第04讲 一元二次方程根与系数的关系（选学）（1个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第04讲 一元二次方程根与系数 （1个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①一元二次方程根与系数的关系；. 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 知识点一：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即学即练1】 1．若，方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【即学即练2】 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【即学即练3】 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【即学即练4】 4．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 题型01 利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．已知为关于x的一元二次方程的两个根，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．若，是方程的两个根，则的值为 ． 4．若和是一元二次方程的两个的实数根，则 ． 5．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 题型02 利用根与系数的关系间接求代数式的值6．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 7．若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程的两根为、，则的值为 ． 9．若的两个根分别为，，且，则 ． 10．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 题型03 利用根与系数的关系降次求代数式的值 11．已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 13．已知、是一元二次方程的两实根、如果、满足，代数式的值为 ． 14．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 15．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 题型04 构造一元二次方程求解 16．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 17．若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 18．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 19．设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ． 20．已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证：． 题型05 由两根关系求字母系数 21．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 22．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 23．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 24．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 题型06 根与系数的多结论问题 26．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 27．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 28．关于下列一元二次方程，说法正确的是（    ） A．的两根之和等于5 B．的两根之积等于1 C．两根不可能互为倒数 D．中m=0时，两根互为相反数 29．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的是 ．（填序号） 30．若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 题型07 根与系数的新定义问题 31．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 32．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 33．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 34．定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为 ． 35．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______． (2)已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． (3)已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 题型08 根与系数的综合题 36．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） (2)一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ (3)若是倍根方程，求的值． 37．在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和___________（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，___________． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是___________． 38．在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 39．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程 （填“是”或“不是”）“三倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 40．定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 1．若是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程的两个根，满足 且则m的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（   ） A． B． C．或8 D．2或 4．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 5．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 6．若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为 ． 7．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 8．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 ． （2）若满足，则m的值为 ． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． ①实数m的取值范围是 ； ②当时，实数m的值为 ． 10．已知一元二次方程．下列说法： 若，则方程一定有两个不相等的实数根； 若，则一定是这个方程的实数根； 若，则方程一定有两个不相等的实数根； 若的两个根为和，则是方的根， 其中正确的是 （填序号） 11．已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 12．已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 14．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 15．已知关于x的一元二次方程两个实数解分别为x1和和x2，且3m+n＝1． (1)当n＝﹣5时，求x1和x2； (2)求n的最大值； (3)若x12＝x22，求2m+n的值． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 一元二次方程根与系数 （1个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①一元二次方程根与系数的关系；. 