【答案】(1)和，理由见解析 (2)不成立，理由见解析 (3)； 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得出结论； （2）根据三角形外角的性质可得出结论；（3）根据两直线平行，内错角相等可得出结论 【详解】（1）①理由：过E作的平行线，    ∵，，∴，∴； ∵∴ ②   理由：过E作的平行线，则，       ∴， （2）不成立，①如图所示，． 理由如下：如图，∵，∴ ∵是的外角，∴，∴． ②如图所示，．          理由如下：如图，∵，∴， ∵是的外角，∴，∴． （3）①如图所示，． 理由如下：如图，过E作，则，∴， ∵，∴． ②如图所示，． 理由如下：如图，过E作，则，∴， ∵，∴ 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．正确作辅助线是解题的关键． 17．（2023下·广东汕头·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解：①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展：在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可； （3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，．（平行于同一直线的两直线平行） 即 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行； （2）①解：过点作，所以， ，．， ，，， 即，故答案为：； ②解：，，， ，，故答案为：； （3）解：． 理由是：如图4，过点作， ，， ，，（平行于同一直线的两直线平行） ，，． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 18．（2023下·重庆巴南·七年级统考期末）已知直线，点E和点F分别在直线和上．        (1)如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)t的值为25或115 【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，进而可求出的度数；（2）过点H作，由平行线的性质得，，从而，进而可得，由角平分线的定义得，，然后根据可得结论； （3）分当与共线前和当与共线后两种情况求解即可． 【详解】（1）∵，，∴． ∵平分，∴． ∵，∴． （2），理由如下：过点H作，∴， ∵，∴．∵，∴． ∵，∴．∵平分，平分，∴，； ∵，∴，∴．∴．          （3）由（1）知，，∴． 如备用图1，当与共线前，∵，∴，∴，解得； 如备用图2，当与共线后，∵，∴， ∴，解得；综上可知，t的值为25或115． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数；(2)猜想三者之间的关系并加以说明． 例2．（23-24·江苏·七年级期中）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 例3．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，，，，则的度数是 ．    例4．（2023·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______． 例5．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，，． (1)如图1，写出与的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，，，与交于点，求的度数． 例6．（2023·余干县八年级期末）已知直线AB∥CD，（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　． 例7．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，，则 ． 例8．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 1．（2023·安徽六安·统考模拟预测）一个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点，与交于点，若，则的大小为(　　)    A． B． C． D． 2．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，已知，于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023下·河南周口·七年级统考期中）某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 4．（2023下·湖南常德·八年级校联考期中）如图，已知直线a，b被直线c，d所截，且，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023下·吉林长春·九年级校考开学考试）已知直线，， ，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图，，则（   ）    A． B． C． D． 7．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，将一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺的两边，之间，则下列结论中：①；②：；③；④若，则．其中正确结论的个数是（    ）．      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023·山西·统考模拟预测）已知直线，将一块含30°角的直角三角板按如图所示方式旋转，若，则等于（    ） A．35° B．45° C．55° D．65° 9．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 10．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则的度数为 °． 11．（2023下·湖南长沙·七年级校联考期末）如图，已知，，，则的度数为 ．    12．（2024下·河南信阳·七年级统考期末）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是 ．    13．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图①，直线，直线EF和直线、分别交于C、D两点，点A、B分别在直线、上，点P在直线上，连接、． (1)如图①，若点P在线段上，，，求的大小； (2)猜想：如图①，若点P在线段上移动，直接写出、、之间的数量关系； (3)探究：如图②，若点P不在线段上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出正确的结论．    14．（2023下·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中）问题探究：如下面四个图形中， ABCD． （1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题：（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°． 15．（2023下·广东梅州·七年级统考期中）如图，，点P为平面内一点． (1)如图①，当点P在与之间时，若，则　　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系，请给出证明；（不需要写出推理依据）。(3)如图③，平分，平分，若，求度数．    16．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，的是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在两点上，是橡皮筋上一点，将橡皮筋拉紧后，随意拉动点． (1)当在平行木条中间时，请你探索之间有怎样的数量关系，并说明理由．    (2)若将点拉至木条的上方，且E，A，C三点不共线．上述结论是否仍成立？若不成立，请探索新的数量关系，并说明理由．    (3)继续将点拉至木条下方，且E，A，C三点不共线，你又能得出怎样的结论？（直接写出结论）    17．（2023下·广东汕头·七年级校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解：①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展：在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 18．（2023下·重庆巴南·七年级统考期末）已知直线，点E和点F分别在直线和上．        (1)如图1，射线平分 交于点G，若，求的度数； (2)如图2，射线平分，点M是射线上一点（不包括端点F），点N为的平分线上一点（不包括端点E），连接，，延长交射线于点H，猜想与的关系，并说明理由； (3)在（1）的条件下，若绕点G以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点F以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为t秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时t的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$