精品解析：山东省滨州市沾化区育才学校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试题

2024－2025第一学期第一次测评 九年级数学（人教版） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线经过，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 6. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 某校每年都组织学生参加义务植树活动，前年共植树500棵，今年共植树850棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二．填空题．（每题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为________________． 10. 抛物线的对称轴是________________． 11. 在二次函数中，若y随x的增大而减小时，x的取值范围是________________． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 13. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 _____． 14. 已知抛物线过不同的两点，，则当点在抛物线上时，m的值为________________． 15. 已知菱形的两条对角线分别是方程的两个根，则该菱形的周长为________________． 16. 如图是二次函数的图象的一部分；图象过点，对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的是__________．（填序号） 三．解答题．（本大题8个小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）列表： … … … … （2）画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 若抛物线的顶点坐标为，且过点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限的抛物线上有一点P，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解． 21. 、是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）方程①；②中，是差根方程的是________________（填序号）； （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 22. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 23. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 24. 如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． （1）求二次函数的表达式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025第一学期第一次测评 九年级数学（人教版） 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A、它是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意； D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式即可确定顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴该抛物线的顶点坐标为． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的顶点坐标为是解题关键． 3. 二次函数的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“抛物线向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减”可得答案．二次函数图象的平移遵循：向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减． 【详解】解：把函数的图象向右平移1个单位，所得函数表达式为， 故选：D． 4. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用配方法进行配方即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等． 5. 抛物线经过，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， ， ． 故选：B． 6. 对于实数定义运算“☆”如下：，例如，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据题目所给新定义将方程变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】解：根据题意由方程得： 整理得： 根据根的判别式可知该方程有两个不相等实数根． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根． 7. 某校每年都组织学生参加义务植树活动，前年共植树500棵，今年共植树850棵，设该校植树棵数的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．今年的植树量=前年的植树量年平均增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别由各个选项的函数图像分析的范围，一次函数与二次函数结果一致即可． 【详解】解：、由抛物线可知，图象经过一、二、三象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在轴的右侧，，，一致，故此选项正确； B、由抛物线可知，图象经过一、二、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在轴的右侧，，，不一致，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象经过二、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向上，对称轴在轴的右侧，，，不一致，故此选项错误； D、由抛物线可知，图象经过一、三、四象限，，，由抛物线可知，开口向下，对称轴在轴的左侧，，，不一致，故此选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数图像性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 二．填空题．（每题3分，共24分） 9. 将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式为 (其中a、b、c是常数，)，其中a叫做二次项系数，叫做二次项，b叫做一次项系数，叫做一次项，c叫做常数项．根据一元二次方程的一般式可得答案． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式， 可得：． 一次项系数为： 故答案为∶ ． 10. 抛物线的对称轴是________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查抛物线对称轴的计算公式，掌握公式是解题的关键． 利用对称轴的计算公式解答． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：直线． 11. 在二次函数中，若y随x的增大而减小时，x的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图像和性质即可求解． 【详解】解：二次函数， 则， 开口向上，对称轴为：直线． 当时，y随x的增大而减小． 故答案为：． 12. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及解法和方程的解，熟练掌握基础概念并进行正确计算是解决问题的关键． 将一个根0代入，得，解得，由一元二次方程定义，可知，解得，进而求出k值． 【详解】解：由题意， 将一个根0代入，得 ， 解得， 由一元二次方程定义，可知， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 设二次函数（a，b，c是常数，且），如表，列出了x与y的部分对应值： x … ﹣2 0 2 4 … y … ﹣1.5 2.5 m ﹣1.5 … 则方程的解是 _____． 【答案】， 【解析】 【分析】利用中对应值可判断点 与点 为二次函数图象上的对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线 ，然后利用抛物线的对称性得到 ，所以方程 的解为 ． 