1.掌握一元二次方程根与系数的关系； 知识点一：根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【即学即练1】 1．若，方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．7 B．12 C．14 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出，，代入计算可得． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，即， ∴    ． 故选：D． 【即学即练2】 2．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，然后将其代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，， ， 故答案为：． 【即学即练3】 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若，是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， （1）根据题意可知，再解不等式可得出结论； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将原式整理为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 故的取值范围为； （2）解：方程的两个根分别为， ，， ， ， 解得， 故的值为． 【即学即练4】 4．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式； （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，列式计算即可； （2）由根与系数的关系得，，，再整理，代入计算即可． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根， 即 （2）由根与系数的关系得， 解得 题型01 利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．已知为关于x的一元二次方程的两个根，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，． 故选：B． 2．已知一元二次方程的两个实数解分别为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据，代入求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， 故选：A． 3．若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 4．若和是一元二次方程的两个的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得答案． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个的实数根， ∴， 故答案为：． 5．已知，是方程的两个实数根： (1)填空：______； ______． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1，； (2)3． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及运用完全平方公式求值，熟知这些知识点是正确解题的关键． （1）设，是一元二次方程的两个实数根，则，． （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：方程中，， ，． 故答案为：1，． （2）解：， 故答案为：3． 题型02 利用根与系数的关系间接求代数式的值 6．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】A 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系．由、是方程的两个实数根，则，，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：A． 7．若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8．若一元二次方程的两根为、，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解．根据根与系数的关系得，，则，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：3． 9．若的两个根分别为，，且，则 ． 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系即可解答． 【详解】解：的两个根分别为，，且， ，， ． 故答案为：19． 10．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式运算和完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，把所给代数式经过恒等变形为含的形式后，整体代入的值是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系：如果的两个实数根是，那么，得到的值． （1）把原式通分后运算得到，然后利用整体代入法计算即可； （2）利用完全平方公式的变形得到，然后利用整体代入法计算即可． 【详解】（1）方程中，，已知有两个根， 由一元二次方程根与系数的关系得． ； （2）． 题型03 利用根与系数的关系降次求代数式的值 11．已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 12．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2002 B．2003 C．2004 D．2005 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根及根与系数的关系，关键是根据根的定义及根与系数的关系得出关于的方程后变形代入目标代数式，解题技巧体现为代入时“降次”（例如：）．根据 是一元二次方程的两个实数根，分别把代入，得出关于的方程，利用这些方程结合目标代数式变形，利用根与系数的关系即可． 【详解】解： 是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴，， 给左右两边同乘以得：， ∴， ， 根据一元二次方程的根与系数的关系可得： ，代入上式，得 ， 故选：D． 13．已知、是一元二次方程的两实根、如果、满足，代数式的值为 ． 【答案】1100 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、根与系数的关系、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得、，进而得到一元二次方程；再根据一元二次方程的解、根与系数的关系可得，然后运用等量代换、完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴，方程为， ∴， ∴ ， ． 故答案为：1100． 14．设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 15．已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 题型04 构造一元二次方程求解 16．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 17．若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 18．若，是两个不相等的实数，，，则代数式的值为 ． 【答案】2030 【分析】本题考查根与系数的关系，根据，是两个不相等的实数，且满足，，可以得到、的值和，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是两个不相等的实数，且满足，， ∴，可以看作方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：2030． 19．设，是一元二次方程的两个根，则有，．已知，，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根与系数的关系，求整式的值；由方程解得、是方程的根，结合一元二次方程根与系数的关系即可求解；能将看作、是一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：，， 、是方程的根， ， ， ； 故答案为：． 20．