（篇一）第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）人教版

第 1 页 共 12 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 12 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇 专题内容 本专题以因数与倍数的认识为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数的认识 ........................................................................................... 3 【考点二】找一个数的因数 ...............................................................................................3 【考点三】因数的特征 .......................................................................................................4 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型 ................................................................ 5 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型 ................................................................ 6 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型 ................................................................ 7 【考点七】找一个数的倍数 ...............................................................................................8 【考点八】倍数的特征 .......................................................................................................9 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型 ................................................................ 9 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型 .............................................................. 11 【考点十一】因数与倍数综合应用 ..................................................................................12 第 3 页 共 12 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数的认识。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是 6的倍数，6是 12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为 0的整 数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数；c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2. 注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一 个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 1．因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45是 9的( )。 2．因为 8×9＝72，所以 72是( )的倍数，也是( )的倍数；( ) 和( )都是 72的因数。 【对应练习 1】 在 48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【对应练习 2】 如果 m＝4n（m、n都是非 0的自然数），那么 m是 n的( )数，n是 m 的( )数。 【对应练习 3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么 a是b的( )，b是a的( )。 【考点二】找一个数的因数。 【方法点拨】 1. 找一个数的因数的方法。 第 4 页 共 12 页 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两 个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是 这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【对应练习 1】 ( )的因数只有 1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【对应练习 2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是 20的因数，又是 30的因 数的数有( )。 【对应练习 3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 30 60 我发现：( )既是 12的因数，又是 60的因数。 【考点三】因数的特征。 【方法点拨】 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 第 5 页 共 12 页 【典型例题】 已知一个自然数 a，它的所有因数有 1，3，7，21，那么 a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【对应练习 1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【对应练习 2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【对应练习 3】 已知 a是 37的因数，那么( )。 A．a只能是 1 B．a只能是 37 C．a是 1或 37 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 端午节妈妈买了 35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放 的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【对应练习 1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把 64本书装完？写出 你的理由。 第 6 页 共 12 页 【对应练习 2】 妈妈买了 30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根 往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每 次分别放几个？ 【对应练习 3】 育才小学五年级（1）班有 36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每 行不能是 1人和 36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解 决） 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了 48块月饼，如果装在盒子 里，每个盒子装的同样多，数量多于 3块但又比 9块少，有几种装法？每种装法 各需要多少个盒子？ 【对应练习 1】 学校合唱团有 48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这 48人平均分成若干个 小组，每组人数不少于 4人，不多于 10人。有几种分法？写出你的方法。 第 7 页 共 12 页 【对应练习 2】 五（1）班有 54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组， 组数大于 3而小于 10，可以分成几组？ 【对应练习 3】 某医院抽调 48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这 48人平均分 成若干小组，每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，有几种分法？ 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有 15人，女生有 20人，如果每组中男生人数 相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【对应练习 1】 休业式上，王老师拿出 40本练习本和 56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生， 请问这个班里最多有几个五星级学生？ 第 8 页 共 12 页 【对应练习 2】 三根铁丝分别长 15米、18米和 24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽 量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【对应练习 3】 五（2）班买了 57本书和 44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得 到的奖品同样多，最后余下 1本书和 2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【考点七】找一个数的倍数。 【方法点拨】 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这 个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 50以内 4的倍数有( )。 【对应练习 1】 写出 50以内，所有 17的倍数：( )。 【对应练习 2】 写出下面各数的倍数（各写 5个）。 1：( )； 第 9 页 共 12 页 50：( )； 75：( )。 【对应练习 3】 写出下面各数的倍数。（各写 5个） 7的倍数 13的倍数 【考点八】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习 1】 一个数的最大因数是 56，这个数是( )；一个数的最小倍数是 18，这个 数是( )。 【对应练习 2】 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 【对应练习 3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型。 【方法点拨】 第 10 页 共 12 页 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特 征。 【典型例题】 五（1）班有 7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在 40～50棵之间，他们发现 每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【对应练习 1】 一根绳子比 20米长，比 30米短，剪成 4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根 绳子最多有多少米？（请写出理由） 【对应练习 2】 4月 2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有 526 人，若 6人一组，至少需要再来多少人就可以正好 6人一组？至少减少多少人也 正好 6人一组？ 【对应练习 3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在 100到 200之间，并且 比 24的倍数多 13，参与共享的图书最多有多少本？ 第 11 页 共 12 页 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特 征。 