【详解】解：由表中对应值得二次函数图象经过点和， ∴点与点为二次函数图象上的对称点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点 与 关于直线对称， 即 时， ， ∴ ， ∴方程的解为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a,b,c是常数， ）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 14. 已知抛物线过不同的两点，，则当点在抛物线上时，m的值为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果． 【详解】解：，都在抛物线上， ， ， ， ， 是不同的两个点， ， ， ， 在抛物线的图象上， ， ， ， ， ， 或． 故答案为：或． 15. 已知菱形的两条对角线分别是方程的两个根，则该菱形的周长为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，正确求得该一元二次方程的解是解题关键．设菱形的两条对角线交于点，解方程，进而确定的值，再结合菱形的性质以及勾股定理确定该菱形的边长，然后计算其周长即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线交于点，如下图， 解方程， 可得， 即， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴该菱形的周长． 故答案为：． 16. 如图是二次函数的图象的一部分；图象过点，对称轴为，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①④ 【解析】 【分析】①由图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，可对①进行判断； ②由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x＝＝﹣1，可对②进行分析判断； ③由x＝﹣1时y有最大值，由图象可知y≠0，可对③进行分析判断； ④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0，两边相加整理得5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b，即可对④进行判断． 【详解】①∵图象与x轴有交点，对称轴为x＝＝﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上， 又∵二次函数的图象是抛物线， ∴与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故①正确； ②∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∵与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∵对称轴为x＝＝﹣1， ∴2a＝b， ∴2a+b＝4a，a≠0，故②错误； ③∵x＝﹣1时y有最大值， 由图象可知y≠0，故③错误； ④把x＝1，x＝﹣3代入解析式得a+b+c＝0，9a﹣3b+c＝0， 两边相加整理得5a﹣b＝﹣c＜0，即5a＜b，故④正确； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，要注意数形结合思想的运用． 三．解答题．（本大题8个小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）列表： … … … … （2）画出二次函数的图象； （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） 列表：（选择其他对应值也可） … 0 1 2 3 4 … … 3 0 -1 0 3 … （2） 如图抛物线为所求： （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式找出对应的x，y的值列表； （2）描点、连线画出函数的图象即可； （3）根据图象可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，根据图象可得： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想答题． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）把方程化为，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）把方程化为，再利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 19. 若抛物线的顶点坐标为，且过点． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限的抛物线上有一点P，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标为，可设函数解析式为，将代入即可解答； （2）根据题意可得的纵坐标为，代入抛物线即可解答． 【小问1详解】 解：设函数解析式为， 把代入可得， 解得， 函数解析式为，即； 【小问2详解】 解：第三象限的抛物线上有一点P，且点P到x轴的距离为5， 的纵坐标为， 把代入抛物线可得， 解得， 点P的坐标为或． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围； （2）在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解． 【答案】（1）且； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）根据和即可求解； （2）把最小的整数1代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，解得：， ∴m的取值范围是且； 【小问2详解】 解：由（1）得：m的取值范围是且， ∴最小的整数是1， ∴方程为， ， ∴， 解得：． 21. 、是一元二次方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差根方程”，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）方程①；②中，是差根方程的是________________（填序号）； （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． （1）据“差根方程”定义判断即可； （2）根据是“差根方程”，且，得到，从而得到； 【小问1详解】 解：①设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程不是差根方程； ②设，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 方程是差根方程； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； 22. 实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系． （1）求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式． （2）若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分． 【答案】（1） （2）小军第一次投掷实心球不能得满分 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可； （2）令，解得x，与比较即可； 【小问1详解】 解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入，得， 解得． ∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ∵，即， ∴， ∴小军第一次投掷实心球不能得满分． 23. 年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． （1）若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 24. 如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点． （1）求二次函数的表达式； （2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式； （2）连接，根据求出S与t的函数关系式； （3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可． 【小问1详解】 解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点， 二次函数顶点为， 设二次函数解析式为， 将点代入得，， ， ； 【小问2详解】 如图，连接， 当时，， 或2，， 点P在抛物线上， 点P的纵坐标为， ； 【小问3详解】 设， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 当为对角线时，由中点坐标公式得，，，， 综上：或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $