专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版2024）

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24上·山东·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得，由外角的性质得是解决问题的关键． 【详解】解：延长交于．，；    ，；，； 等于180度的是．故选：D． 例2．（23-24上·安徽淮南·八年级校考阶段练习）如图，直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，∵，∴， ∵，∴，故选：B．    【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 例3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数． (1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ； (2)根据（1）中思路求的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两直线平行(2)30° 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行公理推论得到即可；（2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过E点作，∵，∴（平行于同一直线的两直线平行）， 故答案为：平行于同一直线的两直线平行； （2）由（1）可知，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，，∴． 例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．    【答案】 【分析】延长交于点，根据可求得度数，进而求得的度数． 【详解】解：延长交于点，如下图：    ∵,∴， ∵，∴，∴， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和为是解题关键． 例5．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）已知，    (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质分别求出，则； （2）如图所示，过点F作，过点E作，则，则有，，再根据角平分线的定义得到，再证明，，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴       （2）解：，理由如下：如图所示，过点F作，过点E作， ∵，∴， ∴，， ∵平分平分，∴， ∵， ∴， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线并且熟知平行线的性质是解题的关键． 例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3) 【分析】（1）证明：延长交于点，则，结合已知即可得出，据此即可得出结论；（2）设，，由角平分线的定义得，，由（1）可知∥，则，，然后由得，再四边形的内角和等于得，即，据此可得出，的数量关系； （3）设，则，，由∥得，而，然后根据得，据此可求出，则，最后根据周角的定义可求出的度数． 【详解】（1）证明：延长交于点，，    ，，∥． （2）解：，的数量关系是：，理由如下： 设，，平分，， ，，， 由（1）可知：∥，，， ，，， 由四边形的内角和等于得：， 即：，，． （3）解：设，， ，由（1）可知：∥， ，， ，， ，，解得：， ，，根据周角的定义得：， ． 【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． 例7．（24-25七年级上·广东·期中）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵，∴，∴，． ∵，，∴，， ． 例8．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)150(2)见解析(3)或 【分析】（1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质求出结果即可； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；（3）分两种情况进行讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：150； （2）证明：过点作， ∵，∴，， ，， ，即； （3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示： ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，整理得：； 当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线定义，平行公理的应用，以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． 1．（24-25八年级上·海南三亚·期末）已知，现将一个含角的直角三角尺按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线，上，交于点H，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等是解题的关键．由可得，结合可得出的度数，再由得出，即可得出结论． 【详解】解：， ， 由含角的直角三角尺可得，，， ，．故选：D． 2.（23-24七年级上·湖北荆门·期中）如图，直线，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． 过点A作直线，如图，先利用平行线的性质得求得，再证明，即可得出． 【详解】解：如图，过点A作直线， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：A． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，添加合适的辅助线是解题的关键． 过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：过点作，    ∵，∴，，， 又，，，，．故选：B． 4．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，已知直线，，，则的度数为（       ）    A．42° B．44° C．46° D．48° 【答案】A 【分析】证明，，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，，∴，， ∵，∴；故选A． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键． 5．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作，可得，进而得到，，由的直角三角板可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，，，    ，，， 由的直角三角板得，，故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角板中的角度计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用两直线平行，内错角相等求解． 6．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．    【答案】/52度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定的综合运用，过点作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义即可得出结论，解题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 【详解】如图，过点作，过作，    设，， ∵，交于，平分， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，平分，∴， ∵，∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴，故答案为：． 7．（2024下·绵阳市·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是 .    【答案】 【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系． 【详解】解：过作，    ，，，， ，，， ．故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 8．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 【答案】/23度 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 9．（2024下·浙江·七年级校考期末）如图所示，，那么 °．    【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，再由三角形外角性质即可得到答案． 【详解】解：，， 是的一个外角，， ，故答案为：． 【点睛】本题考查求角度问题，涉及平行线的性质、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键． 10．（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解．本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作． ，．设，，则，，． ∵平分，， ，，， ∵平分，，，， ，，， ，， 解得，．故答案为：． 11．（2024下·湖南·七年级统考期末）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解 【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； （2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出； ②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出． 【详解】（1）解：如图4所示：过点作， ∵ ∴ ∴，， ∵，∴； （2）解：①如图5过点作，∵∴∴，， ∵，∴； ②如图6过点作，∵∴∴，， ∵，∴． 【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键． 12．（2024下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游 公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数． 