专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版2024）

专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（2024·江苏·校联考二模）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∴，故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 例3．（23-24下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    【答案】/147度 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据即可得出的度数． 【详解】解：，，，． 平分，．，， ．故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 例3．（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长，交于点，由，利用两直线平行，同位角相等可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数． 【详解】解：延长，交于点．，， ．故选：D．    【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例4．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，则∠H为（　　） A．22° B．22.5° C．30° D．45° 【答案】B 【分析】过作，过作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过作，过作，，， ，，，， ，，，， ．故选：B． 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答． 例5．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下列材料：如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题：(1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)（或） 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，外角和定理等． （1）根据题意过点P作，利用平行线性质即可得到本题答案； （2）根据题意过点作，利用角平分线定义得，，再利用内角和定理和外角和定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：数量关系：．证明：过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵ （如图），∴ （等量代换）．即； （2）解：补全图形：∵和的角平分线所在直线交于点M， ∴将图按如下命名：∴，， 又∵，过点作，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 数量关系：（或）． 例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______ (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1，∴，       ∵，∴∴， ∵，∴； （2）解：，理由：过点C作，如图，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，∴， ∵，∴，∵，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，由（2）可得：， ∴，即． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． 例7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 ． 【答案】45°/45度 【分析】反向延长DE交BC于M，如图，先根据平行线的性质求出∠BMD的度数，进而可得∠CMD的度数，然后利用三角形的外角定理解答即可． 【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图， ∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝75°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°； 又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．故答案为：45°． 【点睛】本题考查平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键． 例8．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)150(2)见解析(3)或 【分析】（1）过点P作，根据，得出，根据平行线的性质求出结果即可； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，，又，即可得出；（3）分两种情况进行讨论：当点P在点A的左侧时，当点P在点A的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点P作，如图所示： ∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为：150； （2）证明：过点作，∵，∴，， ，， ，即； （3）解：当点P在点A的左侧时，过点P作，，如图所示： ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴， ∴， ∴，∴，整理得：； 当点P在点A的右侧时，过点P作，，如图所示： ∵，∴，∴，， ∴， ∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，∴． 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线定义，平行公理的应用，以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，将直角三角板的两个顶点和分别放在直线和直线上，已知直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质．根据平角的定义可得，再根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图，根据题意得：，∵，，∴， ∵，∴．故选：B 2．（海南2024-2025学年七年级上期末考试数学试题）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作，，， ，， 又，．故选：D． 3．（2024七年级下·江苏无锡·培优）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题． 【详解】解：如图：令与的交点为， ， ∵，∴，∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∵，且， ∴， ∴，∴， ∴，∴，故选：D． 4．（2024-2025学年新教材七年级上册数学）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线，，，， 又，，，故选：D． 5．（2023下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过E作，过H作， ∵，∴，∵， ∴，， ∴， 同理∵，∴，， ∴， ∵，，∴， ∴ ．故选：B．    【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答． 6．（2023·河南周口·模拟预测）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的定义，解题的关键是掌握相关知识．先根据对顶角的定义可得，再由可得，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：，，，，，， ，，故选：B． 7．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点F作，延长交于点G，由得到，则，由，得到，则，，得到，又由得到，即可得到答案． 【详解】解：过点F作，延长交于点G，    ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∴， ∵，∴，∴．故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，， ，；故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键 9．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键；由平行线的性质可得，由外角的性质可得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，延长交于点F，取直线上一点N，点N位于点A右侧， ，， ，，，故答案为：30． 10．（23-24七年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    【答案】/147度 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据即可得出的度数． 【详解】解：，，，． 平分，．，， ．故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 11．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，延长交于点，由对顶角相等可得 ，从而可求得 ，再由平行线的性质可得 ，由邻补角的定义可得 ，利用三角形的外角性质即可求 的度数.解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等. 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：． 12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究：如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移：如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键（1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得．（3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作，则， ∴，∴， ∴． （2）．理由如下：如图，过点F作，过点C作， 则，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，，∵，∴．故答案为：． 13．（23-24下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．    【答案】当时，，证明见解析 【分析】当时，，证明过程为：过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行公理推论即可得． 【详解】解：当时，，证明如下： 如图，过点作，，    ，， ，，． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 14．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．(1)请对说明理由；(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：理由如下：∵，，∴，∴； （2）解：∵与底座都平行于地面，∴，∴， ∵，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴． 15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）阅读下列材料： 如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，． 小马同学通过观察，度量，提出猜想： ． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点作，由，可得．根据平行线的性质，可得，，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题 (1)如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，证明见解析 (2)图见详解，（或） 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，三角形外角的定义以及性质，对顶角相等等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，由平行线的性质得出，由平行线公理可得出，再由平行线的性质得出，由角的和差关系可得出，等量代换可得出，即． （2）根据题意补全图形即可，根据角平分线的定义可得出，，由三角形外角的定义可得出，，由对顶角相等可得出，进而可得出，等量代换后结合（1）可得出，进一步即可得出结果． 【详解】（1）解：过点P作，∴ ∵，∴ ∴， ∵∴，即． （2）根据题意，补全图形如下： ∵平分，平分，∴，， ∵，， 且 ∴，∴， ∴， 由（1）知，∴，即 16．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： (1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)（或） 【分析】本题考查平行线性质，角平分线定义，三角形内角和定理，外角和定理等． （1）根据题意过点P作，利用平行线性质即可得到本题答案； （2）根据题意过点作，利用角平分线定义得，，再利用内角和定理和外角和定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：数量关系：． 证明：过点P作，∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知），∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）．∵ （如图）， ∴ （等量代换）．即； （2）解：补全图形： ∵和的角平分线所在直线交于点M，∴将图按如下命名： ∴，，又∵，过点作， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 数量关系：（或）． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03.平行线中的拐点模型之牛角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 30 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 模型1：牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 证明：在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例1．（2024·江苏·校联考二模）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 例3．（23-24下·北京海淀·七年级校考阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    例3．（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是(　　)    A． B． C． D． 例4．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图，AB∥CD，∠EBF＝∠FBA，∠EDG＝∠GDC，∠E＝45°，则∠H为（　　） A．22° B．22.5° C．30° D．45° 例5．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下列材料：如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题：(1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 例6．（2023下·北京海淀·七年级校考期中）已知，，点C在上方，连接、． (1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．    例7．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为 ． 例8．（23-24七年级下·北京·期中）已知：为平面内点． (1)如图1，连接，已知 ；(2)如图2，求证：； (3)如图3，当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，直接写出与之间的数量关系． 1．（23-24七年级下·北京·期末）如图，将直角三角板的两个顶点和分别放在直线和直线上，已知直线，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（海南2024-2025学年七年级上期末考试数学试题）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级下·江苏无锡·培优）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2024-2025学年新教材七年级上册数学）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2023下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为(　　)      A． B． C． D． 6．（2023·河南周口·模拟预测）如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 9．（24-25八年级上·湖北·阶段练习）某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则 ． 10．（23-24七年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，，平分，，则 ．    11．（2023·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，，，则 ． 12．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究：如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移：如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展：在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 13．（23-24下·山东青岛·七年级统考期末）某种零件的形状如图所示，现要判断与是否平行，工人师傅分别测量了，和的度数后，就做出了判断．试猜想，和之间满足什么关系时，并证明你的猜想．    14．（23-24七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，．(1)请对说明理由；(2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 15．（23-24七年级下·北京丰台·期末）阅读下列材料： 如图，点是线段，所在直线之间的一点，且，连接，． 小马同学通过观察，度量，提出猜想： ． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是： 如图1，过点作，由，可得．根据平行线的性质，可得，，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题 (1)如图2，点是线段，所在直线上方的一点，且，连接，．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 16．（23-24七年级下·北京·期末）阅读下列材料： 如图，点P是线段所在直线之间的一点，且，连接．小马同学通过观察，度量，提出猜想：． 接着他时猜想进行了证明，证明思路是：如图1，过点P作，由．可得． 根据平行线的性质，可得，从而得证． 请你参考小马同学的证明思路，完成下列问题： (1)如图2，点P是线段AB，CD所在直线上方的一点，且，连接．用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，和的角平分线所在直线交于点M．在图3中补全图形，用等式表示与之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$