第01讲 一元二次方程（4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（浙教版）

第01讲 一元二次方程 （4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的概念； ②一元二次方程的一般形式； ③一元二次方程的解； 1.掌握一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式； 3.掌握一元二次方程的解； 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【即学即练1】 1．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A． B．3 C． D．都不对 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 根据题意得到，，即可求得m的范围．要特别注意二次项系数这一条件，当时，方程就是一元一次方程了． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 解得：． 故选：C． 知识点2： 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意： （1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【即学即练2】 2．把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将化简整理成一般式即可． 【详解】解：， ， 整理，得， 故选：C． 知识点3 ：一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【即学即练3】 3．若关于的方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一是方程的一个根，把代入一元二次方程，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：方程的一个根是， , 解得：． 故答案为： ． 知识点4：一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【即学即练4】 4．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程的一个根是， ， 解得：， 故答案为：1． 题型01 一元二次方程相关概念 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只有一个未知数，最高次数是2次的整式方程直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 是一元一次方程，不符合题意， 是二元方程，不符合题意， 是分式方程，不符合题意， 是一元二次方程，符合题意， 故选：D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．化简后能得到形式的整式方程是一元二次方程，解决本题的关键根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：，整理得：， 方程不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：，整理得：， 方程是一元二次方程，故B选项符合题意； C选项：是分式方程不是整式方程， 方程：不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：中含有二个未知数， 方程不是一元二次方程，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．下列选项：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，需要根据定义对每个选项进行分析判断． 【详解】①，经过移项化简后为，未知数最高次数是 1 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； ②，含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 ，是整式方程，所以是一元二次方程； ③，展开左边可得，化简后为，未知数最高次数是 1 ，是一元一次方程，不是一元二次方程； ④，展开可得，含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2，是整式方程，所以是一元二次方程； ⑤，方程中含有分式和，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程． 答案：②④ 4．下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】根据一元二次方程的定义，得②③⑤是一元二次方程，①④不是． 故答案为：②③⑤． 5．有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“关系方程”是解题的关键．根据题中“关系方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“关系方程”的特征可知：形如和这样的一元二次方程互为“关系方程”，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程． 故答案为：（答案不唯一） 题型02 根据一元二次方程的定义求参数 6．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据一元二次方程的定义，求参数的值，根据题意，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 7．关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的二次项的系数不能为，所以关于的方程：是一元二次方程，则一定有，解不等式求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程：是一元二次方程， ， 解得：． 故选：D． 8．已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键． 由关于x的方程是一元二次方程，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：． 故答案为：． 9．若方程是关于x的一元二次方程，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2且系数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：1． 10．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 题型03 一元二次方程的一般形式 11．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是， ∴方程化成一般形式是， ∴一次项系数和常数项分别是，， 故选：． 12．将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．5，，6 B．，7，1 C．5，1，6 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：∵方程化成一般形式是， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为、、． 故选：D． 13．将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．，1，7 B．2，1， C．2，，7 D．2，1，7 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；因此此题可根据一元二次方程（，b、c为常数）进行求解即可． 【详解】解：把方程改写成的形式为，则有： ； 故选C． 14．方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴二次项系数为3，一次项系数为， 二次项系数与一次项系数的比值是． 故答案为：． 15．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据题意可得，然后可得，然后将变形后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型04 一元二次方程的解 16．若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，根据题意可得，再代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 17．已知是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 18．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键．由一元二次方程的根的定义可得，整体代入即可得到答案． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， 代数式的值为2025． 故答案为：2025． 19．已知关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，c的值． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于a，c的方程组即可解决问题． 【详解】解：由已知得：， 解得， ，． 20．一元二次方程的一个实数根为，则的值是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义、求代数式的值， 根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 把代入方程中得： ， ， ， 故选：C． 题型05 利用赋值法求一元二次方程的解 21．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 将代入方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴ 故选：B ． 22．已知是一元二次方程的解，则（    ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成为解题的关键．将代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 23．关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于时有，于是可判断此方程必有一根为1， 【详解】解：当时，，则， 所以若，则此方程必有一根为． 故选：B． 24．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，巧用整体思想是解题的关键． 将代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴ 故答案为： 25．已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程及方程的解的定义，由两个方程的结构特点进行简便计算是解题关键．把后面方程中的看作整体，相当于前面方程中的，据此求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解是， 方程可变形为， 此方程中或， 解得：． 故答案为：． 题型06 降次求一元二次方程的解 26．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（   ） A．1021 B．1022 C．1023 D．1024 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：∵a是一元二次方程的根， ∴， ， ∴， 则， 故选：D． 27．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入元二次方程，求得，整体代入即可． 【详解】解：将代入元二次方程得，，即 故选：A． 28．若方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此得到，则，，再把变形为，最后代值计算即可． 【详解】解：∵方程的一个根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：A． 29．已知a、b是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，，再把代数式适当变形，然后将式子的值代入计算即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， 即：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，等式的性质，提公因式法分解因式，代数式求值等知识点，利用一元二次方程的解的定义得出式子的值是解题的关键． 30．