第02讲 一元二次方程的解法（2个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第02讲 一元二次方程的解法 （2个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①用开平方法解一元二次方程； ②用配方法解一元二次方程； ③用公式法解一元二次方程； ④用因式分解法解一元二次方程； ⑤根的判别式的应用； 1.掌握用开平方法解一元二次方程； 2.掌握用配方法解一元二次方程； 3掌握.用公式法解一元二次方程； 4、掌握用因式分解法解一元二次方程； 5、掌握根的判别式的应用； 知识点一：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 【即学即练1】 1．解方程：． （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 【即学即练2】 2．用配方法解方程：． （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） 【即学即练3】 3．用公式法解方程：． （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 【即学即练4】 4．解方程：． 知识点二：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 【即学即练5】 5．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根是1，请求出k的值； (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 1．解方程： 2．求x的值：． 3．用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 4．解方程： 5．解方程： 题型02 配方法解一元二次方程6．解方程： 7．解方程：． 8．用配方法解方程：． 9．解方程：． 10．解方程： 题型03 配方法的应用 11．若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 12．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 13．若方程能配成的形式，则直线不经过第 象限． 14．如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 题型04 公式法解一元二次方程 16．解方程：． 17．解方程：． 18．用公式法解方程：． 19．解方程：． 20．解方程：． 题型05 因式分解法解一元二次方程 21．解方程：． 22．解方程： 23．解方程：． 24．小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程：，下面是他的解法： ，， (1)填空：小亮是在第__________步开始出现错误的，这一步错误的原因是：_________． (2)请给出该方程正确的求解过程． 25．解方程： (1)； (2)． 题型06 换元法解一元二次方程 26．若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 27．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 28．方程，若设， 则原方程可化为关于y的方程是： 29．已知，则的值为 ． 30．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为， 即 ∴ 得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或 已知，求的值． 题型07 根据判别式判断一元二次方程根的情况 31．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 32．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 33．方程的根的判别式的值为 ． 34．已知一元二次方程，则其判别式的值 ． 35．已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 题型08 根据一元二次方程根的情况求参数 36．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 37．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根． 38．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 39．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？ 40．已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 题型09 根的判别式综合 41．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 42．已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 43．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 44．已知关于x的一元二次方程．． (1)当时，请求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程有实数根，求a的最大值． 45．已知：关于的方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根． (2)若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 题型10 一元二次方程的新定义运算 46． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 47．定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 48．阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： (1)多项式关于__________平衡； (2)若关于的多项式关于平衡，则__________； (3)关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 49．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 50．我们定义一种新的运算符号“”：，如：． (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．4 C．0 D．16 4．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 6．方程的根为 ． 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 8．已知一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 9．如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 10．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 11．解方程： (1)； (2)． 12．解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 13．阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解． 将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的_______ A．直接开平方法        B．公式法        C．配方法        D．因式分解法 (2)上述过程所用的数学思想方法是______ A．分类讨论思想        B．数形结合思想        C．转化思想        D．方程思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形． 14．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 15．如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 一元二次方程的解法 （2个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①用开平方法解一元二次方程； ②用配方法解一元二次方程； ③用公式法解一元二次方程； ④用因式分解法解一元二次方程； ⑤根的判别式的应用； 1.掌握用开平方法解一元二次方程； 2.掌握用配方法解一元二次方程； 3掌握.用公式法解一元二次方程； 4、掌握用因式分解法解一元二次方程； 5、掌握根的判别式的应用； 知识点一：一元二次方程的解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2． 根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如的方程的解法： 当时，; 当时，; 当时，方程无实数根。 【即学即练1】 1．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， （2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式； ④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。 【即学即练2】 2．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得，再把常数项移到等号的右边，即，再配方，最后开方，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴ ∴． （3）公式法：一元二次方程的根 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为； 当时，方程无实数根. 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 （因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。） 