第03讲 一元二次方程的应用（1个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第03讲 一元二次方程的应用 （1个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的应用； ②一元二次方程应用的解题步骤； 1.掌握一元二次方程的应用； 2.掌握一元二次方程应用的解题步骤； 知识点：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 考点2 多边形对角线问题 利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数. 考点3 循环问题 双方参与问题有以下几种常见类型: (1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手. (2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡. (3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场; ②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场. 考点4 传播问题 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 考点5 增减率问题 增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 考点6 面积问题 利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 考点7 利润问题 利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 【即学即练1】 1．国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【即学即练2】 2．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次为人次，到第三个月进馆人次达到人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率． 【即学即练3】 3．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． (1)要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ (2)学校想要围成一个面积为的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【即学即练4】 4．已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 【即学即练5】 5．随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在双十一期间抢占商机，现推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为40元，标价90元． (1)“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为57.6元？ (2)经调查，该商品每降0.2元，即可多销售100件，已知商品售价57.6元时，可以卖出500件，若该网店希望双十一当天获利13600元，且尽可能扩大销售量，则该商品在连续两次降价的基础上应如何调整？ 【即学即练6】 6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 【即学即练7】 7．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【即学即练8】 8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型01 传播问题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 2．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 3．有三人患了流感，经过两轮传染后共有243人患上流感，那么每轮传染中平均一人传染几人？ 4．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 5．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 题型02 增长率问题6．随着《黑神话：悟空》的火爆，国庆期间山西景区旅游热度大涨．10月1日，我省某景区的销售额为10万元，之后每日销售额的增长率相同，10月1日至10月3日该景区的累计销售额达到30.6万元．若设平均每日销售额的增长率为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 8．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 9．随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2024年7月份累计租车6000人次，租车量逐月增加，9月份租车量达8640人次，求平均每个月的增长率． 10．榆林豆腐是用榆林“桃花水”和当地优质黑豆经过脱皮、浸泡、磨浆等多道工序制作而成，清香爽口，软中带韧，弹而不裂，具有鲜、活、嫩、香的特点．某豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，由于引进了新的设备，豆腐产量逐年递增，到2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤．请你计算该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率． 题型03 与图形有关的问题 11．牛大伯准备将已有的一块长，宽的菜地进行扩建，扩建后的菜地面积是原来面积的．若扩建后的菜地的长和宽都增加了，则可列方程（    ） A． B． C． D． 12．如图，小康的爸爸借助一段墙(墙长16米)，用长21米的篱笆围成的矩形鸡舍，并在边上留一个1米宽的门．当鸡舍的长和宽分别为多少米时，鸡舍的面积为36平方米？设宽为x米，则可列方程为 ． 13．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），求的长．    14．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，沿着和修建宽度相同的充电桩区域，，剩余停车场的面积为5000平方米，求边和边减少的长度． 15．如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为米长的木板（全部使用完），若设为米． (1)的长为 米；（用含的代数式表示） (2)仓库的面积能为吗？若能，求出的长；若不能，说明理由． 题型04 数字问题 16．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 17．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 18．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 19．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 20．已知两个连续整数的积为132，求这两个整数． 题型05 营销问题 21．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 22．某种文化衫平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可以多售出10件．如果每天要盈利1080元，请问每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为 23．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 24．水仙花是福建省的省花，也是中国传统十大名花之一．某经销商销售水仙花，平均每天可卖出60盆，每盆盈利20元．经市场调研发现，每降价1元，每天销量将增加2盆，设每盆降价x元． (1)试用含x的代数式表示降价后平均每天的销售数量； (2)为减少库存，经销商决定降价销售，当每盆水仙花降价多少元时，该经销商每天能获利1050元？ 25．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加500个． (1)若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降元，每月能售出_____个头盔； (2)为“庆元旦”，该经销商决定降价促销，月获利能否达到7000元？