【典型例题】 商店要把 70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装 12个，就正好装满；如果 每层装 18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【对应练习 1】 五（1）班学生进行队列表演，每行 12人或每行 16人都能排成整行，没有剩余。 已知这个班的学生不到 50名，这个班有多少名学生？ 【对应练习 2】 五年级（1）班有 40多名同学。如果把他们 4人分成一个小组，正好分完；如果 把他们 6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【对应练习 3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每 12分钟喷一次，内层每 9分钟喷一次。12： 50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 第 12 页 共 12 页 【考点十一】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数与倍数综合应用问题，需要熟练掌握因数与倍数特征。 【典型例题】 阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是 48的因数，又 是 6的倍数，价格在 15元到 25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【对应练习 1】 今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是 63的因 数，又是 9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【对应练习 2】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是 5的最小倍数；B是最小的自然数； C是 5最大的因数；D既是 6的倍数，又是 6的因数；E的所有因数是 1，2，4， 8；F的所有因数是 1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【对应练习 3】 小强今年的年龄是 2和 7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的 倍数，也是 42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 第 1 页 共 16 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 16 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇 专题内容 本专题以因数与倍数的认识为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数的认识 ........................................................................................... 3 【考点二】找一个数的因数 ...............................................................................................4 【考点三】因数的特征 .......................................................................................................5 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型 ................................................................ 6 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型 ................................................................ 7 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型 ................................................................ 9 【考点七】找一个数的倍数 ............................................................................................. 10 【考点八】倍数的特征 .....................................................................................................11 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型 .............................................................. 12 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型 .............................................................. 14 【考点十一】因数与倍数综合应用 ..................................................................................15 第 3 页 共 16 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数的认识。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是 6的倍数，6是 12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为 0的整 数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数；c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2. 注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一 个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 1．因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45是 9的( )。 【答案】 45 倍数 2．因为 8×9＝72，所以 72是( )的倍数，也是( )的倍数；( ) 和( )都是 72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【对应练习 1】 在 48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 6 48 48 6 【对应练习 2】 如果 m＝4n（m、n都是非 0的自然数），那么 m是 n的( )数，n是 m 的( )数。 【答案】 倍 因 【对应练习 3】 第 4 页 共 16 页 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么 a是b的( )，b是a的( )。 【答案】 倍数 因数 【考点二】找一个数的因数。 【方法点拨】 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两 个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是 这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【答案】 【对应练习 1】 ( )的因数只有 1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【答案】 1 2 4 【对应练习 2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是 20的因数，又是 30的因 数的数有( )。 第 5 页 共 16 页 【答案】 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、 5、10 【对应练习 3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 30 60 我发现：( )既是 12的因数，又是 60的因数。 【答案】 我发现：1，2，3，4，6，12既是 12的因数，又是 60的因数。 【考点三】因数的特征。 【方法点拨】 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 【典型例题】 已知一个自然数 a，它的所有因数有 1，3，7，21，那么 a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【答案】C 【对应练习 1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【答案】C 【对应练习 2】 28的最小因数是( )。 第 6 页 共 16 页 A．1 B．2 C．4 【答案】A 【对应练习 3】 已知 a是 37的因数，那么( )。 A．a只能是 1 B．a只能是 37 C．a是 1或 37 【答案】C 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 端午节妈妈买了 35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放 的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】 （1）35 1 35 5 7    1和 35排除，所以可以 5个一放，或者 7个一放，共 2种方法。 答：一共有 2种放法。 （2）5个一放时放：35 5 7  （次） 7个一放时放：35 7 5  （次） 答：每次放 5个放 7次全部放完；每次放 7个放 5次全部放完。 【对应练习 1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把 64本书装完？写出 你的理由。 【答案】 64 6 10 4  （箱） （本） 第 7 页 共 16 页 64 8 8 （箱） 64 5 12 4  （箱） （本） 答：因为 8是 64的因数，所以应选每箱 8本的包装箱。 【对应练习 2】 妈妈买了 30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根 往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每 次分别放几个？ 【答案】 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除 1和 30，还有 2、3、5、6、10、15。 答：一共有 6种放法，每次分别放 2个、3个、5个、6个、10个、15个。 【对应练习 3】 育才小学五年级（1）班有 36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每 行不能是 1人和 36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解 决） 【答案】 36＝1×36，排成 1行或者 36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成 2行或者 18行； 36＝3×12，排成 3行或者排成 12行； 36＝4×9，排成 4行或者排成 9行； 36＝6×6，排成 6行。 答：一共有 7种不同的排法。 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了 48块月饼，如果装在盒子 第 8 页 共 16 页 里，每个盒子装的同样多，数量多于 3块但又比 9块少，有几种装法？每种装法 各需要多少个盒子？ 【答案】 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在 3～9之间的因数有：4，6，8； 即有 3种装法：每盒装 4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有 3种装法：每盒装 4块需要 12个盒子，每盒装 6块需要 8个盒子，每盒 装 8块需要 6个盒子。 