【即学即练3】 3．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式进行化简，即可作答． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． （4）因式分解法： ①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则； ②因式分解法的一般步骤： 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程 （1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型； （2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 【即学即练4】 4．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，准确计算．用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 知识点二：根的判别式的应用 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）= （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（） ①当方程有实数根； （当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；） ②当方程无实数根； 从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 2．常见的问题类型 （1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况 （2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论. （4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 【即学即练5】 5．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根是1，请求出k的值； (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式； （1）将1代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； （2）证明：，，， ， 故无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 题型01 直接开平方法解一元二次方程 1．解方程： 【答案】 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解一元二次方程方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴, ∴或， 解得． 2．求x的值：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用直接开方法解方程； 利用直接开方法解方程即可． 【详解】解： 或 解得：或 ∴原方程的解为：，． 3．用开方法解下列方程 （1） （2） （3）    （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），. 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ，； （4）， ， ，. 【点睛】本题考查直接开平方法解一元二次方程，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法求解． 4．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， 解得： 5．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据直接开平方法进行求解方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得：． 题型02 配方法解一元二次方程 6．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 本题先化为一般式，再利用配方法求解． 【详解】解： ， 解得：． 7．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．灵活选用一元二次方程的解法是解题的关键．移项后选择因式分解法将方程转化为两个一元一次方程求解即可；也可以先去括号，移项，合并同类项，再用因式分解法或配方法求解； 【详解】解法一：移项，得 因式分解，得 于是得或 ∴，． 解法二：去括号、移项、合并同类项，得 因式分解，得 于是得或 ∴，． 解法三：去括号、移项、合并同类项，得 配方，得 由此可得或 ∴，． 8．用配方法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法．根据解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【详解】解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 9．解方程：． 【答案】， 【分析】利用配方法解方程即可． 本题考查了一元二次方程的解法，选择适当方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，. 10．解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查的是利用配方法解方程，把方程化为可得，再进一步解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 题型03 配方法的应用 11．若代数式可化为，则的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是配方法是应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式把原式变形，再根据题意求出，，计算即可． 【详解】解： ， 由题意得：，， 解得：，， 则， 故选：B． 12．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程的配方法，乘方运算，将一元二次方程进行配方变形，即可得到m，n的值，代入即可解答． 【详解】解： 移项，得， 配方，得， 即， ∴，， ∴． 故选：D 13．若方程能配成的形式，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一次函数图象与其系数的关系，先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方得到，则，据此可得直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为；三． 14．如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键. 利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴他能跳过的最大高度为m． 故答案为：． 15．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 题型04 公式法解一元二次方程 16．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先求出，利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ，． 17．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 用求根公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 18．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元二次方程，利用公式法求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 19．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，将方程转化为一般形式，利用公式法进行求解即可． 【详解】解：由得： ∴ ； ． 20．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤． 整理后利用公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， ，． 题型05 因式分解法解一元二次方程 21．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解是解题的关键． 运用因式分解得，根据一元一次方程的方法即可求解． 【详解】解：， 因式分解得，， 整理得，， ∴或， 解得，． 22．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 23．解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解： 或 ∴，． 24．小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程：，下面是他的解法： ，， (1)填空：小亮是在第__________步开始出现错误的，这一步错误的原因是：_________． (2)请给出该方程正确的求解过程． 【答案】(1)2，两边除以时可能为0 (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据解一元二次方程的方法求解判断即可； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）填空：小亮是在第2步开始出现错误的， 这一步错误的原因是：两边除以时可能为0； （2）正确的求解过程如下： ， ， ， 则， 或， 解得，． 25．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，． 题型06 换元法解一元二次方程 26．