请说明理由． 题型06 动态几何问题 26．如图，在中，，点从点出发向终点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发向终点以每秒2个单位长度的速度移动，两点同时出发，其中一点先到达终点时，两点同时停止移动．当的面积为4时，经过了（    ） A．2秒 B．4秒 C．6秒 D．1秒或4秒 27．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 28．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 29．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 30．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 题型07 工程问题 31．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 32．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 33．2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 33．在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 35．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 题型08 行程问题 36．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 37．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 38．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 39．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 40．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 题型09 图表信息题 41．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 42．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    43．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 44．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 45．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 题型10 其他问题 46．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 47．阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 48．2023年12月21日，以“共享，协同——引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区（校）建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕，天府新区作为劳动教育实验区，积极推进区域劳动教育，形成公园城市生态劳动教育模式．新区某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，并用30m长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地，每个蔬菜基地一边长为，另一边长为（如图所示）． (1)求y关于x的函数关系式（不必写明自变量x的取值范围） (2)每个蔬菜基地的面积是否能达到且？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 49．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 50．如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．      (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________； (3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 1．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有人参加会议，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．《代数学》中记载，求方程的正数解的几何方法是：“如图1，构造一个面积为的正方形，以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为300，则该方程的正数解为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 4．如图，空地上有一段长20米的旧墙，工人师傅想利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园，已知木栅栏总长40米，围成的长方形菜园的面积为150平方米，则该长方形菜园中平行于墙的边长为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 设米，则米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴矩形菜园的边长为10米． 故选：A． 5．我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为（    ） A．28寸 B．62寸 C．86寸 D．96寸 6．为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 7．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 8．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 9．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 10．小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 11．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元? 12．如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 13．项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 14．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 15．综合实践： 项目主题 “亚运主题”草坪设计 项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想；我认为__________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为__________和__________； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为__________和__________． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为2204平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图． 驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用函数表示y关于x的表达式． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗﹖请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程的应用 （1个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的应用； ②一元二次方程应用的解题步骤； 1.掌握一元二次方程的应用； 2.掌握一元二次方程应用的解题步骤； 知识点：一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、检、答。 