【对应练习 1】 学校合唱团有 48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这 48人平均分成若干个 小组，每组人数不少于 4人，不多于 10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组 4人，分成 12组； ②每组 6人，分成 8组； ③每组 8人，分成 6组 一共有 3种分法。 答：共有 3种分法。 【对应练习 2】 五（1）班有 54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组， 组数大于 3而小于 10，可以分成几组？ 【答案】 54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于 3而小于 10，所以可 以分成 6组或者 9组。 答：可以分成 6组或者 9组。 【对应练习 3】 第 9 页 共 16 页 某医院抽调 48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这 48人平均分 成若干小组，每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，有几种分法？ 【答案】 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于 4，不多于 10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有 15人，女生有 20人，如果每组中男生人数 相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【答案】 15＝5×3 20＝5×2×2 所以 15和 20的最大公因数是 5，每组男生 3人。 答：最多可以分成 5组，每组男生 3人。 【对应练习 1】 休业式上，王老师拿出 40本练习本和 56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生， 请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【答案】 40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和 56的最大公因数是 2×2×2＝8 答：这个班里最多有 8个五星级学生。 【对应练习 2】 三根铁丝分别长 15米、18米和 24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽 量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 第 10 页 共 16 页 【答案】 15的因数有 1，3，5，15； 18的因数有 1，2，3，6，9，18； 24的因数有 1，2，3，4，6，8，12，24； 15、18、24的最大公因数是 3； (15 18 24) 3   57 3  19 （段） 答：每段长 3米，一共能剪 19段。 【对应练习 3】 五（2）班买了 57本书和 44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得 到的奖品同样多，最后余下 1本书和 2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】 57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和 42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有 14个同学得到奖品。 【考点七】找一个数的倍数。 【方法点拨】 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这 个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 第 11 页 共 16 页 【典型例题】 50以内 4的倍数有( )。 【答案】4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48 【对应练习 1】 写出 50以内，所有 17的倍数：( )。 【答案】17、34 【对应练习 2】 写出下面各数的倍数（各写 5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、 300、375 【对应练习 3】 写出下面各数的倍数。（各写 5个） 7的倍数 13的倍数 【答案】 （答案不唯一） 【考点八】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 第 12 页 共 16 页 【典型例题】 一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【对应练习 1】 一个数的最大因数是 56，这个数是( )；一个数的最小倍数是 18，这个 数是( )。 【答案】 56 18 【对应练习 2】 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 【答案】32 【对应练习 3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特 征。 【典型例题】 五（1）班有 7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在 40～50棵之间，他们发现 每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【对应练习 1】 一根绳子比 20米长，比 30米短，剪成 4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根 绳子最多有多少米？（请写出理由） 第 13 页 共 16 页 【答案】 4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在 20~30之间 4的倍数有 24、28。 24＜28 即这根绳子最多有 28米。 答：这根绳子最多有 28米。 【对应练习 2】 4月 2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有 526 人，若 6人一组，至少需要再来多少人就可以正好 6人一组？至少减少多少人也 正好 6人一组？ 【答案】 526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来 2人就可以正好 6人一组，至少减少 4人也正好 6人一组。 【对应练习 3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在 100到 200之间，并且 比 24的倍数多 13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】 100到 200之间 24的倍数有：120，144，168，192； 120 13 133  （本） 144 13 157  （本） 168 13 181  （本） 192 13 205  （本） 其中，205＞200，100到 200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有 181本。 第 14 页 共 16 页 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特 征。 【典型例题】 商店要把 70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装 12个，就正好装满；如果 每层装 18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】 12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和 18的最小公倍数是 2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有 72个苹果。 【对应练习 1】 五（1）班学生进行队列表演，每行 12人或每行 16人都能排成整行，没有剩余。 已知这个班的学生不到 50名，这个班有多少名学生？ 【答案】 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（名） 48＜50 答：这个班有 48名学生。 【对应练习 2】 五年级（1）班有 40多名同学。如果把他们 4人分成一个小组，正好分完；如果 把他们 6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【答案】 4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（人） 第 15 页 共 16 页 12×2＝24（人） 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五年级（1）班有 48人。 【对应练习 3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每 12分钟喷一次，内层每 9分钟喷一次。12： 50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【答案】 12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是 13：26。 【考点十一】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数与倍数综合应用问题，需要熟练掌握因数与倍数特征。 【典型例题】 阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是 48的因数，又 是 6的倍数，价格在 15元到 25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】 48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 第 16 页 共 16 页 既是 48的因数，又是 6的倍数有：6、12、24、48。 在 15到 25之间的是 24。 答：这个文具盒的价格是 24元。 【对应练习 1】 今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是 63的因 数，又是 9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是 9元或 63元。 【对应练习 2】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是 5的最小倍数；B是最小的自然数； C是 5最大的因数；D既是 6的倍数，又是 6的因数；E的所有因数是 1，2，4， 8；F的所有因数是 1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】 5的最小倍数是 5；最小的自然数是 0；5的最大因数是 5；既是 6的倍数，又是 6的因数的数是 6；E的最大因数是 8，E就是 8；F的最大因数是 3，F就是 3； 只有一个因数的是 1。 所以这个电话号码是 0592－5056831。 【对应练习 3】 小强今年的年龄是 2和 7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的 倍数，也是 42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】、因为 2和 7的公因数为 1，所以 2和 7互质，所以 2和 7的最小公倍 数是 14，14的倍数有 14，28，42，42也是 42因数，所以爸爸今年 42岁，小强 今年 14岁。 答：爸爸今年 42岁，小强今年 14岁。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇 专题内容 本专题以因数与倍数的认识为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数的认识 3 【考点二】找一个数的因数 3 【考点三】因数的特征 4 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型 5 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型 6 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型 7 【考点七】找一个数的倍数 8 【考点八】倍数的特征 9 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型 9 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型 11 【考点十一】因数与倍数综合应用 12 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数的认识。