已知实数m、n满足，，且． (1)试说明的值恒为正数； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）把m、n看作一元二次方程的两个不相等的根，然后利用根的判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后把通分后代入整理可得结论成立． 【详解】（1）解：∵实数m、n满足，，且， ∴m、n是一元二次方程的两个不相等的根． ∴， 即的值恒为正数． （2）证明：∵m、n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴ ． 由（1）得， ∴， ∴． 题型05 由两根关系求字母系数 21．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（  ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 22．已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 23．已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，且满足，则m的值为 ． 【答案】0或8/8或0 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得或，分两种情况：①和②，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ①当时，这个方程有两个相等的实数根， 则这个方程根的判别式， 解得或； ②当时，则，符合题意； 综上，的值为0或8， 故答案为：0或8． 24．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程两实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根和系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）根据一元二次方程根和系数的关系可得，，由完全平方公式可得，进而可得，求出的值再结合（1）即可求解； 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：由根和系数的关系可得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得，， ∵时，， ∴． 25．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握它们的性质是解本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出的范围即可； （2）利用根与系数的关系得出，，代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：根据题意得， ， 解得，所以的取值范围是； （2）解：根据题意得，，， 所以， 解得，， 又， 所以． 题型06 根与系数的多结论问题 26．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若，，是一元二次方程的两根时，，．当a、c异号时，，则根据判别式的意义可对①进行判断；当时，，可判断方程一定有两异实数根，则可对②进行判断；当时，则，则根据判别式的意义可对③进行判断；若，计算出，根据根与系数的关系，对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴当a、c异号时，， ∴， ∴此时方程一定有实数根，故①正确； 当，若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根，若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确； 若时，，则方程一定有两实数根，故③正确； 若， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②③． 故选：B． 27．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】当a、c异号时，，则根据根的判别式的意义可对①进行判断；当时，则，则根据根的判别式的意义可对③进行判断；若，，，计算出，则可对④进行判断． 【详解】解：， 当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确； 若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确； 若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 28．关于下列一元二次方程，说法正确的是（    ） A．的两根之和等于5 B．的两根之积等于1 C．两根不可能互为倒数 D．中m=0时，两根互为相反数 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系进行判断即可求解． 【详解】A. 的两根之和等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，即方程的两根之积等于，故该选项不正确，不符合题意； C. ， ∵，， 解得， ∵，两根之积为， ∴方程两根之积不可能互为倒数，故该选项正确，符合题意； D. 中时，即，此方程无实根，故该选项不正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 29．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式的运用，理解一元二次方程有根的含义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据，由偶次幂的非负性即可判定结论①；根据方程有两个不相等的实数根可得，由此再运用根的判别式进行判定即可得到结论②；把代入方程，当时，不成立，可判定结论③；运用求根公式进行计算可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：①若， ∴，即，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根， ∴，即， ∴方程中，， ∵， ∴，即方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③若是方程的一个根， ∴， 当时，不成立，故③错误； ④若是一元二次方程的根， ∴， ∴或， ∴第一种情况，， ∴， ∴； 第二种情况，， ∴， ∴， 综上，④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 30．若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 题型07 根与系数的新定义问题 31．定义：若一元二次方程有两个整数根，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是“一元二次倍根方程”．例如的两根为，，因为是的2倍，所以是“一元二次倍根方程”．已知n是正整数，若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，且关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则n的值为（    ） A．2 B．2或5 C．4或6 D．2或6 【答案】B 【分析】本题考查根与系数的关系．用因式分解法求解方程得出，，再根据一元二次方程根的判别式，得出m的取值范围，最后根据“倍根方程”的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵总有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵n是正整数， ∴，2，3，4，5，6， ∵方程是“倍根方程”， ∴3能被整除或能被3整除， ∴或5． 故选：B． 32．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把化简，再根据根的判别式进行判断，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 33．对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 34．定义运算：，若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题中给出的运算定义式可把要求值的算式化简为包含ab和a+b的代数式，再由a 、b 是方程 的两个根可得ab和a+b的值，最后把ab和a+b的值整体代入即可得解． 【详解】∵，为的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为-8．　 【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根与系数关系的综合应用，由根与系数关系得到ab和a+b的值后代入由实数新运算法则得到的算式求解是解题关键． 35．