具体可分为：①审题，找等量关系，这是列方程解应用题的关键； ②设未知数，注意单位; ③根据题意找等量关系列出方程； ④解方程； ⑤检验解是否合理； ⑥写出答案作答 考点1 数字问题 数字问题有以下几种常见类型: (1)连续整数.若三个连续整数最中间的整数是，则最小的整数是，最大的整数是. (2)连续偶数.若三个连续偶数最中间的偶数是，则最小的偶数是，最大的偶数是. (3)连续奇数.若三个连续奇数最中间的奇数是，则最小的奇数是，最大的奇数是. (4)两位数.若一个两位数的十位数字是，个位数字是，则这个两位数是. (5)三位数.若一个三位数的百位数字是，十位数字是，个位数字是，则这个三位数是. 考点2 多边形对角线问题 利用一元二次方程解多边形对角线问题时需要用到公式，其中是多边形的边数，是多边形对角线的总条数. 考点3 循环问题 双方参与问题有以下几种常见类型: (1)握手（单循环）.若两个人握1次手，则个人握次手. (2)互送贺卡（双循环）.若两个人互送1张贺卡，则个人互送张贺卡. (3)球赛.①若两个队只比赛1场(单循环)，则个队比赛场; ②若两个队相互比赛1场(双循环)，则个队比赛场. 考点4 传播问题 1、病毒传染问题：设每轮传染中平均一个人传染了个人.开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了个人，用代数式表示第一轮后共有人患了流感.第二轮传染中，人中的每个人又传染了个人，用代数式表示第二轮后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）²人患了流感. 2、 树枝问题：设一个主干长x个枝干，每个枝干长x个小分支，则一共有1+x+x²个枝。 考点5 增减率问题 增减率问题涉及的公式有: (1) (2)若设原来量是，平均增长率是，增长次数是，增长后的量是，则;若设原来量是，平均降低率是，降低次数是，降低后的量是，则. 考点6 面积问题 利用一元二次方程解面积问题时，有时需要把不规则图形转化为规则图形 考点7 利润问题 利润问题常用公式如下: (1)利润=售价–成本价=标价×折扣–成本价. (2)利润率= (3)销售额=销售价×销售量. (4)销售利润=(销售价–成本价)×销售量 【即学即练1】 1．国庆当天，小明将收到的一条短信，发送给若干人，每个收到短信的人又给相同数量的人转发了这条短信，此时收到这条短信的人共有157人，试求小明给多少个人发了短信？ 【答案】12个人 【分析】首先设小明发短信给个人，根据每人只转发一次可得第一次转发共有人收到了短信，第二次转发有人收到了短信，由题意可得方程人收到了短信，再解方程即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 【详解】解：设小明发短信给个人，由题意得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 答：小明发短信给12个人． 【即学即练2】 2．“立身以立学为先，立学以读书为本”，为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次为人次，到第三个月进馆人次达到人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率． 【答案】进馆人次的月增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设进馆人次的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：进馆人次的月增长率为． 【即学即练3】 3．《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长，围成长方形的养鸡场四周不能有空隙． (1)要围成养鸡场的面积为，则养鸡场的长和宽各为多少？ (2)学校想要围成一个面积为的养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)养鸡场的长为，宽为； (2)这一想法不能实现，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设这一想法能实现，设，则，根据养鸡场的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长为，即可得出假设不成立，即这一想法不能实现． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：养鸡场的长为，宽为； （2）解：这一想法不能实现，理由如下： 假设这一想法能实现，设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去， ∴假设不成立， 即这一想法不能实现． 【即学即练4】 4．已知一个数的平方与25的差等于这个数与5的和，求这个数． 【答案】这个数为或 【分析】根据题意，设这个数为，列方程，解方程即可求解． 【详解】解：依题意，设这个数为，列方程， 即， ∴， 解得． ∴这个数为或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【即学即练5】 5．随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在双十一期间抢占商机，现推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为40元，标价90元． (1)“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为57.6元？ (2)经调查，该商品每降0.2元，即可多销售100件，已知商品售价57.6元时，可以卖出500件，若该网店希望双十一当天获利13600元，且尽可能扩大销售量，则该商品在连续两次降价的基础上应如何调整？ 【答案】(1)平均每次降价率为20% (2)商品在连续两次降价的基础上再降16元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该商品在连续两次降价的基础上再降元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（1）设平均每次降价率为 解得：，（舍） 答：平均每次降价率为． （2）解：该商品在连续两次降价的基础上在降元 解得：， 要扩大销售量 答：商品在连续两次降价的基础上再降元． 【即学即练6】 6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动．点Q到达点C后，点P、Q停止运动．设P、Q从点A、B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10cm2？ 【答案】1秒 【分析】可设经过x秒后，△PBQ的面积是10cm2，根据三角形面积公式建立等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2，由题意可得： 4x（6﹣x）÷2＝10， 解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去）． 答：经过1秒钟后，△PBQ的面积等于10cm2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“△PBQ的面积是10cm2”，找到等量关系是解决问题的关键． 【即学即练7】 7．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【即学即练8】 8．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 题型01 传播问题 1．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 2．流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意正确列出一元二次方程即可． 【详解】解：有两人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中有个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 根据题意列方程得：， 整理得：， 故答案为： ． 3．有三人患了流感，经过两轮传染后共有243人患上流感，那么每轮传染中平均一人传染几人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染人，第二轮传染人，再根据经过两轮传染后共有人患了流感列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意，得， 解得：（舍去），， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 4．