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 1．因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 2．因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 【对应练习1】 在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【对应练习2】 如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 【对应练习3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的( )，b是a的( )。 【考点二】找一个数的因数。 【方法点拨】 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【对应练习1】 ( )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【对应练习2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  20  30  60 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 【考点三】因数的特征。 【方法点拨】 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【典型例题】 已知一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，那么a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【对应练习2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是37 C．a是1或37 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【对应练习1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【对应练习2】 妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【对应练习3】 育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【对应练习1】 学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【对应练习2】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【对应练习3】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【对应练习1】 休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【对应练习2】 三根铁丝分别长15米、18米和24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【对应练习3】 五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【考点七】找一个数的倍数。 【方法点拨】 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 50以内4的倍数有( )。 【对应练习1】 写出50以内，所有17的倍数：( )。 【对应练习2】 写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【对应练习3】 写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        【考点八】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 【典型例题】 五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【对应练习1】 一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【对应练习2】 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【对应练习3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 【典型例题】 商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【对应练习1】 五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【对应练习2】 五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【对应练习3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【考点十一】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数与倍数综合应用问题，需要熟练掌握因数与倍数特征。 【典型例题】 阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【对应练习1】 今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【对应练习2】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【对应练习3】 小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇 专题内容 本专题以因数与倍数的认识为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数的认识 3 【考点二】找一个数的因数 4 【考点三】因数的特征 5 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型 6 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型 7 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型 9 【考点七】找一个数的倍数 10 【考点八】倍数的特征 11 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型 12 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型 14 【考点十一】因数与倍数综合应用 15 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数的认识。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 1．因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】 45 倍数 2．因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【对应练习1】 在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 6 48 48 6 【对应练习2】 如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 【答案】 倍 因 【对应练习3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的( )，b是a的( )。 【答案】 倍数 因数 【考点二】找一个数的因数。 【方法点拨】 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【答案】 【对应练习1】 ( )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【答案】 1 2 4 【对应练习2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 【答案】 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  20  30  60 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 【答案】 我发现：1，2，3，4，6，12既是12的因数，又是60的因数。 【考点三】因数的特征。 【方法点拨】 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【典型例题】 已知一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，那么a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【答案】C 【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【答案】C 【对应练习2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【答案】A 【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是37 C．a是1或37 【答案】C 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】 （1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 【对应练习1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【对应练习2】 妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 【对应练习3】 育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【答案】 36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成2行或者18行； 36＝3×12，排成3行或者排成12行； 36＝4×9，排成4行或者排成9行； 36＝6×6，排成6行。 答：一共有7种不同的排法。 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【答案】 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 【对应练习1】 学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【对应练习2】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【答案】 54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于3而小于10，所以可以分成6组或者9组。 答：可以分成6组或者9组。 【对应练习3】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【答案】 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于4，不多于10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【答案】 15＝5×3 20＝5×2×2 所以15和20的最大公因数是5，每组男生3人。 答：最多可以分成5组，每组男生3人。 【对应练习1】 休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【答案】 40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和56的最大公因数是2×2×2＝8 答：这个班里最多有8个五星级学生。 【对应练习2】 三根铁丝分别长15米、18米和24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【答案】 15的因数有1，3，5，15； 18的因数有1，2，3，6，9，18； 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24； 15、18、24的最大公因数是3； （段） 答：每段长3米，一共能剪19段。 