（篇二）第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇【十二大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 16 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 16 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元因数和倍数其二·2、5、3 的倍数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其二·2、5、3 的倍数篇 专题内容 本专题以 2、5、3的倍数特征为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】2、5 的倍数特征 ............................................................................................. 3 【考点二】2、5 的倍数特征与生活实际应用 .................................................................. 4 【考点三】3 的倍数特征 ................................................................................................... 5 【考点四】3 的倍数特征与生活实际应用 .........................................................................6 【考点五】2、5、3 的倍数特征综合应用其一 ................................................................ 7 【考点六】2、5、3 的倍数特征综合应用其二：组数问题 .............................................8 【考点七】奇数与偶数 .....................................................................................................10 【考点八】奇数与偶数的运算性质 ..................................................................................11 【考点九】奇数与偶数的实际应用 ..................................................................................12 【考点十】连续偶数或奇数的和 ..................................................................................... 13 【考点十一】2、5、3 倍数特征的复杂应用其一 .......................................................... 14 【考点十二】2、5、3 倍数特征的复杂应用其二 .......................................................... 15 第 3 页 共 16 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】2、5 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 2 的倍数特征。 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 5 的倍数特征。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 3. 注意。 个位上是 0的数，既是 2的倍数，也是 5的倍数。 【典型例题 1】其一。 分一分。 解析： 【典型例题 2】其二。 有一个三位数 17□，如果它是 5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是 2 的倍数，□里最大可以填( )。 解析：0；8 【对应练习 1】 313至少减去( )是 5的倍数，至少加上( )是 2的倍数。 解析：3；1 【对应练习 2】 一个两位数，既是 2的倍数又是 5的倍数，这个数最大是( )。 第 4 页 共 16 页 解析：90 【对应练习 3】 82至少要加上( )才能既是 2的倍数，又是 5的倍数。 解析：2，8 【考点二】2、5 的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36 元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数，找回的 钱不是 5的倍数，所以找回的钱数不对。 【对应练习 1】 张明在文具店买了几支单价是 12元和 6元的钢笔，付给营业员 30元，找回 5 元。请你判断：钱找对了吗？ 【答案】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数， 偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数， 又因为 30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所 以找回的钱不对。 答：钱没有找对。 【对应练习 2】 食品店运来 65个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？为什么？ 【答案】答：如果每 2个装一袋，不能正好装完，如果每 5个装一袋，能正好装 完。因为 65的个位是 5，65不是 2的倍数，65是 5的倍数。 【对应练习 3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10 元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 第 5 页 共 16 页 【答案】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是 5的倍数，而 82元不是 5的倍数，所以找回的钱不对。 【考点三】3 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3 的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 2. 2、5、3 倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或 25的倍数特征：一个数的末两位是 4或 25的倍数； （2）8或 125的倍数特征：一个数末三位是 8或 125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的 第 6 页 共 16 页 数之差（大数减小数）是 7、11、13的倍数。 【典型例题】 三位数 233至少加上( )后能被 3整除。 【答案】1 【对应练习 1】 一个三位数 5□2，正好是 3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 2 8 【对应练习 2】 352至少增加( )后是 5的倍数，至少减去( )后是 3的倍数。 【答案】 3 1 【对应练习 3】 517至少加上( )才是 3的倍数，至少减去( )才是 5的倍数。 【答案】 2 2 【考点四】3 的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握 3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了 3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了， 售货员说应付 139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为 139不是 3的倍数。 【对应练习 1】 刘老师买了 65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3颗 分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【对应练习 2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了 3个足球，售货员说应 付 134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是 3的倍数， 所以 134不是 3的倍数，因此，王老师认为不对。 第 7 页 共 16 页 【对应练习 3】 有一堆桃子，如果每 2个放一盘，那么多出 1个，如果每 5个放一盘，那么多出 2个，如果每 3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】 根据分析可知，找出符合 3的倍数，并且个位是 7的数； 十位最小是 1， 17÷3＝5……2 17不是 3的倍数，不符合题意； 十位上是 2， 27÷3＝9 27是 3的倍数，比 2的倍数多 1，且比 5的倍数多 2，所以 27符合题意。 答：这堆桃子最少有 27个。 【考点五】2、5、3 的倍数特征综合应用其一。 【方法点拨】 2、5、3 倍数特征之间的联系。 【典型例题】 7□0这个数能被 2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 8 2 【对应练习 1】 第 8 页 共 16 页 若四位数 8□5□能被 2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【答案】8850 【对应练习 2】 一个四位数 9□4□，既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，这个四位数最大是 ( )。 【答案】9840 【对应练习 3】 一个五位数 589□□，既是 2的倍数，又是 5的倍数，还是 3的倍数，这个五位数 最小是( )。 【答案】58920 【考点六】2、5、3 的倍数特征综合应用其二：组数问题。 【方法点拨】 2、5、3 倍数特征之间的联系。 【典型例题】 从 7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 3的倍数有：( ) 第 9 页 共 16 页 既是 2的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 3的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有：( ) 解析： 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是 2的倍数又是 3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是 2的倍数又是 5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是 3的倍数又是 5的倍数有：270，720，570，750； 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有 270、720、750、570； 【对应练习 1】 按要求写数 用 4、5、8、0这 4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是 2的倍数，并且最大：( ) （2）是 5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是 3的倍数：( ) （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：( ) （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：( ) 解析： （1）是 2的倍数，并且最大：854 （2）是 5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是 3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：480 （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：405 【对应练习 2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 第 10 页 共 16 页 （3）既是 2的倍数，又是 5的倍数：( )。 （4）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 解析： （1）12； （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习 3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 解析： （1）102； （2）105； （3）120。 【考点七】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n－1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 第 11 页 共 16 页 【对应练习 1】 在 100以内 13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【对应练习 2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇 数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【对应练习 3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【考点八】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的运算性质。 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 第 12 页 共 16 页 A．加上 1 B．乘 5 C．乘 1 D．除以 2 【答案】A 【对应练习 1】 a是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． 1a  B．2 1a  C． 2 1a  【答案】B 【对应练习 2】 如果 a是奇数，b是偶数，且 a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【对应练习 3】 已知 a是奇数，b是偶数，且 a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b ②5a－b ③2a＋b ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【考点九】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握奇数与偶数的特点和运算性质是解决实际应用问题的关键。 