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？ 【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：一个人每节课手把手教会了6名同学． 5．某市举行中学生足球比赛，要求参加比赛的所有球队直接进行双循环赛（每两个队之间进行两场比赛），共要进行110场比赛，问有多少支球队参加比赛? 【答案】11支 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数队的个数，把相关数值代入计算即可． 【详解】解：设有支球队参加比赛． 由题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， ∴有11支球队参加比赛． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用；得到比赛总场数的等量关系是解决本题的关键． 题型02 增长率问题 6．随着《黑神话：悟空》的火爆，国庆期间山西景区旅游热度大涨．10月1日，我省某景区的销售额为10万元，之后每日销售额的增长率相同，10月1日至10月3日该景区的累计销售额达到30.6万元．若设平均每日销售额的增长率为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设平均每日销售额的增长率为，根据“10月1日，我省某景区的销售额为10万元，之后每日销售额的增长率相同，10月1日至10月3日该景区的累计销售额达到30.6万元”列方程即可． 【详解】解：设平均每日销售额的增长率为，列方程为， 故选：B． 7．某工业园区今年六月份提供就业岗位1500个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位2500个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为，根据题意得， ， 故答案为：． 8．小明热爱研究鸟类，每年定期去北京各个湿地公园观鸟．从他的观鸟记录年度总结中摘取部分数据如上面表格所示，设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x，可列方程为 ． 观鸟记录年度总结 2020年：观测鸟类150种 2021年：观测鸟类 2022年：观测鸟类216种 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用；根据增长率问题的等量关系列方程即可． 【详解】解：设小明从2020年到2022年观测鸟类种类数量的年平均增长率为x， 由题意得：， 故答案为：． 9．随着科技发展，骑共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．据统计，某市2024年7月份累计租车6000人次，租车量逐月增加，9月份租车量达8640人次，求平均每个月的增长率． 【答案】平均每个月的增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得9月份租车量为人次，进而可得方程求解；掌握增长率的典型模型的解法是解题的关键． 【详解】解：设平均每个月的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：平均每个月的增长率为． 10．榆林豆腐是用榆林“桃花水”和当地优质黑豆经过脱皮、浸泡、磨浆等多道工序制作而成，清香爽口，软中带韧，弹而不裂，具有鲜、活、嫩、香的特点．某豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，由于引进了新的设备，豆腐产量逐年递增，到2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤．请你计算该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据豆腐作坊2022年全年的豆腐产量为2万斤，2024年该作坊全年的豆腐产量到达了万斤，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：该作坊这两年全年豆腐产量的年平均增长率为． 题型03 与图形有关的问题 11．牛大伯准备将已有的一块长，宽的菜地进行扩建，扩建后的菜地面积是原来面积的．若扩建后的菜地的长和宽都增加了，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 首先求出扩建后的面积，然后设扩建后的菜地的长和宽都增加了，根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵扩建后的菜地面积是原来面积的 ∴扩建后的菜地面积为， 设扩建后的菜地的长和宽都增加了， 根据题意得，． 故选：A． 12．如图，小康的爸爸借助一段墙(墙长16米)，用长21米的篱笆围成的矩形鸡舍，并在边上留一个1米宽的门．当鸡舍的长和宽分别为多少米时，鸡舍的面积为36平方米？设宽为x米，则可列方程为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设宽为x米，根据鸡舍的面积为36平方米，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设宽为x米，则米，根据题意得， 即 故答案为：或． 13．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设长为，则的长为，再根据长方形的面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设长为，则的长为，     根据题意得，，     整理得：， 解得或（舍去），     答：长为． 14．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．某停车场为了解决充电难的问题，现将长为130米，宽为80米的矩形停车场进行改造．如图，沿着和修建宽度相同的充电桩区域，，剩余停车场的面积为5000平方米，求边和边减少的长度． 【答案】30米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设边和边减少的长度是米，则剩余部分是长为米，宽为米的矩形，根据剩余停车场的面积为5000平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设边和边减少的长度是米，则剩余停车场是长为米，宽为米的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：边和边减少的长度是30米． 15．如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长），并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为米长的木板（全部使用完），若设为米． (1)的长为 米；（用含的代数式表示） (2)仓库的面积能为吗？若能，求出的长；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)仓库的面积能为，米 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程—— 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键． （1）设的长为米，则米，即可作答． （2）根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设的长为米， 要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为米长的木板(全部使用完）， 米， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：，， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， 米．仓库的面积能为， 题型04 数字问题 16．我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 设周瑜逝世年龄的个位数字为，根据题意列出方程即可． 【详解】设周瑜逝世年龄的个位数字为， 根据题意得，． 故选：B． 17．有一个两位数，个位上数字和十位上数字之和为6，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍，则这个两位数为（    ） A．24 B．15 C．24或15 D．42或51 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程．设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．根据等量关系：，这个两位数是这个两位数的个位上数字与十位上数字之积的3倍．