【对应练习3】 五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】 57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【考点七】找一个数的倍数。 【方法点拨】 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 50以内4的倍数有( )。 【答案】4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48 【对应练习1】 写出50以内，所有17的倍数：( )。 【答案】17、34 【对应练习2】 写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、300、375 【对应练习3】 写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        【答案】 （答案不唯一） 【考点八】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【答案】 56 18 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 【典型例题】 五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【对应练习1】 一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】 4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【对应练习2】 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】 526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 【对应练习3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】 100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 【典型例题】 商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】 12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 【对应练习1】 五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【答案】 12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（名） 48＜50 答：这个班有48名学生。 【对应练习2】 五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【答案】 4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（人） 12×2＝24（人） 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五年级（1）班有48人。 【对应练习3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【答案】 12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是13：26。 【考点十一】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数与倍数综合应用问题，需要熟练掌握因数与倍数特征。 【典型例题】 阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】 48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【对应练习1】 今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【对应练习2】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】 5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【对应练习3】 小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】、因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 23 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 23 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇 专题内容 本专题以因数与倍数的认识为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数的认识 ........................................................................................... 3 【考点二】找一个数的因数 ...............................................................................................4 【考点三】因数的特征 .......................................................................................................6 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型 ................................................................ 8 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型 .............................................................. 10 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型 .............................................................. 12 【考点七】找一个数的倍数 ............................................................................................. 14 【考点八】倍数的特征 .....................................................................................................16 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型 .............................................................. 17 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型 .............................................................. 19 【考点十一】因数与倍数综合应用 ..................................................................................21 第 3 页 共 23 页 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数的认识。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数 和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是 6的倍数，6是 12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为 0的整 数)，那么 a是 c的因数，b也是 c的因数；c是 a的倍数，c也是 b的倍数。 2. 注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一 个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 1．因为 45÷9＝5，所以可以说 9是( )的因数，45是 9的( )。 【答案】 45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就是 b的 倍数，b就是 a的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为 45÷9＝5，所以可以说 9是 45的因数，45是 9的倍数。 2．因为 8×9＝72，所以 72是( )的倍数，也是( )的倍数；( ) 和( )都是 72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是 0），我们就 说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 【详解】因为 8×9＝72，所以 72÷8＝9，72÷9＝8，所以 72是 8的倍数，也是 9 的倍数；8和 9都是 72的因数。 第 4 页 共 23 页 【对应练习 1】 在 48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 6 48 48 6 【分析】根据题意，结合倍数与因数的定义可知，在整数除法中，如果所得的商 是自然数而没有余数，那么被除数就是除数的倍数，而除数则是被除数的因数。 在这个特定的例子中，48除以 6的结果是一个没有余数的除法运算，因此可以 确定 6是 48的因数，同时 48是 6的倍数。 【详解】在 48÷6＝8中，6是 48的因数，同时 48是 6的倍数。 【对应练习 2】 如果 m＝4n（m、n都是非 0的自然数），那么 m是 n的( )数，n是 m 的( )数。 【答案】 倍 因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍 数，除数是被除数的因数。 【详解】如果 m＝4n（m、n都是非 0的自然数），即 m÷n＝4，那么 m是 n的 倍数，n是 m的因数。 【对应练习 3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么 a是b的( )，b是a的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果 a÷b＝c（a、b、c 都是非 0的自然数）那么 b和 c就是 a的因数，a就是 b和 c的倍数。 【详解】根据因数和倍数的含义，如果 a÷3＝b（a、b均为非 0的自然数），那 么 a是 b的倍数，b是 a的因数。 【考点二】找一个数的因数。 【方法点拨】 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两 个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是 第 5 页 共 23 页 这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出 42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘 法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 【对应练习 1】 ( )的因数只有 1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【答案】 1 2 4 【分析】通过列乘法算式：将这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自 然数都是该数的因数。先列举出 1、3、6的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】1的因数：1；只有 1个； 3的因数：1，3；有 2个； 6的因数：1，2，3，6；有 4个。 1的因数只有 1个，3的因数有 2个，6的因数有 4个。 【对应练习 2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是 20的因数，又是 30的因 第 6 页 共 23 页 数的数有( )。 