若关于的方程的解为，，则方程的解为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是根据已知方程的解，求新方程的解，掌握换元法是解决此题的关键．设方程中，，根据已知方程的解，即可求出关于t的方程的解，然后根据即可求出结论． 【详解】解：设方程中， 则方程变为 ∵关于的方程的解为，， ∴关于的方程的解为，， ∴对于方程，或， 解得：，， 故选B． 27．关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程．根据关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，），可知或，进一步求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，（a，m，b均为常数，）， ∴在方程中，或， 解得， 故选：C． 28．方程，若设， 则原方程可化为关于y的方程是： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．利用换元法，将代入原方程，再化成整式方程即可． 【详解】解：设，则， 则原方程可化为， ∴ 故答案为：． 29．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用换元法求解方程是解题的关键；由题意可设，则方程可变为，然后根据因式分解法进行求解方程即可． 【详解】解：由题意可设，则方程可变为， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 故答案为12． 30．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知，求的值． 解：设，则原方程变形为， 即 ∴ 得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或 已知，求的值． 【答案】 【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可． 【详解】解：设 ∴ 即， ∴， 解得：，（舍去） ∴ 即的值为． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． 题型07 根据判别式判断一元二次方程根的情况 31．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵在方程中，即， ， ∴方程有两个相等的两个实数根． 故选：A． 32．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，进而即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 33．方程的根的判别式的值为 ． 【答案】37 【分析】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键． 首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：37． 34．已知一元二次方程，则其判别式的值 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，直接根据求解，即可解题． 【详解】解：一元二次方程判别式的值为， 故答案为：8． 35．已知关于的一元二次方程． (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)方程有两个不相等的根 (2) 【分析】此题考查根的判别式及一元二次方程的解结合运用，解题关键在于通过判别式判断根的情况． （1）找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负判断根的情况即可； （2）将代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值． 【详解】（1）解：由题意可得： 故方程有两个不相等的根； （2）根据题意，将代入方程得： ∴． 题型08 根据一元二次方程根的情况求参数 36．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)当方程无实数根时，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为， 因式分解得， 解得，； （2）解：∵该方程无实数根， ∴， 解得， 即若该方程有无数根，的取值范围是． 37．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式及解一元二次方程． （1）根据方程有两个不相等的实数根得出，求出m的取值范围即可； （2）根据（1）中m的取值范围及m为正整数得出m的值，求出方程的根即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，且m为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， ∴或， ∴，． 38．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解方程的方法，是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式，结合题意即可求解； （2）根据m的范围确定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根． 【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得； （2）解：由（1）得， 所以符合条件的最大整数为2， 即， 此时方程为， 分解因式得， 解得． 39．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求这个方程的解； (2)当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式， 对于（1），将代入，并求出解； 对于（2），根据，求出答案即可． 【详解】（1）当时，， 即， ∴， 解得； （2）∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根． 40．已知关于x的一元二次方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式，解题的关键是熟练掌握方程有实数根的条件是：判别式大于或等于0． 根据方程有实数根的条件，建立关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵，，，方程有实数根， ∴ ∴． 题型09 根的判别式综合 41．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有两个不相等的正整数解，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式． （1）先计算根的判别式的值得到，则可判断，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理数的整除性得到，从而确定整数m的值． 【详解】（1）证明： ， 该方程总有两个实数根； （2）解：， ∴，， 方程有两个不相等的正整数解， ∴， ∴ 整数的值为2． 42．已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 43．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根都是正整数，求m的最小值. 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）先计算出根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （）先由求根公式得到，，再利用且得，然后根据和都是正整数可确定的值； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解法，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵， ∴，， ∵方程的两个根都是正数， ∴且， 解得， ∵方程的两个根都是正整数， ∴和都是正整数， ∴的最小值为． 44．已知关于x的一元二次方程．． (1)当时，请求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程有实数根，求a的最大值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程． （1）把代入，得到，解之可得． （2）根据一元二次方程有实数根，得到，解不等式可得． 【详解】（1）当时， 该一元二次方程为， 解得； （2）该一元二次方程有实数根， ，解得， 的最大值为9． 45．已知：关于的方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根． (2)若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）分类讨论：当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当或时，把代入方程解出，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断． 【详解】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 题型10 一元二次方程的新定义运算 46． 定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根为x1 ，x2，那么以这两个根的倒数，为根的一元二次方程称为原方程的倒根方程． 应用： (1)通过计算，判断方程②是不是方程①的倒根方程： ①， ②， (2)请求出一元二次方程的倒根方程． 【答案】(1)方程②是方程①的倒根方程 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及题目所给倒根方程的定义． （1）分别求出两个方程的解，根据倒根方程的定义进行判断即可； （2）先求出的根，再求出其根的倒数，最后根据倒根方程的定义即可解答． 【详解】（1）解：①， ， ， ， ②， ， ， ． ∴方程②是方程①的倒根方程； （2）解：， ， ， ， ∴，， ∴方程的倒根方程为， 整理得：． 47．定义：与，其中，这样的两个方程称为“互为友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程． (1)的友好方程是___________； (2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根； (3)如果的两个根为．