【典型例题】 五年级 43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43是奇数。 【对应练习 1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15次（往 返算 2次）最后小狗停在哪棵树？第 90次呢？ 【答案】 奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为 15是奇数，所以一共跑了 15次（往返算 2次），最后小狗停在乙树旁； 因为 90是偶数，所以一共跑了 90次（往返算 2次），最后小狗停在甲树旁。 第 13 页 共 16 页 【对应练习 2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸， 不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1次。 （1）摆渡第 10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】 （1）摆渡第 10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡 偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第 103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆 渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习 3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小 船最初在南岸。 （1）摆渡 15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡 2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】 摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为 15是奇数，所以摆渡 15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为 2016是偶数，摆渡 2016次后，小船应该在南岸。 【考点十】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差 2，首先 求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是 225，这三个奇数分别是多少？ 【答案】 225 3 75  75 2 73  75 2 77  第 14 页 共 16 页 答：这三个奇数分别是 73、75、77。 【对应练习 1】 五个连续的奇数的和是 75，这五个奇数分别是多少？ 【答案】 75÷5＝15 15－2＝13 13－2＝11 15＋2＝17 17＋2＝19 答：这五个奇数分别是 11、13、15、17、19。 【对应练习 2】 如果三个连续自然数的和是 150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数 的和是 93，这三个连续奇数各是多少？ 【答案】 150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝51 93÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33 答：三个自然数分别是 49、50、51，三个连续奇数各是 29、31、33。 【对应练习 3】 小梅、小兰、小菊 3人的年龄和是 39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知 小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】 39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊 15岁。 【考点十一】2、5、3 倍数特征的复杂应用其一。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 第 15 页 共 16 页 如果五位数□436□是 45的倍数，那么这个五位数是多少？ 解析：我们可以把 45分解成 9×5，这个五位数要是 45的倍数，就一定能被 5和 9整除，是 5的倍数，末尾的数字一定是 0或 5，还要满足各位数字之和是 9的 倍数。 当末尾数字填 0时，首位数字填 5，即 54360 当末尾数字填 5时，首位数字填 9，即 94365 答：这个五位数是 54360和 94365。 【对应练习 1】 一个四位数 8A1B能同时被 5和 6整除，这个四位数是多少？ 解析：8010。 【对应练习 2】 在 358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被 4、5、9整除，这个六位数 最小是多少？ 解析：358020。 【对应练习 3】 一个六位数 23A56A是 88的倍数，这个数除以 88所得的商是多少？ 解析：A为 8或 0，所以，商为 2620或 2711。 【考点十二】2、5、3 倍数特征的复杂应用其二。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 一个大于 2的自然数，除以 3余 2，除以 5余 2，除以 7也余 2，那么这个自然 数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以 3、5、7余数都为 2，那么这个数减去 2就是 3、5、 7的倍数，即： 这个数是 3、5、7的最小公倍数再加上 2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是 107。 第 16 页 共 16 页 【对应练习 1】 已知某小学六年级学生超过 100人，而不多于 140人，将他们按每组 12人分组， 多 3人，按每组 8人分，也多 3人，求出该校六年级的确切人数。 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 【对应练习 2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被 5除余 2，它们的差能被 5整除， 那么甲数被 5除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被 5除余 2，则余数之和为 2；差被 5整除，则余数相同。 所以，甲的余数是 1。 【对应练习 3】 某数加上 22的和除以 9余 4，这个数加上 31的和除以 9余几？ 解析：余 2。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇 专题内容 本专题以2、5、3的倍数特征为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】2、5的倍数特征 3 【考点二】2、5的倍数特征与生活实际应用 4 【考点三】3的倍数特征 6 【考点四】3的倍数特征与生活实际应用 8 【考点五】2、5、3的倍数特征综合应用其一 10 【考点六】2、5、3的倍数特征综合应用其二：组数问题 11 【考点七】奇数与偶数 14 【考点八】奇数与偶数的运算性质 15 【考点九】奇数与偶数的实际应用 18 【考点十】连续偶数或奇数的和 20 【考点十一】2、5、3倍数特征的复杂应用其一 21 【考点十二】2、5、3倍数特征的复杂应用其二 22 【第三篇】典型例题篇 【考点一】2、5的倍数特征。 【方法点拨】 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 【典型例题1】其一。 分一分。 解析： 根据分析可得： 【典型例题2】其二。 有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。 解析：0；8 【对应练习1】 313至少减去( )是5的倍数，至少加上( )是2的倍数。 解析：3；1 【对应练习2】 一个两位数，既是2的倍数又是5的倍数，这个数最大是( )。 解析：90 【对应练习3】 82至少要加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 解析：2，8 【考点二】2、5的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握2、5的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，36不是5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是0或5，36的个位不是5或0，所以不是5的倍数。 【详解】两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查5的倍数特点。 【对应练习1】 张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？ 【答案】不对 【分析】不能被2整除的自然数叫奇数，能被2整除的自然数叫偶数。12和6都是偶数，30元也是偶数，偶数与不是0的正整数相乘，都是偶数，偶数加偶数也是偶数，偶数减偶数也是偶数，所以营业员找5元是奇数，营业员找错了。 【详解】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数， 又因为30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所以找回的钱不对。 答：钱没有找对。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的运算性质求解。 【对应练习2】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完 【分析】65是5的倍数，但是不是2的倍数，所以5个一袋能正好装完，2个一袋不能正好装完。 【详解】答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。 【点睛】本题考查了2、5的倍数特征，个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数。 【对应练习3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对，理由见详解 【分析】纯牛奶和可乐的单价分别是5元和10元，都是5的倍数，所以不论买几瓶，总钱数也应是5的倍数；付了100元，用100元减去找回的钱数就是应付的总钱数，如果不是5的倍数，找回的钱就不对。 【详解】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是5的倍数，而82元不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【点睛】掌握5的倍数特征是解题的关键；个位上是0或5的数是5的倍数。 【考点三】3的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【典型例题】 三位数233至少加上( )后能被3整除。 【答案】1 【分析】各个数位上的数字的和能被3整除的数就能被3整除。先计算这个三位数各个位上的数加起来等于几，再尝试着加1、2、3⋯⋯据此解答即可。 【详解】2＋3＋3 ＝5＋3 ＝8 8不能被3整除， 8＋1＝9，9能被3整除。 所以233至少加上1后能被3整除。 【对应练习1】 一个三位数5□2，正好是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 2 8 【分析】各个数位上数的和是3的倍数的数，这个数是3的倍数，□内最小填几，从0开始；最大填几，从9开始，据此解答。 【详解】□内最小填0；502；5＋0＋2＝7，7不能被3整除，□内最小不可以填0； □内最小填1；512；5＋1＋2＝8，8不能被3整除，□内最小不可以填1； □内最小填2；522；5＋2＋2＝9，9能被3整除，□内最小可以填2； □内最大填9；592；5＋9＋2＝16，16不能被3整除，□内最大不可以填9； □内最大填8；582；5＋8＋2＝15，15能被3整除，□内最大可以填8； 一个三位数5□2，正好是3的倍数，□里最小填2，最大填8。 【对应练习2】 352至少增加( )后是5的倍数，至少减去( )后是3的倍数。 【答案】 3 1 【分析】一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；一个数的个位上的数字是0或5的数，这样的数就是5的倍数。 【详解】352个位上的数变成5后是5的倍数，所以352至少增加355－352＝3是5的倍数； ，10是3的倍数，所以352至少减去1后是3的倍数。 【点睛】本题考查3、5的倍数，解答本题的关键是掌握3、5的倍数特征。 【对应练习3】 517至少加上( )才是3的倍数，至少减去( )才是5的倍数。 【答案】 2 2 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】5＋1＋7＝13，不是3的倍数； 13＋1＝14，不是3的倍数； 13＋2＝15，是3的倍数； 517－1＝516，516的个位是6，不是5的倍数； 517－2＝515，515的个位是5，是5的倍数； 517至少加上2才是3的倍数，至少减去2才是5的倍数。 【考点四】3的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【分析】根据3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。进行分析得出答案。 【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是3的倍数。 答：售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【分析】个位上是0或5的数，是5的倍数；各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为65的个位上是5，符合5的倍数的特征； 如果每3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为6＋5＝11，11不是3的倍数，那么65也不是3的倍数。 【点睛】本题考查了3和5的倍数，掌握3和5的倍数特征是解题的关键。 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。 【详解】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数，因此，王老师认为不对。 