【答案】 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、 5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这 个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出 20和 30的因数，再找到既是 20的因数，又是 30的因数的数即可。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因数有：1，2，4，5，10，20； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 既是 20的因数，又是 30的因数有：1，2，5，10。 20的因数有 1，2，4，5，10，20，30的因数有 1，2，3，5，6，10，15，30， 既是 20的因数，又是 30的因数的数有 1，2，5，10。 【对应练习 3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1 2 3 4 5 6 8 10 12 15 20 30 60 我发现：( )既是 12的因数，又是 60的因数。 【答案】见详解；1，2，3，4，6，12 【分析】先从所给的数中挑选出 12的因数和 60的因数，填入相应的方框里；然 后从中找出既是 12的因数，又是 60的因数的数即可。 【详解】 我发现：1，2，3，4，6，12既是 12的因数，又是 60的因数。 【考点三】因数的特征。 【方法点拨】 第 7 页 共 23 页 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 【典型例题】 已知一个自然数 a，它的所有因数有 1，3，7，21，那么 a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【答案】C 【分析】一个数的最小因数是 1，最大因数是本身。据此解题。 【详解】一个自然数 a，它的所有因数有 1，3，7，21，说明这个数的最大因数 是 21，那么 a是 21。 故答案为：C 【对应练习 1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【答案】C 【分析】假如 a×b＝c（a、b、c都是整数），那么我们称 a和 b就是 c的因数， 据此解答。 【详解】A．4的因数有：1、2、4，有 3个因数，不符合题意； B．1的因数只有一个，即 1本身，不符合题意； C．7只有 l和它本身两个因数，符合题意； 故答案为：C 【对应练习 2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【答案】A 【分析】 根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身，一 个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】28的最小因数是 1。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，掌握最小因数的求法是解答本题的 第 8 页 共 23 页 关键。 【对应练习 3】 已知 a是 37的因数，那么( )。 A．a只能是 1 B．a只能是 37 C．a是 1或 37 【答案】C 【分析】已知 a是 37的因数，先列举出 37的所有因数，再确定 a的值。 【详解】37的因数：1，37； 已知 a是 37的因数，那么 a是 1或 37。 故答案为：C 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 端午节妈妈买了 35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放 的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放 5个放 7次全部放完；每次放 7个放 5次全部放完 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋 总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也 不是一个一个往里放，排除 1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数， 求出放的次数，据此解答即可。 【详解】（1）35 1 35 5 7    1和 35排除，所以可以 5个一放，或者 7个一放，共 2种方法。 答：一共有 2种放法。 （2）5个一放时放：35 5 7  （次） 7个一放时放：35 7 5  （次） 第 9 页 共 23 页 答：每次放 5个放 7次全部放完；每次放 7个放 5次全部放完。 【对应练习 1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把 64本书装完？写出 你的理由。 【答案】 因为 8是 64的因数，选 8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是 64的因数，即用 64除以每箱 所装的本数，能整除的即为解。 【详解】64 6 10 4  （箱） （本） 64 8 8 （箱） 64 5 12 4  （箱） （本） 答：因为 8是 64的因数，所以应选每箱 8本的包装箱。 【对应练习 2】 妈妈买了 30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根 往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每 次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根 数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根 一根往里放，排除 1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘 法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除 1和 30，还有 2、3、5、6、10、15。 答：一共有 6种放法，每次分别放 2个、3个、5个、6个、10个、15个。 【对应练习 3】 第 10 页 共 23 页 育才小学五年级（1）班有 36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每 行不能是 1人和 36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解 决） 【答案】7种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组 地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出 36有多少个因数，进而找出符合条 件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成 1行或者 36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成 2行或者 18行； 36＝3×12，排成 3行或者排成 12行； 36＝4×9，排成 4行或者排成 9行； 36＝6×6，排成 6行。 答：一共有 7种不同的排法。 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了 48块月饼，如果装在盒子 里，每个盒子装的同样多，数量多于 3块但又比 9块少，有几种装法？每种装法 各需要多少个盒子？ 【答案】3种；见详解 【分析】根据题意，要把 48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每 个盒子装月饼的数量一定是 48的因数； 先列举出 48的所有因数，再找出大于 3且小于 9的因数，即是每盒装月饼的数 量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在 3～9之间的因数有：4，6，8； 即有 3种装法：每盒装 4块、6块、8块。 第 11 页 共 23 页 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有 3种装法：每盒装 4块需要 12个盒子，每盒装 6块需要 8个盒子，每盒 装 8块需要 6个盒子。 【对应练习 1】 学校合唱团有 48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这 48人平均分成若干个 小组，每组人数不少于 4人，不多于 10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是 48的因数，根据求一个数因数的方法， 求出 48的因数，再结合每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组 4人，分成 12组； ②每组 6人，分成 8组； ③每组 8人，分成 6组 一共有 3种分法。 答：共有 3种分法。 【对应练习 2】 五（1）班有 54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组， 组数大于 3而小于 10，可以分成几组？ 【答案】6组或者 9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是 54的因数，先求出 54的因数，再结 合组数大于 3而小于 10，据此找出可以分成几组。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于 3而小于 10， 所以可以分成 6组或者 9组。 答：可以分成 6组或者 9组。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习 3】 某医院抽调 48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这 48人平均分 第 12 页 共 23 页 成若干小组，每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，有几种分法？ 【答案】3种 【分析】由题意可知，小组的个数应是 48的因数，根据求一个数因数的方法， 求出 48的因数，再结合每组人数不得少于 4人，不得多于 10人，据此解答即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于 4，不多于 10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特 征。 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有 15人，女生有 20人，如果每组中男生人数 相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【答案】5组；3人 【分析】由题意可知：分组后每个小组的男生和女生人数分别相等，要求最多能 分成几个小组，只要求出 15和 20的最大公因数即可解决问题。 【详解】15＝5×3 20＝5×2×2 所以 15和 20的最大公因数是 5，每组男生 3人。 答：最多可以分成 5组，每组男生 3人。 【点睛】灵活运用最大公因数的求解方法来解决实际问题。 【对应练习 1】 休业式上，王老师拿出 40本练习本和 56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生， 请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【答案】8个 【分析】40本练习本和 56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，也就是求 40 和 56的最大公因数。 第 13 页 共 23 页 【详解】40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和 56的最大公因数是 2×2×2＝8 答：这个班里最多有 8个五星级学生。 【点睛】考查最大公因数的应用。 【对应练习 2】 三根铁丝分别长 15米、18米和 24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽 量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【答案】3米；19段 【分析】将三根铁丝剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每 段铁丝的长度就是求 15、18和 24的最大公因数；三根铁丝总长÷一共能剪的段 数＝每段的长度。 【详解】15的因数有 1，3，5，15； 18的因数有 1，2，3，6，9，18； 24的因数有 1，2，3，4，6，8，12，24； 15、18、24的最大公因数是 3； (15 18 24) 3   57 3  19 （段） 答：每段长 3米，一共能剪 19段。 【点睛】本题考查最大公因数知识点，运用最大公因数知识解决实际问题。 【对应练习 3】 五（2）班买了 57本书和 44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得 到的奖品同样多，最后余下 1本书和 2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数 的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【详解】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 第 14 页 共 23 页 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和 42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有 14个同学得到奖品。 【点睛】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题 的关键。 【考点七】找一个数的倍数。 【方法点拨】 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这 个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 50以内 4的倍数有( )。 【答案】4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48 【分析】 根据找一个数的倍数的方法，进行列举即可。 【详解】 50以内 4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48。 【对应练习 1】 写出 50以内，所有 17的倍数：( )。 【答案】17、34 【分析】求一个数的倍数的求法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数 1，2， 3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答。 【详解】由分析得：17×1＝17 第 15 页 共 23 页 17×2＝34 17×3＝51 51＞50，所以在 50以内，17的倍数有 17、34。 【点睛】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的，故在 求一个数的倍数时，通常要对数的范围加以限制。 【对应练习 2】 写出下面各数的倍数（各写 5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、 300、375 【分析】求一个数倍数的方法： 这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，…， 就得到这个数的 1倍，2倍，3倍，4倍，5倍。据此解答。 【详解】1的倍数：（1、2、3、4、5）； 50的倍数：（50、100、150、200、250）； 75的倍数：（75、150、225、300、375）。 【对应练习 3】 写出下面各数的倍数。（各写 5个） 7的倍数 13的倍数 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的倍数的方法，写出 7和 13的倍数，各写 5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非 0自然数 的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】 第 16 页 共 23 页 （答案不唯一） 【考点八】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非 0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答 即可。 【详解】24的最大因数是 24，8的最小倍数是 8，24÷8＝3，即 24是 8的倍数， 8是 24的因数。所以一个数是 24的因数，又是 8的倍数，这个数最小是 8，最 大是 24。 【对应练习 1】 一个数的最大因数是 56，这个数是( )；一个数的最小倍数是 18，这个 数是( )。 【答案】 56 18 【分析】一个数的最大公因数是它本身，一个数的最小公倍数是它本身，据此解 答即可。 【详解】一个数的最大因数是 56，那么这个数就是 56；一个数的最小倍数是 18， 那么这个数是 18。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握一个数的最大因数和最小 倍数都是它本身。 【对应练习 2】 一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是( )。 第 17 页 共 23 页 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它 本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是 32，这个数是 32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是 解答本题的关键。 【对应练习 3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是 4的倍数，又是 4的因数； E－所有因数是 1、2、3、6； F－所有因数是 1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数 a能被数 b整除（b≠0），a就叫做 b 的倍数，b就叫做 a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1， 最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最 小的自然数是 0，1只有 1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是 5； 最小的自然数是 0； 5的最大因数是 5； 既是 4的倍数，又是 4的因数的数是 4； 所有因数是 1、2、3、6的数是 6； 所有因数是 1，3的数是 3； 只有一个因数的数是 1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型。 【方法点拨】 第 18 页 共 23 页 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特 征。 【典型例题】 五（1）班有 7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在 40～50棵之间，他们发现 每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出 7的倍数，又因为小树苗的数量在 40～50 棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有 7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中 40～50之间的数是 42、49。 答：这些小树苗可能有 42、49棵。 【对应练习 1】 一根绳子比 20米长，比 30米短，剪成 4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根 绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是 20~30之间的 4的倍数。可以列乘法 算式找一个数的倍数，用这个数依次与非 0自然数相乘，所得的积就是这个数的 倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在 20~30之间 4的倍数有 24、28。 24＜28 即这根绳子最多有 28米。 答：这根绳子最多有 28米。 【点睛】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数 找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 【对应练习 2】 第 19 页 共 23 页 4月 2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有 526 人，若 6人一组，至少需要再来多少人就可以正好 6人一组？至少减少多少人也 正好 6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有 526人，分成 6人一组，如果总人数是 6的倍数， 则刚好分完；用总人数除以 6，商是分成的组数，有余数，用 6减去余数，即是 至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来 2人就可以正好 6人一组，至少减少 4人也正好 6人一组。 【对应练习 3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在 100到 200之间，并且 比 24的倍数多 13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出 100到 200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上 13，找出得 数在 100到 200之间最大的数即可解答。 【详解】100到 200之间 24的倍数有：120，144，168，192； 120 13 133  （本） 144 13 157  （本） 168 13 181  （本） 192 13 205  （本） 其中，205＞200，100到 200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有 181本。 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特 征。 【典型例题】 商店要把 70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装 12个，就正好装满；如果 第 20 页 共 23 页 每层装 18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】72个 【分析】从题意可知：这些苹果的个数是 12和 18的公倍数，是 12和 18的公倍 数中大于 70小于 80的数。因此先用分解质因数的方法，求出 12和 18的最小公 倍数，再找出在 70～80的 12和 18的公倍数即可。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和 18的最小公倍数是 2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有 72个苹果。 【对应练习 1】 五（1）班学生进行队列表演，每行 12人或每行 16人都能排成整行，没有剩余。 已知这个班的学生不到 50名，这个班有多少名学生？ 【答案】48名 【分析】每行 12人或每行 16人都能排成整行，没有剩余，说明总人数是 12和 16的公倍数，求出 12和 16的最小公倍数，再通过最小公倍数确定 40至 50之 间的公倍数即可，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这 几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（名） 48＜50 答：这个班有 48名学生。 【对应练习 2】 五年级（1）班有 40多名同学。如果把他们 4人分成一个小组，正好分完；如果 把他们 6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【答案】48人 【分析】4人分成一个小组，正好分完；6个人分成一个小组，也正好分完，说 明总人数是 4和 6的公倍数，先求出 4和 6的最小公倍数，用最小公倍数分别乘 第 21 页 共 23 页 2、3、4……找到 40至 50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的 质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（人） 12×2＝24（人） 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五年级（1）班有 48人。 