列方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数个位数字为，则十位数字为．则 ， 解得，， 当时，即原来的两位数个位数字为4，十位数字为2． ∴这个两位数是24， 当时，即原来的两位数个位数字为5，十位数字为1． ∴这个两位数是15， 故选：C． 18．2024年11月22日是二十四节气之一的“小雪”，“小雪”标志着降雪的开始和气温的进一步降低．如图是2024年11月的月历表，在月历表中用方框圈出9个数字，若圈出的9个数字中，最大数与最小数的乘积为297，则最小的数为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 设最小数为x，可知最大数为，根据题意得出，再求出解即可． 【详解】解：最小数为x，可知最大数为，根据题意，得 ， 解得． ∴最小的数为11． 故答案为：11． 19．一个两位数，个位数字与十位数字之和是5，十位数字与个位数字对调后所得的数与原数相乘，得736，这个两位数是 ． 【答案】23或32 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， 解得：或， 则或． 则这个两位数是23或32． 故答案为：23或32． 20．已知两个连续整数的积为132，求这两个整数． 【答案】这两个整数是11、12或 【分析】设一个整数为，那么另一个连续整数是，根据两个连续整数的积为132列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设一个整数为，那么另一个连续整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， 答：这两个整数是11、12或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—数字问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型05 营销问题 21．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 22．某种文化衫平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可以多售出10件．如果每天要盈利1080元，请问每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设每件降价x元，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利1080元，即可列出方程． 【详解】解：设每件降价x元，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件； 可列方程为：． 故答案为：． 23．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 元． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件降价元则每件的盈利为元，每天可出售件，由总利润每件的盈利日销量，进而列出方程，求出结果要结合尽快减少库存，即可得解． 【详解】解：设每件降价元，则每件的销售利润为元，每天可售出件， 根据题意得：， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 故每件应降价10元． 故答案为：10． 24．水仙花是福建省的省花，也是中国传统十大名花之一．某经销商销售水仙花，平均每天可卖出60盆，每盆盈利20元．经市场调研发现，每降价1元，每天销量将增加2盆，设每盆降价x元． (1)试用含x的代数式表示降价后平均每天的销售数量； (2)为减少库存，经销商决定降价销售，当每盆水仙花降价多少元时，该经销商每天能获利1050元？ 【答案】(1)盆 (2)当销每盆水仙花降价5元时，该经销商每天能获利1050元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某经销商销售水仙花，平均每天可卖出60盆，每盆盈利20元．每降价1元，每天销量将增加2盆，列出代数式即可； （2）根据该经销商每天能获利1050元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，降价后平均每天的销售数量为盆； （2）解：由（1）可知，降价后平均每天的销售数量为盆， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当销每盆水仙花降价5元时，该经销商每天能获利1050元． 25．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个30元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加500个． (1)若售价下降1元，每月能售出_____个头盔，若售价下降元，每月能售出_____个头盔； (2)为“庆元旦”，该经销商决定降价促销，月获利能否达到7000元？请说明理由． 【答案】(1)700， (2)月获利不能达到7000元，理由见解析 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解决实际问题的方法是解题的关键． （1）根据售价每下降5元，其月销售量就增加500个，可得每下降元，月销售量增加个，由此即可求解； （2）根据题意，列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：当每个头盔售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降5元，其月销售量就增加500个， ∴，即每下降元，月销售量增加个， ∴月销售量为（个）， ∴售价下降1元，每月能售出个头盔， ∴售价下降元，每月能售出个头盔， 故答案为：，； （2）解：每个头盔的进价为30元，每个头盔售价为40元时，售价下降元， ∴每个头盔的利润为（元），月销售量为个， ∴，整理得，， ∵， ∴原方程无实数根， ∴月获利不能达到7000元． 题型06 动态几何问题 26．如图，在中，，点从点出发向终点以每秒1个单位长度的速度移动，点从点出发向终点以每秒2个单位长度的速度移动，两点同时出发，其中一点先到达终点时，两点同时停止移动．当的面积为4时，经过了（    ） A．2秒 B．4秒 C．6秒 D．1秒或4秒 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒或4秒， 故选：D． 27．如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当的面积等于时，共需的时间为（　　） A．1s B．2s或4s C．3s D．3.5s 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用——几何问题，用运动路程表示相关线段的长度是解题的关键． 运动x秒后，，，根据三角形的面积公式建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于，由题意得， ， 解得：，， 故选：B． 28．如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则 秒后，的面积等于4． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 29．如图，在中，，，，点P从点A出发沿边向点C以的速度移动，点Q从C点出发沿边向点B以的速度移动，当一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使的面积为． 【答案】 【分析】设秒后，可使的面积为．可列一元二次方程求解，再进行检验即可． 【详解】解：设秒后，可使的面积为． 则：， 解得： ∵当时， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．注意实际问题中的限制条件． 30．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 题型07 工程问题 31．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． 32．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 33．2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析． 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论． 