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． (1)写出一元二次方程的“友好方程”______． (2)已知一元二次方程的两根为，它的友好方程的两根为、______．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为______． (3)已知关于x的方程的两根，请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】(1) (2)；互为倒数 (3)和 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和公式法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）求出方程的解，即得猜想，分别求方程和的根，可验证； （3）利用（2）中的结论，可得方程的“友好方程”的两根为，因此方程的两根，即，整理方程得，即得答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的“友好方程”为：； 故答案为：； （2）解：对于方程， ， 解得：， 根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数； 证明如下： ∵一元二次方程的两根为， “友好方程”的两根， ， ， 即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数； 故答案为：；互为倒数； （3）解：∵方程的两根是， ∴该方程的“友好方程”的两根为， 则方程的两根， 即， 整理方程得， ∴关于的方程的两根为和． 题型08 根与系数的综合题 36．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请根据上述结论解决问题：方程①；方程②；方程③．这几个方程中，是倍根方程的是 ；（填序号即可） (2)一般规律探究：我们知道，若一元二次方程的两根为，，则有，，请你根据以上关系探究：若一元二次方程是“倍根方程”，则，，满足什么数量关系？ (3)若是倍根方程，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程等知识点，读懂题意，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）先解方程，然后根据“倍根方程”的定义进行判断即可； （2）由于一元二次方程是“倍根方程”，因而可设方程的两根为和，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，进而可得，，于是可得，化简即可得出，，之间的数量关系； （3）求解方程可得，，由“是倍根方程”可得或，然后分和两种情况即可求出的值． 【详解】（1）解：方程①， 解得：，， ， 方程①是倍根方程； 方程②， 解得：，， 且， 方程②不是倍根方程； 方程③， 解得：，， ， 方程③是倍根方程； 故答案为：； （2）解：一元二次方程是“倍根方程”， 可设方程的两根为和， 则，， ，， ， 整理，得：， 答：，，之间的数量关系是； （3）解：， 解得：，， 是倍根方程， 或， 当时，，即， 当时，，即， 的值为或． 37．在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和___________（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，___________． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是___________． 【答案】(1)是， 或 （写出一个即可）； (2)所求方程为或（写出任一个均可）； (3)或． 【分析】（）利用因式分解法求出方程和的根，进而根据倍根方程定义得出结论即可； （）利用（）求出的方程 的根得出其倍根数为的倍根方程的根，分情况讨论即可； （）设关于的一元二次方程的两个根为，则，，设关于的一元二次方程的倍根方程两根为，，则有，或，，构造一元二次方程即可； 本题考查了一元二次方程的解法，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 或 ，， 由 或 ∴，， ∵，， ∴一元二次方程和是倍根一元二次方程且倍根数为或； 故答案为：是，或； （2）解：由（）知方程的两个根为，， ∴，， 设方程的倍根一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴方程的倍根数为的倍根一元二次方程为， 由（）知方程的两个根为，， ∴，， 设方程的倍根一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴方程的倍根数为的倍根一元二次方程为，整理得， 故答案为：或 （3）解：设关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， 设关于的一元二次方程的倍根方程两根为，， ∴，或，， ∴倍根方程为或， 整理得：或． 38．在数学史上，人们发现方程的根并不是孤立的存在，它们与方程的系数之间存在深刻的联系．数学家们对此进行很多探索，并做出了巨大的贡献．某数学兴趣小组在学习一元二次方程之后也尝试做了研究：如果一个一元二次方程的两根分别是另一个一元二次方程两根的倍或，我们把这两个一元二次方程称为倍根一元二次方程，称为根倍数．请解决下列问题： (1)一元二次方程和______（“是”或“不是”）倍根一元二次方程，______． (2)请求出方程的一个倍根一元二次方程，根倍数为3． (3)关于的一元二次方程的倍根方程（设根倍数为）是______． 【答案】(1)是，2或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系； （1）分别解方程与，再结合新定义判断即可； （2）由方程的根为和，结合根倍数为3，可得倍根方程的两个根分别为：和或和，再进一步求解即可； （3）设一元二次方程两个根分别为，可得，一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或；再进一步求解即可； 【详解】（1）解：，即， 解得：和， ，即， 解得：和， 故一元二次方程和是“倍根方程”，且或． （2）解：，即， 解得：和， ∵根倍数为3， ∴倍根方程的两个根分别为：和或和， 当两个根为和时， ∴方程为， 当两个根为和时， ∴方程为，即； （3）解：设一元二次方程两个根分别为， ∴， ∴一元二次方程的倍根方程的两个根分别为：或； 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 当倍根方程的两个根分别为：时， ∴方程为， ∴， ∴方程为：， 综上：一元二次方程的倍根方程为或. 39．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)方程 （填“是”或“不是”）“三倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)是 (2)12 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了因式分解法解方程． （1）先解方程，然后根据“三倍根方程”的定义进行判断； （2）设方程的两根为，，则利用根与系数的关系得，，然后先求出，再计算出的值； （3）设方程的两根为，，利用根与系数的关系得到，，再把原式进行变形，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：解方程得，， 所以是“三倍根方程”； （2）设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 解得， ∴； （3）设方程的两根为，， 根据根与系数的关系得，， 即，， ∴． 40．定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“对称方程”；②是“对称方程” (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，以及根据“对称方程”的概念来解答一元二次方程中相应参数的值，熟练掌握一元二次方程的解法以及根与系数的关系是解答此题的关键． （1）将这两个方程分别解出来，再看它们的两个根是否互为相反数，即可判断它们是否为“对称方程”； （2）根据“对称方程”的特点即可得出两根之和等于0，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，代入相应字母的值可得出一个关于的方程，解出该方程即可得到的值． 【详解】（1）解：①， 因式分解得， ，， ∵该方程的两实数根不互为相反数， ∴此方程不是“对称方程”； ②， 整理得， ，， ∵该方程的两实数根互为相反数， ∴此方程是“对称方程”； （2）解：∵关于一元二次方程是“对称方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，原方程为，无解， ∴． 1．若是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 2．关于x的方程的两个根，满足 且则m的值为（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为，且，则m的值是（   ） A． B． C．或8 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，根的判别式，利用根与系数关系构建方程求出m，再利用判别式的值判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，则有， ，不符合题意舍去， ∴m的值是， 故选：A． 4．已知，且有及，则的值为（   ） A． B． C．3 D．2018 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可求出，进而可得是关于t的方程的两个实数根，则由根与系数的关系可求出，据此可得答案． 【详解】解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴是关于t的方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 5．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 6．若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得，，将方程两边同时除以可得：，整理可得，求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 将方程两边同时除以可得：， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 7．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题考查了根与系数的关系，解题的关键是灵活运用根与系数的关系与代数式变形相结合知识． 先求出两根之积与两根之和的值，再将化简成两根之积与两根之和的形式．然后代入求值即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 依题意得：， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 故答案为：3． 8．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根． （1）m的取值范围是 ． （2）若满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，，是解答此题的关键； （1）根据方程有两个不相等的实数根可知，求出的取值范围即可； （2）根据根与系数的关系得出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即，解得， 故答案为：； （2），是方程的两个实数根， ，． ， ，解得，（舍弃）． ， 故答案为：． 9．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． ①实数m的取值范围是 ； ②当时，实数m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，关键掌握“”以及“，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；” ①根据列式求解即可； ②先将变形后，再根据根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：①关于x的二元一次方程有两个实数根和， ， ， 解得； 故答案为：． ②关于x的二元一次方程有两个实数根和， ， ，， 或， 当时，，解得， ， 不合题意舍去； 当时，， ， ， 解得， 故答案为：． 10．已知一元二次方程．下列说法： 若，则方程一定有两个不相等的实数根； 若，则一定是这个方程的实数根； 若，则方程一定有两个不相等的实数根； 若的两个根为和，则是方的根， 其中正确的是 （填序号） 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解． 【详解】∵，， ∴、异号， ∴，所以方程有两个不等的实数根故正确； ②∵时，， ∴时，一定有一个根是，故正确； 根据，不能得到，从而不能证得方程一定有两个不相等的实数根，故错误； ∵和是的两个根， ∴，， ∴，， 而，， ∴，是方程的根，故正确， ∴正确的结论是， 故答案为：． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题的关键． 11．已知关于x的一元二次方程（m为实数，m≠1） (1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？ (2)求证：此方程总有两个实数根． 【答案】(1)，方程的另一个根为-1 (2)见解答 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）先把代入一元二次方程可求得，则此时一元二次方程为，设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可； （2）计算根的判别式的值得到，利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【详解】（1）解：把代入一元二次方程得， 解得， 此时一元二次方程为， 设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为-1； （2）证明：，， 此方程总有两个实数根． 12．已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 13．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：， 不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：根据题意得：，， ， ， ． 解得． 14．定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_____“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)k的值为9 (3)或 【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据“限根方程”的定义进行判断； （2）先利用根与系数的关系得，，再利用得到，则可求得，，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方程”的定义确定的值； （3）利用因式分解法解方程得到或，再根据“限根方程”的定义得到时，当时，，然后解关于的不等式即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，， ，， 所以一元二次方程为“限根方程”， 故答案为：是； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ，即， 解得，， 当时，方程化为， 解得，， ，， 方程是“限根方程”， 当时，方程化为， 解得，， ， 方程化不是“限根方程”， 综上所述，的值为9； （3）解：， ， 或， 解得或， 当时，，解得； 当时，，解得， 综上所述，的取值范围为或． 15．已知关于x的一元二次方程两个实数解分别为x1和和x2，且3m+n＝1． (1)当n＝﹣5时，求x1和x2； (2)求n的最大值； (3)若x12＝x22，求2m+n的值． 【答案】(1)x1，x2＝2 (2) (3) 【分析】（1）利用n的值求得m＝2，则方程化为2x2﹣5x+2＝0，然后利用因式分解法解方程； （2）先利用根的判别式的意义得到（2m+1）2﹣4×2m2≥0，解得m，再用m表示n得到m（1﹣n），即（1﹣n），解不等式得到n的范围，从而得到n的最大值； （3）利用x12＝x22得到x1＝x2或x1＝﹣x2，当x1＝x2，易得m；当x1＝﹣x2，则，解得m（舍去），再计算对应的n的值，然后计算2m+n的值． 【详解】（1）解：当n＝﹣5时，3m﹣5＝1， 解得m＝2， 方程化为：2x2﹣5x+2＝0， （2x﹣1）（x﹣2）＝0， 2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1，x2＝2； （2）解：根据题意得＝（2m+1）2﹣4×2m2≥0， 解得m， ∵3m+n＝1， ∴m（1﹣n）， ∴（1﹣n）， 解得n， ∴n的最大值为； （3）解：∵x12＝x22， ∴x1＝x2或x1＝﹣x2， 当x1＝x2，则＝0，即m； 当x1＝﹣x2，则， 解得m， 而m， ∴m舍去， ∴m的值为， ∴3×（）+n＝1， 解得n， ∴2m+n＝． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与=b2-4ac有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根，还考查了解一元二次方程、根与系数的关系以及解一元一次不等式等内容． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$