【点睛】考查3的倍数特点，知道3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是3的倍数，那这个数就是3的倍数。 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】27个 【分析】根据题意可知，每2个放一盘，那么多出1个，则这些桃子的数量一定比2的倍数多1，也就是奇数；如果每5个放一盘，那么多出2个，则这些桃子的数量一定比5的倍数多2，已知5的倍数个位上是0或5，所以这些桃子的数量个位上一定是2或7，因为个位是2符合2的倍数特征，所以桃子的数量个位只能是7；每3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是3的倍数，据此先找出符合3的倍数特征，并且个位是7的最小的数即可。 【详解】根据分析可知，找出符合3的倍数，并且个位是7的数； 十位最小是1， 17÷3＝5……2 17不是3的倍数，不符合题意； 十位上是2， 27÷3＝9 27是3的倍数，比2的倍数多1，且比5的倍数多2，所以27符合题意。 答：这堆桃子最少有27个。 【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 【考点五】2、5、3的倍数特征综合应用其一。 【方法点拨】 2、5、3倍数特征之间的联系。 【典型例题】 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 8 2 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；同时是2、3、5的倍数特征：个位数是0，且各个数位上的数字和是3的倍数。 【详解】7□0的个位数是0，所以7□0一定能被2或5整除， 7＋0＝7 7□0各个数位上的数字和不会超过16， 比7大的3的倍数有9、12、15、18… 要使7□0能被3整除，则这各个数位上的数字和最小为9，最大为15； 9－7＝2 15－7＝8 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填8，最小能填2。 【对应练习1】 若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【答案】8850 【分析】能被2、3、5同时整除的数的特征是：个位数是0，且各位数字之和是3的倍数。据此解答。 【详解】8□5□，同时被2和5整除，则这个数的个位上只能是0，即是8□50； 8□50，各位数字之和是：8＋□＋5＋0＝13＋□，要使这个四位数8□50最大且是3的倍数，我们可以从9开始算： 当□＝9时，13＋□＝13＋9＝22，22不是3的倍数，不满足条件； 当□＝8时，13＋□＝13＋8＝21，21是3的倍数，满足条件。 所以这个四位数最大是8850。 【对应练习2】 一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最大是( )。 【答案】9840 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，个位数一定是0，又是3的倍数，9＋4＝13，百位最小填15－13＝2，百位可以填2、5、8，最大填8，这个四位数最大是9840。 【对应练习3】 一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，这个五位数最小是( )。 【答案】58920 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，根据分析，个位数一定是0，5＋8＋9＝22，百位最小填24－22＝2，这个五位数最小是58920。 【考点六】2、5、3的倍数特征综合应用其二：组数问题。 【方法点拨】 2、5、3倍数特征之间的联系。 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 解析： 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750； 既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570； 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 解析： （1）是2的倍数，并且最大：854 （2）是5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480 （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）12； （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）102； （2）105； （3）120。 【考点七】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍的数叫做奇数。根据偶数、奇数的意义解答即可。 【详解】1～20中奇数中1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇数是19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是2。 【点睛】整数按是不是2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数，不是奇数就是偶数。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【分析】根据题意，首先写出100以内13的倍数，然后根据在自然数中，能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。 【详解】100以内13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、39、65、91；偶数：26、52、78。 【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【分析】不能被2整除的整数叫奇数，能被2整除的整数叫偶数；100是偶数，100以内最大的奇数就是比100少1的数；1～100中有50个奇数，50个偶数，偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。 【详解】根据分析，100以内最大的奇数是99；1～100中所有奇数的和是偶数。 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1，据此解答。 【详解】分析可知，自然数里最小的奇数是1，最小的偶数是0。 【点睛】本题主要考查奇数、偶数的认识，掌握奇数、偶数的意义是解答题目的关键。 【考点八】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的运算性质。 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【答案】A 【分析】是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；假设这个偶数是20，然后逐一分析各项即可。 【详解】假设这个偶数是20 A．，21是奇数； B．，100是偶数； C．，20是偶数； D．，10是偶数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数和偶数，明确奇数和偶数的定义是解题的关键。 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【答案】B 【分析】a是自然数，那么2a一定是偶数，根据偶数＋奇数＝奇数，解答此题即可。 【详解】是自然数，2a＋1一定是奇数。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握偶数和奇数的定义，是解答此题的关键。 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【分析】根据：奇数＋奇数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数；据此解答。 【详解】A．a是奇数，a＋a的结果是偶数； B．a是奇数，b是偶数，a×b的结果是偶数； C．b是偶数，b＋b的结果是偶数； D．a是奇数，b是偶数，且a＜b，b－a的结果是奇数； 故答案为：D 【点睛】此题考查了奇数、偶数的判断，可以运用公式判断，也可以用列数计算再判断，关键熟记概念。 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；根据奇数和偶数的运算性质，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数；据此解答。 【详解】已知a是奇数，b是偶数， ①奇数＋偶数＝奇数，所以a＋b的结果是奇数； ②5a是奇数，奇数－偶数＝奇数，所以5a－b的结果是奇数； ③2a是偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以2a＋b的结果是偶数； ④6a是偶数，2b是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以6a－2b的结果是偶数。 偶数有2个。 故答案为：C 【点睛】掌握奇数与偶数的运算性质是解题的关键。 【考点九】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握奇数与偶数的特点和运算性质是解决实际应用问题的关键。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而43是奇数，所以43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第2次，小狗从乙树跑向甲树， 第3次，小狗从甲树跑向乙树， 第4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁； 因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁。 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为1次，也就是说摆渡第1次结束时，船在北岸；摆渡第2次结束时，船在南岸；摆渡第3次结束时，船在北岸；摆渡第4次结束时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第1次摆渡后船在北岸；第2次摆渡是从北岸驶向南岸，即第2次摆渡后船在南岸；第3次摆渡是从南岸驶向北岸，即第3次摆渡后船在北岸；第4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第4次摆渡后船在南岸⋯不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 【考点十】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【答案】73、75、77 【分析】用“225÷3＝75”，求出中间的那个奇数，又因为两个连续的奇数相差“2”，进而分别求出另外2个奇数即可。 【详解】 答：这三个奇数分别是73、75、77。 【点睛】解答此题的关键是求出中间的那个奇数，然后根据两个连续的奇数的特征来解答。 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【答案】11、13、15、17、19 【分析】相邻的奇数之间相差2，用五个连续的奇数的和÷5，求出中间奇数，进而推算出其它奇数。 【详解】75÷5＝15 15－2＝13 13－2＝11 15＋2＝17 17＋2＝19 答：这五个奇数分别是11、13、15、17、19。 【点睛】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【答案】49、50、51；29、31、33 【分析】相邻两个自然数相差1，连续的奇数相差2，据此分析。 【详解】150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝51 93÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33 答：三个自然数分别是49、50、51，三个连续奇数各是29、31、33。 【点睛】关键是熟悉自然数和奇数的排列特点，不是2的倍数的数叫奇数。 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】15岁 【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差2可知，最大的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。 【详解】39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊15岁。 【点睛】利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为2是解答题目的关键。 【考点十一】2、5、3倍数特征的复杂应用其一。 【方法点拨】 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。 当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360 当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365 答：这个五位数是54360和94365。 【对应练习1】 一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？ 解析：8010。 【对应练习2】 在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？ 解析：358020。 【对应练习3】 一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 解析：A为8或0，所以，商为2620或2711。 【考点十二】2、5、3倍数特征的复杂应用其二。 【方法点拨】 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即： 这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是107。 【对应练习1】 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 【对应练习2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。 所以，甲的余数是1。 【对应练习3】 某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？ 解析：余2。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 23 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 23 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元因数和倍数其二·2、5、3 的倍数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其二·2、5、3 的倍数篇 专题内容 本专题以 2、5、3的倍数特征为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】2、5 的倍数特征 ............................................................................................. 3 【考点二】2、5 的倍数特征与生活实际应用 .................................................................. 4 【考点三】3 的倍数特征 ................................................................................................... 6 【考点四】3 的倍数特征与生活实际应用 .........................................................................8 【考点五】2、5、3 的倍数特征综合应用其一 .............................................................. 10 【考点六】2、5、3 的倍数特征综合应用其二：组数问题 ........................................... 11 【考点七】奇数与偶数 .....................................................................................................14 【考点八】奇数与偶数的运算性质 ..................................................................................15 【考点九】奇数与偶数的实际应用 ..................................................................................18 【考点十】连续偶数或奇数的和 ..................................................................................... 20 【考点十一】2、5、3 倍数特征的复杂应用其一 .......................................................... 21 【考点十二】2、5、3 倍数特征的复杂应用其二 .......................................................... 22 第 3 页 共 23 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】2、5 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 2 的倍数特征。 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 5 的倍数特征。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 3. 注意。 个位上是 0的数，既是 2的倍数，也是 5的倍数。 【典型例题 1】其一。 分一分。 解析： 根据分析可得： 【典型例题 2】其二。 有一个三位数 17□，如果它是 5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是 2 的倍数，□里最大可以填( )。 解析：0；8 【对应练习 1】 313至少减去( )是 5的倍数，至少加上( )是 2的倍数。 解析：3；1 【对应练习 2】 第 4 页 共 23 页 一个两位数，既是 2的倍数又是 5的倍数，这个数最大是( )。 解析：90 【对应练习 3】 82至少要加上( )才能既是 2的倍数，又是 5的倍数。 解析：2，8 【考点二】2、5 的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36 元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】不对，两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数， 36不是 5的倍数，所以钱找的不对。 【分析】5的倍数特点是个位是 0或 5，36的个位不是 5或 0，所以不是 5的倍 数。 【详解】两本书的价格都是 5的倍数，所以找回的钱也应该是 5的倍数，找回的 钱不是 5的倍数，所以找回的钱数不对。 【点睛】这个题目考查 5的倍数特点。 【对应练习 1】 张明在文具店买了几支单价是 12元和 6元的钢笔，付给营业员 30元，找回 5 元。请你判断：钱找对了吗？ 【答案】不对 【分析】不能被 2整除的自然数叫奇数，能被 2整除的自然数叫偶数。12和 6 都是偶数，30元也是偶数，偶数与不是 0的正整数相乘，都是偶数，偶数加偶 数也是偶数，偶数减偶数也是偶数，所以营业员找 5元是奇数，营业员找错了。 【详解】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数， 偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数， 又因为 30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所 以找回的钱不对。 第 5 页 共 23 页 答：钱没有找对。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用奇数和偶数的运算性质求解。 【对应练习 2】 食品店运来 65个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？为什么？ 【答案】如果每 2个装一袋，不能正好装完，如果每 5个装一袋，能正好装完 【分析】65是 5的倍数，但是不是 2的倍数，所以 5个一袋能正好装完，2个一 袋不能正好装完。 【详解】答：如果每 2个装一袋，不能正好装完，如果每 5个装一袋，能正好装 完。因为 65的个位是 5，65不是 2的倍数，65是 5的倍数。 【点睛】本题考查了 2、5的倍数特征，个位是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数， 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 【对应练习 3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10 元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【答案】不对，理由见详解 【分析】纯牛奶和可乐的单价分别是 5元和 10元，都是 5的倍数，所以不论买 几瓶，总钱数也应是 5的倍数；付了 100元，用 100元减去找回的钱数就是应付 的总钱数，如果不是 5的倍数，找回的钱就不对。 【详解】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是 5的倍数，而 82元不是 5的倍数，所以找回的钱不对。 【点睛】掌握 5的倍数特征是解题的关键；个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 第 6 页 共 23 页 【考点三】3 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3 的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 2. 2、5、3 倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或 25的倍数特征：一个数的末两位是 4或 25的倍数； （2）8或 125的倍数特征：一个数末三位是 8或 125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的 数之差（大数减小数）是 7、11、13的倍数。 【典型例题】 三位数 233至少加上( )后能被 3整除。 【答案】1 【分析】各个数位上的数字的和能被 3整除的数就能被 3整除。先计算这个三位 数各个位上的数加起来等于几，再尝试着加 1、2、3⋯ ⋯ 据此解答即可。 【详解】2＋3＋3 ＝5＋3 第 7 页 共 23 页 ＝8 8不能被 3整除， 8＋1＝9，9能被 3整除。 所以 233至少加上 1后能被 3整除。 【对应练习 1】 一个三位数 5□2，正好是 3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 2 8 【分析】各个数位上数的和是 3的倍数的数，这个数是 3的倍数，□内最小填几， 从 0开始；最大填几，从 9开始，据此解答。 【详解】□内最小填 0；502；5＋0＋2＝7，7不能被 3整除，□内最小不可以填 0； □内最小填 1；512；5＋1＋2＝8，8不能被 3整除，□内最小不可以填 1； □内最小填 2；522；5＋2＋2＝9，9能被 3整除，□内最小可以填 2； □内最大填 9；592；5＋9＋2＝16，16不能被 3整除，□内最大不可以填 9； □内最大填 8；582；5＋8＋2＝15，15能被 3整除，□内最大可以填 8； 一个三位数 5□2，正好是 3的倍数，□里最小填 2，最大填 8。 【对应练习 2】 352至少增加( )后是 5的倍数，至少减去( )后是 3的倍数。 【答案】 3 1 【分析】一个数的各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数；一 个数的个位上的数字是 0或 5的数，这样的数就是 5的倍数。 【详解】352个位上的数变成 5后是 5的倍数，所以 352至少增加 355－352＝3 是 5的倍数； 3 5 2 8 2 10     ，10 1 9  是 3的倍数，所以 352至少减去 1后是 3的倍数。 【点睛】本题考查 3、5的倍数，解答本题的关键是掌握 3、5的倍数特征。 【对应练习 3】 517至少加上( )才是 3的倍数，至少减去( )才是 5的倍数。 【答案】 2 2 【分析】3的倍数特征：一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 第 8 页 共 23 页 5的倍数特征：个位上是 0或 5的数。 【详解】5＋1＋7＝13，不是 3的倍数； 13＋1＝14，不是 3的倍数； 13＋2＝15，是 3的倍数； 517－1＝516，516的个位是 6，不是 5的倍数； 517－2＝515，515的个位是 5，是 5的倍数； 517至少加上 2才是 3的倍数，至少减去 2才是 5的倍数。 【考点四】3 的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握 3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了 3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了， 售货员说应付 139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为 139不是 3的倍数。 【分析】根据 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。进行分析得出答案。 【详解】139元，1＋3＋9＝13，13不是 3的倍数。 答：售货员说得不对，因为 139不是 3的倍数。 【对应练习 1】 刘老师买了 65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3颗 分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【分析】个位上是 0或 5的数，是 5的倍数；各位上数的和是 3的倍数的数，是 3的倍数。据此解题。 【详解】答：65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完，因为 65的个 位上是 5，符合 5的倍数的特征； 如果每 3颗分给一个小朋友，不能正好分完，因为 6＋5＝11，11不是 3的倍数， 那么 65也不是 3的倍数。 【点睛】本题考查了 3和 5的倍数，掌握 3和 5的倍数特征是解题的关键。 第 9 页 共 23 页 【对应练习 2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了 3个足球，售货员说应 付 134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】见详解 【分析】3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是 3的倍数，那这个数就是 3的倍数。 【详解】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是 3的倍数， 所以 134不是 3的倍数，因此，王老师认为不对。 【点睛】考查 3的倍数特点，知道 3的倍数特点是各个数位上的数字相加，和是 3的倍数，那这个数就是 3的倍数。 【对应练习 3】 有一堆桃子，如果每 2个放一盘，那么多出 1个，如果每 5个放一盘，那么多出 2个，如果每 3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】27个 【分析】根据题意可知，每 2个放一盘，那么多出 1个，则这些桃子的数量一定 比 2的倍数多 1，也就是奇数；如果每 5个放一盘，那么多出 2个，则这些桃子 的数量一定比 5的倍数多 2，已知 5的倍数个位上是 0或 5，所以这些桃子的数 量个位上一定是 2或 7，因为个位是 2符合 2的倍数特征，所以桃子的数量个位 只能是 7；每 3个放一盘，那么正好放完，所以这堆桃子的数量一定是 3的倍数， 据此先找出符合 3的倍数特征，并且个位是 7的最小的数即可。 【详解】根据分析可知，找出符合 3的倍数，并且个位是 7的数； 十位最小是 1， 17÷3＝5……2 17不是 3的倍数，不符合题意； 十位上是 2， 27÷3＝9 27是 3的倍数，比 2的倍数多 1，且比 5的倍数多 2，所以 27符合题意。 答：这堆桃子最少有 27个。 【点睛】熟练掌握 2、3、5的倍数的特征是解决此题的关键。 第 10 页 共 23 页 【考点五】2、5、3 的倍数特征综合应用其一。 【方法点拨】 2、5、3 倍数特征之间的联系。 【典型例题】 7□0这个数能被 2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 8 2 【分析】2的倍数特征：个位数是 0、2、4、6或 8；5的倍数特征：个位数是 0 或 5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是 3的倍数；同时是 2、3、5的倍数 特征：个位数是 0，且各个数位上的数字和是 3的倍数。 【详解】7□0的个位数是 0，所以 7□0一定能被 2或 5整除， 7＋0＝7 7□0各个数位上的数字和不会超过 16， 比 7大的 3的倍数有 9、12、15、18… 要使 7□0能被 3整除，则这各个数位上的数字和最小为 9，最大为 15； 9－7＝2 15－7＝8 7□0这个数能被 2，3，5整除，□最大能填 8，最小能填 2。 【对应练习 1】 若四位数 8□5□能被 2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 第 11 页 共 23 页 【答案】8850 【分析】能被 2、3、5同时整除的数的特征是：个位数是 0，且各位数字之和是 3的倍数。据此解答。 【详解】8□5□，同时被 2和 5整除，则这个数的个位上只能是 0，即是 8□50； 8□50，各位数字之和是：8＋□＋5＋0＝13＋□，要使这个四位数 8□50最大且是 3的倍数，我们可以从 9开始算： 当□＝9时，13＋□＝13＋9＝22，22不是 3的倍数，不满足条件； 当□＝8时，13＋□＝13＋8＝21，21是 3的倍数，满足条件。 所以这个四位数最大是 8850。 【对应练习 2】 一个四位数 9□4□，既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，这个四位数最大是 ( )。 【答案】9840 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是 0，各个数位上的数字的和是 3的倍数的数。 【详解】一个四位数 9□4□，既是 2和 5的倍数，个位数一定是 0，又是 3的倍 数，9＋4＝13，百位最小填 15－13＝2，百位可以填 2、5、8，最大填 8，这个 四位数最大是 9840。 【对应练习 3】 一个五位数 589□□，既是 2的倍数，又是 5的倍数，还是 3的倍数，这个五位数 最小是( )。 【答案】58920 【分析】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是 0，各个数位上的数字的和是 3的倍数的数。 【详解】一个五位数 589□□，既是 2的倍数，又是 5的倍数，还是 3的倍数，根 据分析，个位数一定是 0，5＋8＋9＝22，百位最小填 24－22＝2，这个五位数最 小是 58920。 【考点六】2、5、3 的倍数特征综合应用其二：组数问题。 【方法点拨】 第 12 页 共 23 页 2、5、3 倍数特征之间的联系。 【典型例题】 从 7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 3的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 3的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有：( ) 解析： 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是 2的倍数又是 3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是 2的倍数又是 5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是 3的倍数又是 5的倍数有：270，720，570，750； 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有 270、720、750、570； 【对应练习 1】 按要求写数 第 13 页 共 23 页 用 4、5、8、0这 4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是 2的倍数，并且最大：( ) （2）是 5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是 3的倍数：( ) （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：( ) （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：( ) 解析： （1）是 2的倍数，并且最大：854 （2）是 5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是 3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：480 （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：405 【对应练习 2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2的倍数，又是 5的倍数：( )。 （4）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 解析： （1）12； （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习 3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 解析： 第 14 页 共 23 页 （1）102； （2）105； （3）120。 【考点七】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n－1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍的数叫做奇数。根据偶 数、奇数的意义解答即可。 【详解】1～20中奇数中 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，其中最大的奇 数是 19；2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，其中最小的偶数是 2。 【点睛】整数按是不是 2的倍数可以分为奇数和偶数两类。也就是说，一个整数， 不是奇数就是偶数。 【对应练习 1】 在 100以内 13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【分析】根据题意，首先写出 100以内 13的倍数，然后根据在自然数中，能被 2整除的数为偶数，不能被 2整除的数为奇数，据此意义进行分析填空即可。 【详解】100以内 13的倍数有：13、26、39、52、65、78、91。则奇数：13、 39、65、91；偶数：26、52、78。 第 15 页 共 23 页 【点睛】明确奇数与偶数的意义是完成本题的关键。 【对应练习 2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇 数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【分析】不能被 2整除的整数叫奇数，能被 2整除的整数叫偶数；100是偶数， 100以内最大的奇数就是比 100少 1的数；1～100中有 50个奇数，50个偶数， 偶数个奇数相加的和是偶数，据此解答。 【详解】根据分析，100以内最大的奇数是 99；1～100中所有奇数的和是偶数。 【点睛】本题主要考查奇数和偶数的认识，注意平时基础知识的积累。 【对应练习 3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是 2的倍数的数 叫做奇数，最小的奇数是 1，据此解答。 【详解】分析可知，自然数里最小的奇数是 1，最小的偶数是 0。 【点睛】本题主要考查奇数、偶数的认识，掌握奇数、偶数的意义是解答题目的 关键。 【考点八】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的运算性质。 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 第 16 页 共 23 页 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上 1 B．乘 5 C．乘 1 D．除以 2 【答案】A 【分析】是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数；假设这个偶数 是 20，然后逐一分析各项即可。 【详解】假设这个偶数是 20 A． 20 1 21  ，21是奇数； B．20 5 100  ，100是偶数； C． 20 1 20  ，20是偶数； D．20 2 10  ，10是偶数。 故答案为：A 【点睛】本题考查奇数和偶数，明确奇数和偶数的定义是解题的关键。 【对应练习 1】 a是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． 1a  B．2 1a  C． 2 1a  【答案】B 【分析】a是自然数，那么 2a一定是偶数，根据偶数＋奇数＝奇数，解答此题 即可。 【详解】 a是自然数，2a＋1一定是奇数。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握偶数和奇数的定义，是解答此题的关键。 【对应练习 2】 第 17 页 共 23 页 如果 a是奇数，b是偶数，且 a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【分析】根据：奇数＋奇数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇 数－偶数＝奇数，偶数－奇数＝奇数；据此解答。 【详解】A．a是奇数，a＋a的结果是偶数； B．a是奇数，b是偶数，a×b的结果是偶数； C．b是偶数，b＋b的结果是偶数； D．a是奇数，b是偶数，且 a＜b，b－a的结果是奇数； 故答案为：D 【点睛】此题考查了奇数、偶数的判断，可以运用公式判断，也可以用列数计算 再判断，关键熟记概念。 【对应练习 3】 已知 a是奇数，b是偶数，且 a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b ②5a－b ③2a＋b ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数；根据 奇数和偶数的运算性质，偶数×偶数＝偶数，偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇 数，偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数；据此解答。 【详解】已知 a是奇数，b是偶数， ①奇数＋偶数＝奇数，所以 a＋b的结果是奇数； ②5a是奇数，奇数－偶数＝奇数，所以 5a－b的结果是奇数； ③2a是偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以 2a＋b的结果是偶数； ④6a是偶数，2b是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以 6a－2b的结果是偶数。 偶数有 2个。 故答案为：C 【点睛】掌握奇数与偶数的运算性质是解题的关键。 第 18 页 共 23 页 【考点九】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握奇数与偶数的特点和运算性质是解决实际应用问题的关键。 【典型例题】 五年级 43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43是奇数。 【分析】根据奇数和偶数的运算性质来判断题干中的说法是否正确。 【详解】因为偶数＋偶数＝偶数，而 43是奇数，所以 43不可能分出来两个偶数。 答：不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而 43是奇数。 【点睛】此题的解题关键是理解奇数和偶数相关的运算性质，并灵活运用。 【对应练习 1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15次（往 返算 2次）最后小狗停在哪棵树？第 90次呢？ 【答案】乙树，甲树 【分析】第 1次，小狗最初从甲树跑向乙树， 第 2次，小狗从乙树跑向甲树， 第 3次，小狗从甲树跑向乙树， 第 4次，小狗从乙树跑向甲树， … 所以，可得规律：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁，据此解答即可。 【详解】根据分析可得：奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为 15是奇数，所以一共跑了 15次（往返算 2次），最后小狗停在乙树旁； 因为 90是偶数，所以一共跑了 90次（往返算 2次），最后小狗停在甲树旁。 【点睛】本题考查了奇偶性的实际应用，解答此题关键是确定：奇数次在乙树旁， 偶数次在甲树旁。 【对应练习 2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸， 不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1次。 第 19 页 共 23 页 （1）摆渡第 10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】（1）南岸；见详解 （2）北岸；见详解 【分析】整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，记船由南岸驶向北岸为 1次，也就是说摆渡第 1次结束时，船在北岸； 摆渡第 2次结束时，船在南岸；摆渡第 3次结束时，船在北岸；摆渡第 4次结束 时，船在南岸……由此可知，摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时， 船在南岸，据此解答。 【详解】（1）摆渡第 10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北 岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第 103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆 渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习 3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小 船最初在南岸。 （1）摆渡 15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡 2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】（1）北岸；见详解；（2）不对；见详解 【分析】（1）整数中，是 2的倍数的数叫做偶数，不是 2的倍数的数叫做奇数。 根据题意，第 1次摆渡是从南岸驶向北岸，即第 1次摆渡后船在北岸；第 2次摆 渡是从北岸驶向南岸，即第 2次摆渡后船在南岸；第 3次摆渡是从南岸驶向北岸， 即第 3次摆渡后船在北岸；第 4次摆渡是从从北岸驶向南岸，即第 4次摆渡后船 在南岸⋯ 不断往返，发现规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是 偶数时，船在南岸；据此解答。 （2）先判断 2016的奇偶性，再根据摆渡的规律即可知道淘气的说法是否正确。 【详解】根据分析得出规律：摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶 数时，船在南岸。 （1）因为 15是奇数，所以摆渡 15次后，小船是在北岸。 第 20 页 共 23 页 （2）淘气的说法不对，因为 2016是偶数，摆渡 2016次后，小船应该在南岸。 【点睛】本题主要考查奇数与偶数的认识及应用。 【考点十】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差 2，首先 求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是 225，这三个奇数分别是多少？ 【答案】73、75、77 【分析】用“225÷3＝75”，求出中间的那个奇数，又因为两个连续的奇数相差“2”， 进而分别求出另外 2个奇数即可。 【详解】225 3 75  75 2 73  75 2 77  答：这三个奇数分别是 73、75、77。 【点睛】解答此题的关键是求出中间的那个奇数，然后根据两个连续的奇数的特 征来解答。 【对应练习 1】 五个连续的奇数的和是 75，这五个奇数分别是多少？ 【答案】11、13、15、17、19 【分析】相邻的奇数之间相差 2，用五个连续的奇数的和÷5，求出中间奇数，进 而推算出其它奇数。 【详解】75÷5＝15 15－2＝13 13－2＝11 15＋2＝17 17＋2＝19 答：这五个奇数分别是 11、13、15、17、19。 第 21 页 共 23 页 【点睛】整数中，是 2的倍数的数叫偶数，不是 2的倍数的数叫奇数。 【对应练习 2】 如果三个连续自然数的和是 150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数 的和是 93，这三个连续奇数各是多少？ 【答案】49、50、51；29、31、33 【分析】相邻两个自然数相差 1，连续的奇数相差 2，据此分析。 【详解】150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝51 93÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33 答：三个自然数分别是 49、50、51，三个连续奇数各是 29、31、33。 【点睛】关键是熟悉自然数和奇数的排列特点，不是 2的倍数的数叫奇数。 【对应练习 3】 小梅、小兰、小菊 3人的年龄和是 39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知 小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】15岁 【分析】中间的奇数是三个连续奇数的平均数，由相邻的奇数相差 2可知，最大 的奇数＝中间的奇数＋2，据此解答。 【详解】39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊 15岁。 【点睛】利用平均数求出中间的奇数，并掌握相邻奇数的差为 2是解答题目的关 键。 【考点十一】2、5、3 倍数特征的复杂应用其一。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 如果五位数□436□是 45的倍数，那么这个五位数是多少？ 解析：我们可以把 45分解成 9×5，这个五位数要是 45的倍数，就一定能被 5和 9整除，是 5的倍数，末尾的数字一定是 0或 5，还要满足各位数字之和是 9的 第 22 页 共 23 页 倍数。 当末尾数字填 0时，首位数字填 5，即 54360 当末尾数字填 5时，首位数字填 9，即 94365 答：这个五位数是 54360和 94365。 【对应练习 1】 一个四位数 8A1B能同时被 5和 6整除，这个四位数是多少？ 解析：8010。 【对应练习 2】 在 358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被 4、5、9整除，这个六位数 最小是多少？ 解析：358020。 【对应练习 3】 一个六位数 23A56A是 88的倍数，这个数除以 88所得的商是多少？ 解析：A为 8或 0，所以，商为 2620或 2711。 【考点十二】2、5、3 倍数特征的复杂应用其二。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 一个大于 2的自然数，除以 3余 2，除以 5余 2，除以 7也余 2，那么这个自然 数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以 3、5、7余数都为 2，那么这个数减去 2就是 3、5、 7的倍数，即： 这个数是 3、5、7的最小公倍数再加上 2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是 107。 【对应练习 1】 已知某小学六年级学生超过 100人，而不多于 140人，将他们按每组 12人分组， 多 3人，按每组 8人分，也多 3人，求出该校六年级的确切人数。 第 23 页 共 23 页 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 【对应练习 2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被 5除余 2，它们的差能被 5整除， 那么甲数被 5除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被 5除余 2，则余数之和为 2；差被 5整除，则余数相同。 所以，甲的余数是 1。 【对应练习 3】 某数加上 22的和除以 9余 4，这个数加上 31的和除以 9余几？ 解析：余 2。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇 专题内容 本专题以2、5、3的倍数特征为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】2、5的倍数特征 3 【考点二】2、5的倍数特征与生活实际应用 3 【考点三】3的倍数特征 5 【考点四】3的倍数特征与生活实际应用 6 【考点五】2、5、3的倍数特征综合应用其一 7 【考点六】2、5、3的倍数特征综合应用其二：组数问题 7 【考点七】奇数与偶数 9 【考点八】奇数与偶数的运算性质 10 【考点九】奇数与偶数的实际应用 11 【考点十】连续偶数或奇数的和 12 【考点十一】2、5、3倍数特征的复杂应用其一 13 【考点十二】2、5、3倍数特征的复杂应用其二 13 【第三篇】典型例题篇 【考点一】2、5的倍数特征。 【方法点拨】 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 【典型例题1】其一。 分一分。 【典型例题2】其二。 有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。 【对应练习1】 313至少减去( )是5的倍数，至少加上( )是2的倍数。 【对应练习2】 一个两位数，既是2的倍数又是5的倍数，这个数最大是( )。 【对应练习3】 82至少要加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 【考点二】2、5的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握2、5的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【对应练习1】 张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？ 【对应练习2】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【对应练习3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【考点三】3的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【典型例题】 三位数233至少加上( )后能被3整除。 【对应练习1】 一个三位数5□2，正好是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【对应练习2】 352至少增加( )后是5的倍数，至少减去( )后是3的倍数。 【对应练习3】 517至少加上( )才是3的倍数，至少减去( )才是5的倍数。 【考点四】3的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【考点五】2、5、3的倍数特征综合应用其一。 【方法点拨】 2、5、3倍数特征之间的联系。 【典型例题】 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【对应练习1】 若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【对应练习2】 一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最大是( )。 【对应练习3】 一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，这个五位数最小是( )。 【考点六】2、5、3的倍数特征综合应用其二：组数问题。 【方法点拨】 2、5、3倍数特征之间的联系。 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 【考点七】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【考点八】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的运算性质。 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【考点九】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握奇数与偶数的特点和运算性质是解决实际应用问题的关键。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【考点十】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【考点十一】2、5、3倍数特征的复杂应用其一。 【方法点拨】 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 【对应练习1】 一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？ 【对应练习2】 在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？ 【对应练习3】 一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 【考点十二】2、5、3倍数特征的复杂应用其二。 【方法点拨】 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 【对应练习1】 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 【对应练习2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 【对应练习3】 某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 14 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 14 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元因数和倍数其二·2、5、3 的倍数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其二·2、5、3 的倍数篇 专题内容 本专题以 2、5、3的倍数特征为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】2、5 的倍数特征 ............................................................................................. 3 【考点二】2、5 的倍数特征与生活实际应用 .................................................................. 3 【考点三】3 的倍数特征 ................................................................................................... 5 【考点四】3 的倍数特征与生活实际应用 .........................................................................6 【考点五】2、5、3 的倍数特征综合应用其一 ................................................................ 7 【考点六】2、5、3 的倍数特征综合应用其二：组数问题 .............................................7 【考点七】奇数与偶数 .......................................................................................................9 【考点八】奇数与偶数的运算性质 ..................................................................................10 【考点九】奇数与偶数的实际应用 ..................................................................................11 【考点十】连续偶数或奇数的和 ..................................................................................... 12 【考点十一】2、5、3 倍数特征的复杂应用其一 .......................................................... 13 【考点十二】2、5、3 倍数特征的复杂应用其二 .......................................................... 13 第 3 页 共 14 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】2、5 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 2 的倍数特征。 个位上是 0、2、4、6、8的数是 2的倍数。 2. 5 的倍数特征。 个位上是 0或 5的数是 5的倍数。 3. 注意。 个位上是 0的数，既是 2的倍数，也是 5的倍数。 【典型例题 1】其一。 分一分。 【典型例题 2】其二。 有一个三位数 17□，如果它是 5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是 2 的倍数，□里最大可以填( )。 【对应练习 1】 313至少减去( )是 5的倍数，至少加上( )是 2的倍数。 【对应练习 2】 一个两位数，既是 2的倍数又是 5的倍数，这个数最大是( )。 【对应练习 3】 82至少要加上( )才能既是 2的倍数，又是 5的倍数。 【考点二】2、5 的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 第 4 页 共 14 页 【典型例题】 李文在新华书店用 100元买了几本单价为 5元一本和 10元一本的书，找回了 36 元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【对应练习 1】 张明在文具店买了几支单价是 12元和 6元的钢笔，付给营业员 30元，找回 5 元。请你判断：钱找对了吗？ 【对应练习 2】 食品店运来 65个面包，如果每 2个装一袋，能正好装完吗？如果每 5个装一袋， 能正好装完吗？为什么？ 【对应练习 3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10 元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 第 5 页 共 14 页 【考点三】3 的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3 的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。 2. 2、5、3 倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或 25的倍数特征：一个数的末两位是 4或 25的倍数； （2）8或 125的倍数特征：一个数末三位是 8或 125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的 数之差（大数减小数）是 7、11、13的倍数。 【典型例题】 三位数 233至少加上( )后能被 3整除。 【对应练习 1】 一个三位数 5□2，正好是 3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【对应练习 2】 352至少增加( )后是 5的倍数，至少减去( )后是 3的倍数。 第 6 页 共 14 页 【对应练习 3】 517至少加上( )才是 3的倍数，至少减去( )才是 5的倍数。 【考点四】3 的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握 3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了 3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了， 售货员说应付 139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【对应练习 1】 刘老师买了 65颗糖，如果每 5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每 3颗 分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【对应练习 2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了 3个足球，售货员说应 付 134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【对应练习 3】 有一堆桃子，如果每 2个放一盘，那么多出 1个，如果每 5个放一盘，那么多出 2个，如果每 3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 第 7 页 共 14 页 【考点五】2、5、3 的倍数特征综合应用其一。 【方法点拨】 2、5、3 倍数特征之间的联系。 【典型例题】 7□0这个数能被 2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【对应练习 1】 若四位数 8□5□能被 2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【对应练习 2】 一个四位数 9□4□，既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数，这个四位数最大是 ( )。 【对应练习 3】 一个五位数 589□□，既是 2的倍数，又是 5的倍数，还是 3的倍数，这个五位数 最小是( )。 【考点六】2、5、3 的倍数特征综合应用其二：组数问题。 【方法点拨】 2、5、3 倍数特征之间的联系。 第 8 页 共 14 页 【典型例题】 从 7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 3的倍数有：( ) 既是 2的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 3的倍数又是 5的倍数有：( ) 既是 2、3的倍数，又是 5的倍数有：( ) 【对应练习 1】 按要求写数 用 4、5、8、0这 4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是 2的倍数，并且最大：( ) （2）是 5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是 3的倍数：( ) （4）既含有因数 3又含有因数 5，并且十位数字是 8：( ) （5）同时是 3和 5的倍数，并且百位与个位数字之和是 9的倍数：( ) 【对应练习 2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 第 9 页 共 14 页 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2的倍数，又是 5的倍数：( )。 （4）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 【对应练习 3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是 2的倍数，又是 3的倍数：( )。 （2）既是 3的倍数，又是 5的倍数：( )。 （3）既是 2和 5的倍数，又是 3的倍数：( )。 【考点七】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被 2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用 2n表示。 2. 奇数。 不能被 2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用 2n－1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【对应练习 1】 在 100以内 13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【对应练习 2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇 数”或“偶数”）。 【对应练习 3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 第 10 页 共 14 页 【考点八】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的运算性质。 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上 1 B．乘 5 C．乘 1 D．除以 2 【对应练习 1】 a是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． 1a  B．2 1a  C． 2 1a  【对应练习 2】 如果 a是奇数，b是偶数，且 a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【对应练习 3】 已知 a是奇数，b是偶数，且 a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b ②5a－b ③2a＋b ④6a－2b 第 11 页 共 14 页 A．4 B．3 C．2 D．1 【考点九】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握奇数与偶数的特点和运算性质是解决实际应用问题的关键。 【典型例题】 五年级 43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完 吗？为什么？ 【对应练习 1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了 15次（往 返算 2次）最后小狗停在哪棵树？第 90次呢？ 【对应练习 2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸， 不断往返。记船由南岸驶向北岸为 1次。 （1）摆渡第 10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第 103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【对应练习 3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小 船最初在南岸。 （1）摆渡 15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡 2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 第 12 页 共 14 页 【考点十】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差 2，首先 求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是 225，这三个奇数分别是多少？ 【对应练习 1】 五个连续的奇数的和是 75，这五个奇数分别是多少？ 【对应练习 2】 如果三个连续自然数的和是 150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数 的和是 93，这三个连续奇数各是多少？ 【对应练习 3】 小梅、小兰、小菊 3人的年龄和是 39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知 小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 第 13 页 共 14 页 【考点十一】2、5、3 倍数特征的复杂应用其一。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 如果五位数□436□是 45的倍数，那么这个五位数是多少？ 【对应练习 1】 一个四位数 8A1B能同时被 5和 6整除，这个四位数是多少？ 【对应练习 2】 在 358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被 4、5、9整除，这个六位数 最小是多少？ 【对应练习 3】 一个六位数 23A56A是 88的倍数，这个数除以 88所得的商是多少？ 【考点十二】2、5、3 倍数特征的复杂应用其二。 【方法点拨】 熟练掌握 2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 第 14 页 共 14 页 【典型例题】 一个大于 2的自然数，除以 3余 2，除以 5余 2，除以 7也余 2，那么这个自然 数最小是多少？ 【对应练习 1】 已知某小学六年级学生超过 100人，而不多于 140人，将他们按每组 12人分组， 多 3人，按每组 8人分，也多 3人，求出该校六年级的确切人数。 【对应练习 2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被 5除余 2，它们的差能被 5整除， 那么甲数被 5除，余数是多少？ 【对应练习 3】 某数加上 22的和除以 9余 4，这个数加上 31的和除以 9余几？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其二·2、5、3的倍数篇 专题内容 本专题以2、5、3的倍数特征为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】2、5的倍数特征 3 【考点二】2、5的倍数特征与生活实际应用 4 【考点三】3的倍数特征 5 【考点四】3的倍数特征与生活实际应用 6 【考点五】2、5、3的倍数特征综合应用其一 7 【考点六】2、5、3的倍数特征综合应用其二：组数问题 8 【考点七】奇数与偶数 10 【考点八】奇数与偶数的运算性质 11 【考点九】奇数与偶数的实际应用 12 【考点十】连续偶数或奇数的和 13 【考点十一】2、5、3倍数特征的复杂应用其一 14 【考点十二】2、5、3倍数特征的复杂应用其二 15 【第三篇】典型例题篇 【考点一】2、5的倍数特征。 【方法点拨】 1. 2的倍数特征。 个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征。 个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 注意。 个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。 【典型例题1】其一。 分一分。 解析： 【典型例题2】其二。 有一个三位数17□，如果它是5的倍数，□里最小可以填( )。如果它是2的倍数，□里最大可以填( )。 解析：0；8 【对应练习1】 313至少减去( )是5的倍数，至少加上( )是2的倍数。 解析：3；1 【对应练习2】 一个两位数，既是2的倍数又是5的倍数，这个数最大是( )。 解析：90 【对应练习3】 82至少要加上( )才能既是2的倍数，又是5的倍数。 解析：2，8 【考点二】2、5的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握2、5的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 李文在新华书店用100元买了几本单价为5元一本和10元一本的书，找回了36元，请你帮李文算一算，钱找对了吗？ 【答案】两本书的价格都是5的倍数，所以找回的钱也应该是5的倍数，找回的钱不是5的倍数，所以找回的钱数不对。 【对应练习1】 张明在文具店买了几支单价是12元和6元的钢笔，付给营业员30元，找回5元。请你判断：钱找对了吗？ 【答案】两种钢笔的单价都是偶数，因为偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以买钢笔一共所花的钱数一定是偶数， 又因为30是偶数，偶数－偶数＝偶数，即找回的钱一定是偶数。5是奇数，所以找回的钱不对。 答：钱没有找对。 【对应练习2】 食品店运来65个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？为什么？ 【答案】答：如果每2个装一袋，不能正好装完，如果每5个装一袋，能正好装完。因为65的个位是5，65不是2的倍数，65是5的倍数。 【对应练习3】 明明小朋友在饮料店买了一些纯牛奶和可乐，已知纯牛奶：5元/瓶，可乐：10元/瓶。请问：售货员阿姨找回的钱对吗？为什么？ 【答案】100－18＝82（元） 答：售货员阿姨找回的钱不对。因为买纯牛奶和可乐的总价钱应是5的倍数，而82元不是5的倍数，所以找回的钱不对。 【考点三】3的倍数特征。 【方法点拨】 1. 3的倍数的特征。 一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2. 2、5、3倍数特征之间的联系。 3. 关于倍数特征的补充。 （1）4或25的倍数特征：一个数的末两位是4或25的倍数； （2）8或125的倍数特征：一个数末三位是8或125的倍数； （3）11的倍数特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数。 （4）7、11、13的倍数特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）是7、11、13的倍数。 【典型例题】 三位数233至少加上( )后能被3整除。 【答案】1 【对应练习1】 一个三位数5□2，正好是3的倍数，□里最小填( )，最大填( )。 【答案】 2 8 【对应练习2】 352至少增加( )后是5的倍数，至少减去( )后是3的倍数。 【答案】 3 1 【对应练习3】 517至少加上( )才是3的倍数，至少减去( )才是5的倍数。 【答案】 2 2 【考点四】3的倍数特征与生活实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握3的倍数特征是解决生活实际问题的关键。 【典型例题】 张老师在体育用品店买了3个篮球，篮球的单价是整元数，可是价钱模糊不清了，售货员说应付139元。你认为售货员说得对吗？为什么？请写出你的想法。 【答案】售货员说得不对，因为139不是3的倍数。 【对应练习1】 刘老师买了65颗糖，如果每5颗分给一个小朋友，能正好分完吗？如果每3颗分给一个小朋友，能正好分完吗？为什么？ 【答案】能；不能；理由见详解 【对应练习2】 王老师到文具店买足球，足球的单价已看不清楚，他买了3个足球，售货员说应付134元，王老师认为不对。你能解释这是为什么吗？ 【答案】根据“总价÷数量＝单价”，134÷3＝单价，1＋3＋4＝8，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数，因此，王老师认为不对。 【对应练习3】 有一堆桃子，如果每2个放一盘，那么多出1个，如果每5个放一盘，那么多出2个，如果每3个放一盘，那么正好放完，这堆桃子最少有多少个？ 【答案】 根据分析可知，找出符合3的倍数，并且个位是7的数； 十位最小是1， 17÷3＝5……2 17不是3的倍数，不符合题意； 十位上是2， 27÷3＝9 27是3的倍数，比2的倍数多1，且比5的倍数多2，所以27符合题意。 答：这堆桃子最少有27个。 【考点五】2、5、3的倍数特征综合应用其一。 【方法点拨】 2、5、3倍数特征之间的联系。 【典型例题】 7□0这个数能被2，3，5整除，□最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 8 2 【对应练习1】 若四位数8□5□能被2、3、5整除，则这个四位数最大是( )。 【答案】8850 【对应练习2】 一个四位数9□4□，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个四位数最大是( )。 【答案】9840 【对应练习3】 一个五位数589□□，既是2的倍数，又是5的倍数，还是3的倍数，这个五位数最小是( )。 【答案】58920 【考点六】2、5、3的倍数特征综合应用其二：组数问题。 【方法点拨】 2、5、3倍数特征之间的联系。 【典型例题】 从7，0，2，5四个数字中取出三个，按要求组成三位数（要求写出全部）。 2的倍数有：( ) 3的倍数有：( ) 5的倍数有：( ) 既是2的倍数又是3的倍数有：( ) 既是2的倍数又是5的倍数有：( ) 既是3的倍数又是5的倍数有：( ) 既是2、3的倍数，又是5的倍数有：( ) 解析： 2的倍数有：502、702、750、720、270、570； 3的倍数有：270、720、570、750、705、507、702、207； 5的倍数有：270、720、570、750、705、205； 既是2的倍数又是3的倍数有：270，720、750、702、570； 既是2的倍数又是5的倍数有：270，720、750、570，250，520； 既是3的倍数又是5的倍数有：270，720，570，750； 既是2、3的倍数，又是5的倍数有270、720、750、570； 【对应练习1】 按要求写数 用4、5、8、0这4个数字组成符合下列要求的三位数。 （1）是2的倍数，并且最大：( ) （2）是5的倍数并且最小：( ) （3）既是偶数，又是3的倍数：( ) （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：( ) （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：( ) 解析： （1）是2的倍数，并且最大：854 （2）是5的倍数并且最小：405 （3）既是偶数，又是3的倍数：450、540、480、840、504、804、408 （4）既含有因数3又含有因数5，并且十位数字是8：480 （5）同时是3和5的倍数，并且百位与个位数字之和是9的倍数：405 【对应练习2】 写出符合要求的最小的两位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2的倍数，又是5的倍数：( )。 （4）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）12； （2）15； （3）10； （4）30 【对应练习3】 写出符合要求的最小的三位数： （1）既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 （2）既是3的倍数，又是5的倍数：( )。 （3）既是2和5的倍数，又是3的倍数：( )。 解析： （1）102； （2）105； （3）120。 【考点七】奇数与偶数。 【方法点拨】 1. 偶数。 能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数。 不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 整数。 像……-3、-2、-1、0、1、2、3、……都是整数。 4. 自然数。 像 0、1、2、3、4、……都是自然数。 【典型例题】 1～20中，最大的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 19 2 【对应练习1】 在100以内13的倍数中，奇数有( )，偶数有( )。 【答案】 13、39、65、91 26、52、78 【对应练习2】 100以内最大的奇数是( )；1～100中所有奇数的和是( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 99 偶数 【对应练习3】 自然数里最小的奇数是( )，最小的偶数是( )。 【答案】 1 0 【考点八】奇数与偶数的运算性质。 【方法点拨】 奇数与偶数的运算性质。 1. 加法。 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 2. 减法。 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 3. 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 【典型例题】 一个偶数( )，结果一定是奇数。 A．加上1 B．乘5 C．乘1 D．除以2 【答案】A 【对应练习1】 是自然数，那么在下面的式子中，结果一定是奇数的是( )。 A． B． C． 【答案】B 【对应练习2】 如果a是奇数，b是偶数，且a＜b，下列各式结果是奇数的是( )。 A．a＋a B．a×b C．b＋b D．b－a 【答案】D 【对应练习3】 已知a是奇数，b是偶数，且a＞b。下面表达式中，偶数有( )个。 ①a＋b  ②5a－b  ③2a＋b  ④6a－2b A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【考点九】奇数与偶数的实际应用。 【方法点拨】 熟练掌握奇数与偶数的特点和运算性质是解决实际应用问题的关键。 【典型例题】 五年级43名同学，分成两个队参加劳动，每个队都是偶数名同学，能正好分完吗？为什么？ 【答案】不能正好分完，因为偶数＋偶数＝偶数而43是奇数。 【对应练习1】 一只小狗在甲乙两棵树之间来回跑动。小狗从甲树跑到乙树，一共跑了15次（往返算2次）最后小狗停在哪棵树？第90次呢？ 【答案】 奇数次在乙树旁，偶数次在甲树旁， 因为15是奇数，所以一共跑了15次（往返算2次），最后小狗停在乙树旁； 因为90是偶数，所以一共跑了90次（往返算2次），最后小狗停在甲树旁。 【对应练习2】 长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返。记船由南岸驶向北岸为1次。 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ （2）摆渡第103次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？ 【答案】 （1）摆渡第10次结束时，船在南岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；10是偶数，所以船在南岸。 （2）摆渡第103次结束时，船在北岸。因为摆渡奇数次结束时，船在北岸，摆渡偶数次结束时，船在南岸；103是奇数，所以船在北岸。 【对应练习3】 一艘小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，多次往返。已知小船最初在南岸。 （1）摆渡15次后，小船在南岸还是北岸？请说明理由。 （2）淘气说摆渡2016次后，小船在北岸。他的说法对吗？为什么？ 【答案】 摆渡的次数是奇数时，船在北岸；摆渡的次数是偶数时，船在南岸。 （1）因为15是奇数，所以摆渡15次后，小船是在北岸。 （2）淘气的说法不对，因为2016是偶数，摆渡2016次后，小船应该在南岸。 【考点十】连续偶数或奇数的和。 【方法点拨】 该类题型关键在于熟悉偶数和奇数的特征，即相邻两个偶数或奇数相差2，首先求出这几个数的平均数，再根据平均数分别求出其他的数。 【典型例题】 三个连续奇数的和是225，这三个奇数分别是多少？ 【答案】 答：这三个奇数分别是73、75、77。 【对应练习1】 五个连续的奇数的和是75，这五个奇数分别是多少？ 【答案】 75÷5＝15 15－2＝13 13－2＝11 15＋2＝17 17＋2＝19 答：这五个奇数分别是11、13、15、17、19。 【对应练习2】 如果三个连续自然数的和是150，这三个自然数分别是多少？如果三个连续奇数的和是93，这三个连续奇数各是多少？ 【答案】 150÷3＝50、50－1＝49、50＋1＝51 93÷3＝31、31－2＝29、31＋2＝33 答：三个自然数分别是49、50、51，三个连续奇数各是29、31、33。 【对应练习3】 小梅、小兰、小菊3人的年龄和是39岁，并且她们的年龄是相邻的奇数，已知小梅最小，小菊最大，请问小菊多少岁？ 【答案】 39÷3＋2 ＝13＋2 ＝15（岁） 答：小菊15岁。 【考点十一】2、5、3倍数特征的复杂应用其一。 【方法点拨】 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 如果五位数□436□是45的倍数，那么这个五位数是多少？ 解析：我们可以把45分解成9×5，这个五位数要是45的倍数，就一定能被5和9整除，是5的倍数，末尾的数字一定是0或5，还要满足各位数字之和是9的倍数。 当末尾数字填0时，首位数字填5，即54360 当末尾数字填5时，首位数字填9，即94365 答：这个五位数是54360和94365。 【对应练习1】 一个四位数8A1B能同时被5和6整除，这个四位数是多少？ 解析：8010。 【对应练习2】 在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它能被4、5、9整除，这个六位数最小是多少？ 解析：358020。 【对应练习3】 一个六位数23A56A是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少？ 解析：A为8或0，所以，商为2620或2711。 【考点十二】2、5、3倍数特征的复杂应用其二。 【方法点拨】 熟练掌握2、5、3的倍数特征是解决问题的基础。 【典型例题】 一个大于2的自然数，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么这个自然数最小是多少？ 解析：这个自然数分别除以3、5、7余数都为2，那么这个数减去2就是3、5、7的倍数，即： 这个数是3、5、7的最小公倍数再加上2。 [3、5、7]=105 105+2=107 答：这个数最小是107。 【对应练习1】 已知某小学六年级学生超过100人，而不多于140人，将他们按每组12人分组，多3人，按每组8人分，也多3人，求出该校六年级的确切人数。 解析： [12，8]=24 24×5+3=123（人） 答：略。 【对应练习2】 甲、乙两个数是一位数的自然数，它们的和被5除余2，它们的差能被5整除，那么甲数被5除，余数是多少？ 解析： 由题意，和被5除余2，则余数之和为2；差被5整除，则余数相同。 所以，甲的余数是1。 【对应练习3】 某数加上22的和除以9余4，这个数加上31的和除以9余几？ 解析：余2。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$