【详解】解：（1）设每天增长的百分率为x， 依题意，得：500（1+x）2=720， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为20%； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天， 依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500， 解得：m1=4，m2=25， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m=4． 答：应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天， 依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000， 化简得：a2-29a+270=0， ∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 33．在今年月号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的；如果九年级共青团员先做小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完成美化校园所用时间多小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时． 【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，根据“八年级共青团员单独做小时，九年级共青团员再单独做小时，那么恰好能完成全部任务的”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所用时间，再将其代入中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间． 【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 35．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 题型08 行程问题 36．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 37．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为步，乙的速度为步．乙一直向东走，甲先向南走步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列代数式、勾股定理等知识点，由题意可得甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形，设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步，然后根据勾股定理列出方程即可．由题意得到甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，甲走的路线与乙走的路线组成直角三角形， 设甲走了步，则甲斜向北偏东方向走了步，乙向东走了步， 即：，，， 根据题意可得：， 即：， 解得：，（舍去）， 答：甲走了步． 故答案为：． 38．在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了 秒． 【答案】/ 【分析】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度时间路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符． 【详解】解：时速为108千米米/秒， 设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒， 则， 解得：． 平均每秒减速（米/秒）； 设刹车后汽车滑行10米时用了t秒， 依题意列方程：， 解方程得，（不合题意，舍去）， 即， 故答案为：． 39．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系为：，那么行驶需要多长时间？ 【答案】 【分析】根据路程和时间之间的关系，将s=200代入求出t即可． 【详解】∵行驶的路程和时间之间的关系为：， ∴将s=200代入得：， 解得：t1=-10（舍去），t2=． 答：行驶需要． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把s的值代入求解． 40．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 题型09 图表信息题 41．根据下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（    ） 2 3 4 5 6 5 13 A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5 【答案】D 【分析】根据表格数据，找出代数式从变为时的取值范围即可判断 【详解】时，， 时，， 则的解的范围为， 即一元二次方程的解大概是4.5． 故选D． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的近似值，根据表格获得信息是解题的关键． 42．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 43．如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 44．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 45．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． 【答案】（1）用户应交水费10+40a﹣5a2元；（2）a的值为3． 【分析】（1）根据总费用＝10+超出费用列出代数式即可； （2）根据题意分别列出5a（7﹣a）+10＝70，5a（5﹣a）+10＝40，取满足两个方程的a的值即为本题答案． 【详解】解：（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元； （2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70， 解得：a＝3或a＝4 5a（5﹣a）+10＝40 解得：a＝3或a＝2， 综上，规定用水量为3吨． 则规定用水量a的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 题型10 其他问题 46．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？ 【答案】7个 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，此类题目找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．设应该邀请个球队参加，由题意得：，即可求解． 【详解】解：设应该邀请个球队参加， 由题意得：， 解得：或（舍去）， 答：应邀请7个球队参赛． 47．阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2018年“俄罗斯世界杯足球赛”，第一轮小组赛共有32支球队分成8组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2018年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)36场 (3)16支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式． （1）线段的总条数与线段上的点数的关系式； （2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数8即可； （3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 故答案为：； （2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场， 共6个组，（场． 答：第一轮共要进行36场比赛； （3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得 ， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 48．2023年12月21日，以“共享，协同——引领劳动教育高质量发展”为主题的四川省劳动实验区（校）建设成果展示会暨主题研讨会在天府新区启幕，天府新区作为劳动教育实验区，积极推进区域劳动教育，形成公园城市生态劳动教育模式．新区某校为推进校园劳动课程建设，准备在校园内规划一片蔬菜基地，其中蔬菜基地以墙体为背面，并用30m长的栅栏围成四个具有相同面积的矩形蔬菜基地，每个蔬菜基地一边长为，另一边长为（如图所示）． (1)求y关于x的函数关系式（不必写明自变量x的取值范围） (2)每个蔬菜基地的面积是否能达到且？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能，的值为5． 【分析】 本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用． （1）根据栅栏的总长度为30m，可得出，变形后即可得出y关于x的函数关系式． （2）根据每个蔬菜基地的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合，即可确定结论． 【详解】（1） 由题意得， ． （2） 根据题意，若每个蔬菜基地的面积能够达到，则， 整理，得， （舍去）， 每个蔬菜基地的面积能达到且，此时的值为5． 49．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：    某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？ 【答案】该单位这次共有40名员工去天水湾风景区旅游 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键．首先根据共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用人数总费用，列出方程，解方程，并对方程的解进行检验． 【详解】 解：设该单位这次共有名员工去天水湾风景区旅游， ∵， ∴员工人数一定超过30人， 可得方程， 整理，得， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意 ，舍去； 答：该单位这次共有40名员工去天水湾风景区旅游． 50．如图为2022年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数（如图中虚框所示），设这4个数从小到大依次为a，b，c，d．      (1)若用含有a的式子分别表示出b，c，d，其结果应为：______；________；________； (2)按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 _________； (3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得的值为135．”淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积为84．”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确． 【答案】(1)；； (2)552 (3)嘉嘉的说法错误,淇淇的说法正确，见解析 【分析】（1）观察日历表，即可用含a的代数式表示出b，c，d； （2）观察日历表，可找出a的最大值，将其代入中，即可求出结论； （3）嘉嘉的说法错误，根据的值为135，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，可得出嘉嘉的说法错误；淇淇的说法正确，根据为84，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，结合日历表，即可得出淇淇的说法正确． 【详解】（1）根据题意得：． 故答案为：；；． （2）观察日历表，可知：a的最大值为23， ∴ab的最大值为． 故答案为：552． （3）嘉嘉的说法错误，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵10月8日为周六，不符合题意， ∴嘉嘉的说法错误； 淇淇的说法正确，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵10月6日为周四，符合题意， ∴淇淇的说法正确． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，第一个月进馆1200人次，进馆人次逐月增加，若进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆人次，第三个月进馆人次，结合第三个月进馆1728人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 2．在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有人参加会议，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，如果有人参加聚会，则每个人需要握手次，人共需要握手次，又因为每两个人都握了一次手，因此需要将重复的部分除去，即共握次，之后根据题意列出方程即可 【详解】解：设人参加这次聚会，则每个人需握手：次； 依题意，可列方程为：； 故选：D． 3．《代数学》中记载，求方程的正数解的几何方法是：“如图1，构造一个面积为的正方形，以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为300，则该方程的正数解为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识．根据阴影部分的面积及一次项的系数，可得出构造的大正方形的面积为400，进而可求出该方程的正数解． 【详解】解：先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形， ∴四个角上的小正方形的边长为5， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴该方程的正数解为， 故选：A． 4．如图，空地上有一段长20米的旧墙，工人师傅想利用旧墙和木栅栏围成一个封闭的长方形菜园，已知木栅栏总长40米，围成的长方形菜园的面积为150平方米，则该长方形菜园中平行于墙的边长为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设米，则米，根据矩形的面积公式结合矩形菜园的面积为150平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入中可求出BC的长，取其小于20的值即可． 【详解】解：如图， 设米，则米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去； 当时，． ∴矩形菜园的边长为10米． 故选：A． 5．我国古代著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈（1丈=10尺，1尺=10寸），那么门的高为（    ） A．28寸 B．62寸 C．86寸 D．96寸 【答案】D 【分析】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，勾股定理，解题的关键是理解题意，找出等量关系，掌握这些知识点．设长方形门的宽是x尺，则高为尺，根据题意得，解得，，（舍），所以门的宽是尺，则门的高为尺，换算单位即可得． 【详解】解：设长方形门的宽是x尺，则高为尺， 解得，，（舍）， ∴门的宽是尺， 则门的高为（尺）， （寸）， 即门的高为96寸， 故选：D． 6．为了一座馆，奔赴一座城．某博物馆近两年的接待量逐年递增，该博物馆年接待量万人次，年接待量万人次．该博物馆这两年接待量的年平均增长率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为，根据该博物馆年接待量万人次，用含的代数式表示出年接待量为，根据年接待量为万人，可列方程进行求解． 【详解】解：设该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：该博物馆这两年接待量的年平均增长率是， 故答案为： ． 7．已知一个两位数，十位上的数字是个位上的数字的倍，十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，则这个两位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．首先设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为，用含的代数式把这个两位数表示出来为，根据十位上的数字的平方与个位上的数字的倍之和正好是这个两位数，可列方程，解方程求出的值，再把这个两位数表示出来即可． 【详解】解：设这个两位数个位上的数字为，则十位上的数字为， 这个两位数为， 又十位上的数字的平方与个位上的数字的9倍之和正好是这个两位数， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为： ． 8．