小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______． （2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，． ①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．    【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）过点P作，点G在点P的左侧，根据平行线的性质及平行公理即可； （2）①过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可；②过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可． 【详解】解：（1）过点P作，点G在点P的左侧．            图①    图② ∵，∴．∴，． 又∵，，∴． 故答案为：； （2）①与，之间的数量关系为．理由如下：如图①，过点P作． ∵，∴．∴，． ∴．∴与，之间的数量关系为． ②与，之间的数量关系为． 理由：如图②，过点P作． ∵，∴∴，．∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握平行线的性质及平行公理，作出合适的辅助线是本题的关键． 13．（23-24七年级下·广东·期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理． （1）根据∠1、及∠3的和为180°可求出∠3，根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论； （3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图（1）． ，，．，． （2）解：如图（2），过点作， 在中，，，． ，，，，． ．．． （3）解：．理由如下：如图（3），过点作，． 平分，，，． ，，．． ，．．． 14.（2024·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．       （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]． 【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论；（2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论；（3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解． 【详解】解：（1）．理由如下： 过点作，则．． ，．          （2）． 理由如下：过点作，则．，． ，． 【拓展变式】过点作，则． ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 15．（23-24七年级下·绵阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)，见解析 【分析】（1）过作，因为，所以，可得，，所以；（2）过点作，因为，所以，可得，，已知，，可得的度数，即得的度数；（3）过点作，因为，所以，可得，，已知，，因为，可得的度数；（4）过点作，因为，所以，可得，，因为，可得． 本题考查了平行线的性质，平行公理，关键是掌握平行线的性质． 【详解】（1）解：过作，， ，，，，故答案为：； （2）解：过点作，， ，，，，， ，，，故答案为：； （3）解：过点作，，，，， ，，故答案为：； （4）解：过点作，，即， ，，，即， ，． 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴，∴， ∴． 【类比应用】（1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 【答案】（1）；（2），见解析；（3）． 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．（1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得； （3）设，，先根据角平分线的定义可得，，再根据（2）的结论可得，根据材料的结论可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）如图3，过点作，∴． ∵，，∴，∴，∴． （2）． 理由：如图4，过点作， ∴，∴． ∵，，∴，∴， ∴，即． （3）．设，． ∵平分，平分，∴，， ∴．由（2）可知，． 由材料的结论可知，，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（23-24上·山东·八年级专题练习）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 例2．（23-24上·安徽淮南·八年级校考阶段练习）如图，直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 例3．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知，，，求的度数．(1)小明在解决问题时，过E点作，则可以得到，其理由是 ；(2)根据（1）中思路求的度数． 例4．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，，点在上方，连接，若，则 度．    例5．（2023下·浙江宁波·七年级校考期中）已知，(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分平分，则与有怎样的数量关系，并说明理由    例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．    (1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数． 例7．（24-25七年级上·广东·期中）如图，已知，，，求的度数． 例8．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 1．（24-25八年级上·海南三亚·期末）已知，现将一个含角的直角三角尺按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线，上，交于点H，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·湖北荆门·期中）如图，直线，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，已知直线，，，则的度数为（       ）    A．42° B．44° C．46° D．48° 5．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，，含的直角三角板的直角顶点在直线上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，交的反向延长线于点，若，且，则度数为 ．    7．（2024下·绵阳市·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是 .    8．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 9．（2024下·浙江·七年级校考期末）如图所示，，那么 °．    10．（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 11．（2024下·湖南·七年级统考期末）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3． (1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况． ①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明； ②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）． 12．（2024下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游 公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数． 小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______． （2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，． ①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系； ②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．    13．（23-24七年级下·广东·期末）[问题情境]在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图（1），已知直线，在中，，． (1)[操作发现]在图（1）中，若，求的度数； (2)如图（2），创新小组的同学将直线向上平移，并改变的位置，发现，说明理由； (3)[实践探究]缜密小组在创新小组发现的基础上，将图（2）中的图形继续变化得到图（3），平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． 14.（2024·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．       （1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________． 15．（23-24七年级下·绵阳·期中）如图1，小明和小亮在研究一个数学问题： (1)已知：，和都不经过点P，直接写出与的关系 ； (2)在图2中，，若，则的度数为 ； (3)在图3中，，若，则的度数为 ； (4)在图4中，，探索与的数量关系，并说明理由． 16．（23-24七年级下·河南商丘·期末）【阅读理解】我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点，分别在直线，上，点在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点作，∴． ∵，，∴，∴， ∴． 【类比应用】（1）如图3，，，，求的度数． （2）如图4，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．设，，则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，，点在直线上，点在直线的上方，连接，．的平分线与的平分线所在的直线交于点，请直接写出的度数．（不要求写过程） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$