求友好方程的两个根． 【答案】(1) (2)1或 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友好方程”的定义． （1）直接根据新定义求解即可； （2）设这个公共根为，可得，有，可解得或； （3）由的两个根为，知，故，，即可得的两根为． 【详解】（1）解：根据定义的友好方程是； 故答案为：； （2）设这个公共根为， 则， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）∵的两个根为， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即，， ∴的两根为． 48．阅读材料：关于的二次多项式，当时，该多项式有最值，就称该多项式关于平衡．例如：由于，所以当时，多项式有最小值2，则称关于平衡；由于，所以当时，多项式有最大值4，则称关于平衡． 运用材料中定义解决下列问题： (1)多项式关于__________平衡； (2)若关于的多项式关于平衡，则__________； (3)关于的多项式关于平衡，且最小值为6，求方程的解． 【答案】(1) (2)5 (3)， 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和解一元二次方程的方法是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得； （2）利用完全平方公式进行配方可得，由此即可得； （3）利用完全平方公式进行配方可得，从而可得，，则方程为，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，多项式有最小值， ∴多项式关于平衡， 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡， ∴， 故答案为：5． （3）解：∵， ∴当时，关于的多项式有最小值， ∴关于的多项式关于平衡， 又∵关于的多项式关于平衡，且最小值为6， ∴，， ∴， ∴方程为， 解得，． 49．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”． (1)下面方程是“完美方程”的是_________．（填序号） ①  ②  ③ (2)已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)③ (2)或 【分析】（1）根据“完美方程”的定义进行求解即可； （2）根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ②， ∵， ∴，则方程不是“完美方程”； ③， ∵， ∴，则方程是“完美方程”； 故答案为：③． （2）解：是关于的“完美方程”， ， 原方程为． 是此“完美方程”的一个根， ，即， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键． 50．我们定义一种新的运算符号“”：，如：． (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用题中的新定义列方程即可求出x值； （2）利用题中的新定义列方程即可求出x值． 【详解】（1）解：， ， 解得，． （2）解：， 解得， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 1．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，即可得出答案． 【详解】解：， ， 则， 即， 故选：C． 2．已知一元二次方程的两根分别为，则这个方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解法可直接进行求解．本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 【详解】解：A、由方程解得，故不符合题意； B、由方程解得，故符合题意； C、由方程解得，故不符合题意； D、由方程解得，故不符合题意； 故选B． 3．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A． B．4 C．0 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：A． 4．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 5．关于的一元二次方程有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若是一元二次方程的根，则． 其中表述正确的序号是（   ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此逐一判断即可． 在中，令，可判断①；当，，时，得出，可判断②；若方程有两个不相等的实根，可得，可判断③；若是一元二次方程的根，可得，可判断④． 【详解】解：①当时，满足，此时，即此时方程有两个不相等的实数根，原说法错误； ②， ， 又， ， ， ∴方程一定有实数根，故说法②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，即， ， ∴方程必有两个不相等的实根，故说法③正确； ④若是一元二次方程的根，则， ， ， ， ， ∴，故说法④正确； ∴正确的有②③④． 故选：C． 6．方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 先把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：由原方程，得， 则或， 解得，． 故答案为：，． 7．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程（是常数且）根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据题意得出，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：且， 故答案为：且 ． 8．已知一个三角形的两边长分别为和，第三边的长是一元二次方程的一个根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，先解方程方程，结合三边关系，即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，，， 当三边为，，时，，能构成三角形， ∴这个三角形的周长为， 当三边为，，时，，不能构成三角形， 综上可知：这个三角形的周长为， 故答案为：． 9．如果关于的一元二次方程的两根为1和，那么多项式可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 10．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于的一元二次方程与为“友好方程”，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程；通过解方程，可得出方程的根，分为两方程相同的实数根或为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意；②若是两个方程相同的实数根，将代入方程中求出的值，将的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出符合题意．综上此题得解． 【详解】解：解方程，得：． ①若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ； ②若是两个方程相同的实数根． 将代入方程，得：， ，此时原方程为， 解得：，符合题意， ． 综上所述：的值为或． 故答案为：或． 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 本题考查了因式分解法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或， 解得，． （2）解：∵， ∴ 解得，． 12．解方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． （3）解：， ， ， ， ， ，． （4）解：， 整理得：， ，，， ， ， ，． 13．阅读材料，回答下列问题： 阿尔·花拉子米（约约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“数之父”．他利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程的一个解． 将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是，即，而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为36．所以，则． (1)上述求解过程中所用的方法与下列哪种方法是一致的_______ A．直接开平方法        B．公式法        C．配方法        D．因式分解法 (2)上述过程所用的数学思想方法是______ A．分类讨论思想        B．数形结合思想        C．转化思想        D．方程思想 (3)运用上述方法构造出符合方程的一个正根的正方形． 【答案】(1)C (2)B (3)见详解 【分析】（1）由阅读材料所用方法可知答案； （2）结合图形来解题，故答案易得； （3）构造出边长为的正方形，其面积为9，则为方程的一个正根． 本题考查了一元二次方程的解法，配方法及数形结合来解方程，完全平方公式在几何图形中的应用，读懂题中的方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，由阅读材料可知所用方法为配方法． 故答案为：C． （2）解：依题意，所用的思想方法为数形结合思想． 故答案为：B． （3）解：依题意， 将边长为x的正方形和边长为2的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为2，拼合在一起面积就是， 即， 而由原方程变形得， 即图中边长为的正方形面积为9． ∴， 则． 14．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 15．如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$