若为方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键记住：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程的解的定义，再用整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 题型07 估算一元二次方程的解 31．在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：C． 32．根据下列表格中的对应值，判断方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个根x的范围是； 故选：C． 33．根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个小于0，一个大于0，从而可判断当的某个值时，代数式的值为0． 【详解】解：当时，， 当时，， 方程的一个解x的范围是． 故选：C． 34．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 35．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 【答案】 【分析】观察表格可得当时， ，当时， ，可得到一元二次方程的解介于1.6与1.7之间，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶当时， ， 当时， ， ∴一元二次方程的解介于1.6与1.7之间， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解问题，解题的关键是从表格中找出两个x的值使得比较接近0，本题属于基础题型． 1．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．把代入即可得出关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 故选：B． 2．关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故选：． 3．已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：由得，， ∵的常数项是， ∴，解得：， 故选：． 4．关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可． 【详解】解 ：∵一元二次方程，即不含x的一次项， ∴， ∴， 故选A． 5．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 6．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据是已知方程的解，将代入方程即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个解， ∴将代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 7．已知是方程的根，则代数式的值为 ． 【答案】2018 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键． 由一元二次方程的根的定义可得，即，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∴， ∴代数式的值为2018． 故答案为：2018． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 10．关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题意，得为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案． 【详解】∵， ∴为方程的一个根， ∵一元二次方程的两根分别为，，且， ∴方程的另一个根为2或者 当方程的两根分别为，2时，得 得， ∴ 当方程的两根分别为，时，得 得，即 ∴ 故答案为：或． 11．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 12． 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下， 依题意，将代入得 ∴即 ∴是等腰三角形 13．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴． 14．观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，求k的值． 【答案】17 【分析】此题考查了一元二次方程的解，首先根据题意得到规律，然后由，得到． 【详解】解：∵②； ③； ④； ∵也是“连根一元二次方程” ∴两根是两个连续的自然数，两根之积为72，且 ∴． 15．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程．熟练掌握倒方程的定义，一元二次方程根的概念，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是；； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程， 得， ∴ （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一元二次方程 （4个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固） 课程标准 学习目标 ①一元二次方程的概念； ②一元二次方程的一般形式； ③一元二次方程的解； 1.掌握一元二次方程的概念； 2.掌握一元二次方程的一般形式； 3.掌握一元二次方程的解； 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【即学即练1】 1．如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A． B．3 C． D．都不对 知识点2： 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意： （1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程。 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【即学即练2】 2．把方程化为一般形式后是（   ） A． B． C． D． 知识点3 ：一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 【即学即练3】 3．若关于的方程的一个根是，则的值是 ． 知识点4：一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。【即学即练4】 4．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为 ． 题型01 一元二次方程相关概念 1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列选项：①；②；③；④；⑤．其中是一元二次方程的是 （填序号）． 4．下列方程中，属于一元二次方程的有 （填题号）． ①；②；③；④；⑤． 5．有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程： ． 题型02 根据一元二次方程的定义求参数6．是关于的一元二次方程，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．关于的方程：是一元二次方程，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 9．若方程是关于x的一元二次方程，则的值 ． 10．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 题型03 一元二次方程的一般形式 11．将一元二次方程化成一般形式之后，若二次项的系数是，则一次项系数和常数项分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 12．将方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．5，，6 B．，7，1 C．5，1，6 D．、、 13．将方程改写成的形式，则的值分别为（   ） A．，1，7 B．2，1， C．2，，7 D．2，1，7 14．方程整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数的比值是 ． 15．若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型04 一元二次方程的解 16．若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 17．已知是方程的根，则的值为 ． 18．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 19．已知关于x的一元二次方程，如果a、b、c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，c的值． 20．一元二次方程的一个实数根为，则的值是（   ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 题型05 利用赋值法求一元二次方程的解 21．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 22．已知是一元二次方程的解，则（    ） A．8 B． C． D．4 23．关于的一元二次方程满足，则方程必有一根为（） A．1 B． C． D．无法确定 24．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ． 25．已知关于x的方程的解是，则关于x的方程的解是 ． 题型06 降次求一元二次方程的解 26．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（   ） A．1021 B．1022 C．1023 D．1024 27．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2025 B．2022 C．2023 D．2024 28．若方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 29．已知a、b是一元二次方程的两个根，则代数式的值等于 ． 30．若为方程的一个根，则代数式的值为 ． 题型07 估算一元二次方程的解 31．在估算一元二次方程的根时，嘉淇列表如下：                                    则表示方程的一个根的点落在（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 32．根据下列表格中的对应值，判断方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 33．根据下列表格对应值，判断关于的方程的一个解的取值范围为（    ） 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A． B． C． D． 34．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 35．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.09 0.34 0.61 1．若是方程的一个根，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 2．关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程不含x的一次项，则（　　） A．3 B．1 C．0 D．4 5．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 6．已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为 ． 7．已知是方程的根，则代数式的值为 ． 8．已知关于x的方程是一元二次方程，则 ． 9．若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 10．关于x的一元二次方程的两根分别为，，且，若，则 ． 11．当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 12． 已知关于x的一元二次方程其中a、b、c分别是的三条边长． 若是方程的根，请判断的形状，并说明理由． 13．已知关于的方程（为常数）是一元二次方程，则应该满足什么条件？ 14．观察下列一组方程：①；②；③；④；它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．若也是“连根一元二次方程”，求k的值． 15．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中为常数（且．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，则的值为______． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$