某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖出件，已知商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家想获得元利润，应将销售单价定为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设降价元，根据题意列出方程求出即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设降价元， 由故意得，， 整理得，， 解得，， ∵要让顾客得实惠， ∴， ∴应将销售单价定为元， 故答案为：． 9．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于的方程的正数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【详解】解：关于的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为，中间小正方形的边长为， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴，， ∴， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：． 10．小明为班级围建一个矩形蔬菜园，其中一边靠墙，墙可利用的最大长度为，篱笆长为，菜园中间用一道篱笆隔成2个小矩形． （1）当围成的菜园面积为时，的长为 ； （2）记，若围成面积比大的菜园，则的范围为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元二次不等式的应用 （1）设，则，根据围成的菜园面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）根据围成面积比大的菜园，可列出关于a的一元二次不等式，解之可得出a的取值范围，结合墙可利用的最大长度为，即可确定a的取值范围． 【详解】解：（1）设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴当围成的菜园面积为时，的长为， 故答案为：6； （2）根据题意得：， 即， 解得：， 又∵墙可利用的最大长度为， ∴， ∴a的范围为． 故答案为：． 11．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． (1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； (2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)2元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算． （1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据1月份销售400个，3月份的销售量达到576个列出方程，解方程即可； （2）设这种台灯每个降价y元时，根据总利润单个的利润总销量，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． （2）解：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， 答：该这种台灯应降价2元． 12．如图，在老师的指导下，同学们在劳动实践基地，一边靠墙另三边用栅栏围成一块矩形实验菜园．墙长为42m，栅栏总长为80m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形田菜园与墙垂直的一边长为（单位：m），面积为（单位：）． (1)直接写出实验田的面积（用含的代数式表示）； (2)矩形菜园的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)能达到， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （）设与墙平行的一边长为，根据，得到，根据矩形面积公式即可求解； （）先求出的取值范围，再将代入中，求出的值即可判断求解． 【详解】（1）解：设与墙平行的一边长为 ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：能达到． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 即 ， 解得（不合，舍去），（符合题意）， ∴当时，矩形实验田的面积能达到． 13．项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 当下年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某品牌奶茶店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 两款奶茶定价如下： 满杯杨梅（不含芝士） 19元/杯 芝士杨梅（含芝士） 21元/杯 素材2 经统计，某奶茶店5月份的“满杯杨梅”奶茶销售量为1280杯，7月份的销售量为2000杯，而“芝士杨梅”7月份销售量为1600杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，决定 8月份对“芝士杨梅”作降价促销，已知奶茶的成本为9元/杯，经试验，发现该款奶茶每降价1元，月销售量就会增加100杯． 问题解决 任务1 确定奶茶的销售量月平均增长率 该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价多少元？ 【答案】任务1：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2：应该降价4元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务1，设该奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：任务1，设奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得：， 解得：或（舍） 答：奶茶店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2：设款奶茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该店8月份“芝士杨梅”的毛利润达到16000元，该款奶茶应该降价4元． 15．综合实践： 项目主题 “亚运主题”草坪设计 项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程． 活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案 驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想；我认为__________；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为__________和__________； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为__________和__________． 活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为2204平方米． 驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？ 活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图． 驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若30米长的篱笆，请用函数表示y关于x的表达式． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗﹖请说明理由． 【答案】（1）①四种方案小路面积的大小相等；②，；③，；（2）小路的宽为；（3）①；②甲和乙的说法都不正确，理由见解析 【分析】本题考查了平移的应用，一元二次方程的实际应用，根与系数的关系，掌握平移的作用是解题的关键． （1）通过平移知识求解； （2）根据草坪的面积列方程求解； （3）先列出方程，再根据题意得出不等式求解． 【详解】解：（1）①直观猜想：我认为：四种方案小路面积的大小相等， 故答案为：四种方案小路面积的大小相等； ②甲：； 乙：， 故答案为：，； ③甲：， 乙：， 故答案为：，； （2）设小路的宽为，则， 解得：或（不合题意，舍去）， 答：小路的宽为； （3）①方法1：， ， 方法2：， ； ②由题意得：， 设方程的两个根分别为，，则，且， 则：，， ， ， 故甲和乙的说法都不正确． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$