【对应练习 3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每 12分钟喷一次，内层每 9分钟喷一次。12： 50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【答案】13：26 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的 最小公倍数。求出外层和内层间隔时间的最小公倍数是外层和内层同时喷的间隔 时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时喷水时间。 【详解】12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是 13：26。 【考点十一】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数与倍数综合应用问题，需要熟练掌握因数与倍数特征。 【典型例题】 阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是 48的因数，又 是 6的倍数，价格在 15元到 25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 第 22 页 共 23 页 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这 个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非 0自然数 的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出 48的所有因数和 48以内 6的倍数，找到 15到 25之间的即可。 【详解】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是 48的因数，又是 6的倍数有：6、12、24、48。 在 15到 25之间的是 24。 答：这个文具盒的价格是 24元。 【点睛】关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 【对应练习 1】 今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是 63的因 数，又是 9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或 63元 【分析】先找出 9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从 9的倍数中判 断 63的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是 9元或 63元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是 第 23 页 共 23 页 它本身是解题关键。 【对应练习 2】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是 5的最小倍数；B是最小的自然数； C是 5最大的因数；D既是 6的倍数，又是 6的因数；E的所有因数是 1，2，4， 8；F的所有因数是 1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的 0，1， 2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是 5；最小的自然数是 0；5的最大因数是 5；既是 6的倍 数，又是 6的因数的数是 6；E的最大因数是 8，E就是 8；F的最大因数是 3，F 就是 3；只有一个因数的是 1。 所以这个电话号码是 0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是 1，最大的因数是它本身。 【对应练习 3】 小强今年的年龄是 2和 7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的 倍数，也是 42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有 1的两个非零自然数为互质数，所以 2和 7为互质数，即最 小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是 2和 7相乘即 14。 14的倍数有 14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是 42的因 数，所以爸爸和小强的年龄同时是 2，7的倍数也是 42的因数，小强的年龄不能 比爸爸大，所以 42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【详解】因为 2和 7的公因数为 1，所以 2和 7互质，所以 2和 7的最小公倍数 是 14，14的倍数有 14，28，42，42也是 42因数，所以爸爸今年 42岁，小强今 年 14岁。 答：爸爸今年 42岁，小强今年 14岁。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇【十一大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第二单元因数和倍数其一·因数与倍数篇 专题内容 本专题以因数与倍数的认识为主，包括多种典型问题。 总体评价 讲解建议 建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十一个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】因数与倍数的认识 3 【考点二】找一个数的因数 4 【考点三】因数的特征 6 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型 8 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型 10 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型 12 【考点七】找一个数的倍数 14 【考点八】倍数的特征 16 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型 17 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型 19 【考点十一】因数与倍数综合应用 21 【第三篇】典型例题篇 【考点一】因数与倍数的认识。 【方法点拨】 1. 因数与倍数的定义。 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 注意。 （1）因数与倍数是相互依存的。 在谈因数与倍数时，一定要说明一个数是另一个数的因数或倍数，不能单独说一个数是因数或是倍数。 （2）0不作为研究因数与倍数的对象。 （3）倍数和因数都是自然数（0除外），不能是小数或分数。 【典型例题】 1．因为45÷9＝5，所以可以说9是( )的因数，45是9的( )。 【答案】 45 倍数 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就是b的倍数，b就是a的因数；据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 因为45÷9＝5，所以可以说9是45的因数，45是9的倍数。 2．因为8×9＝72，所以72是( )的倍数，也是( )的倍数；( )和( )都是72的因数。 【答案】 8 9 8 9 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数是0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。 【详解】因为8×9＝72，所以72÷8＝9，72÷9＝8，所以72是8的倍数，也是9的倍数；8和9都是72的因数。 【对应练习1】 在48÷6＝8中，( )是( )的因数，( )是( )的倍数。 【答案】 6 48 48 6 【分析】根据题意，结合倍数与因数的定义可知，在整数除法中，‌如果所得的商是自然数而没有余数，‌那么被除数就是除数的倍数，‌而除数则是被除数的因数。‌在这个特定的例子中，‌48除以6的结果是一个没有余数的除法运算，‌因此可以确定6是48的因数，‌同时48是6的倍数。‌ 【详解】在48÷6＝8中，6是48的因数，‌同时48是6的倍数。‌ 【对应练习2】 如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），那么m是n的( )数，n是m的( )数。 【答案】 倍 因 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。 【详解】如果m＝4n（m、n都是非0的自然数），即m÷n＝4，那么m是n的倍数，n是m的因数。 【对应练习3】 如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的( )，b是a的( )。 【答案】 倍数 因数 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么b和c就是a的因数，a就是b和c的倍数。 【详解】根据因数和倍数的含义，如果a÷3＝b（a、b均为非0的自然数），那么a是b的倍数，b是a的因数。 【考点二】找一个数的因数。 【方法点拨】 1. 找一个数的因数的方法。 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 2. 表示一个数的因数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 写出下面各数的因数。 【答案】见详解 【分析】根据找一个数的因数的方法，列举出42、36的所有因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】 【对应练习1】 ( )的因数只有1个，3的因数有( )个，6的因数有( )个。 【答案】 1 2 4 【分析】通过列乘法算式：将这个数写成两个自然数相乘的形式，算式中每个自然数都是该数的因数。先列举出1、3、6的因数，再数出因数的个数即可。 【详解】1的因数：1；只有1个； 3的因数：1，3；有2个； 6的因数：1，2，3，6；有4个。 1的因数只有1个，3的因数有2个，6的因数有4个。 【对应练习2】 20的因数有( )，30的因数有( )，既是20的因数，又是30的因数的数有( )。 【答案】 1、2、4、5、10、20 1、2、3、5、6、10、15、30 1、2、5、10 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此先分别求出20和30的因数，再找到既是20的因数，又是30的因数的数即可。 【详解】20＝1×20＝2×10＝4×5；20的因数有：1，2，4，5，10，20； 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 既是20的因数，又是30的因数有：1，2，5，10。 20的因数有1，2，4，5，10，20，30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，既是20的因数，又是30的因数的数有1，2，5，10。 【对应练习3】 把下面符合条件的数填入相应的方框里。 1  2  3  4  5  6  8  10  12  15  20  30  60 我发现：( )既是12的因数，又是60的因数。 【答案】见详解；1，2，3，4，6，12 【分析】先从所给的数中挑选出12的因数和60的因数，填入相应的方框里；然后从中找出既是12的因数，又是60的因数的数即可。 【详解】 我发现：1，2，3，4，6，12既是12的因数，又是60的因数。 【考点三】因数的特征。 【方法点拨】 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【典型例题】 已知一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，那么a是( )。 A．7 B．14 C．21 D．42 【答案】C 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。据此解题。 【详解】一个自然数a，它的所有因数有1，3，7，21，说明这个数的最大因数是21，那么a是21。 故答案为：C 【对应练习1】 一个数的因数只有两个，这个数可能是( )。 A．4 B．1 C．7 【答案】C 【分析】假如a×b＝c（a、b、c都是整数），那么我们称a和b就是c的因数，据此解答。 【详解】A．4的因数有：1、2、4，有3个因数，不符合题意； B．1的因数只有一个，即1本身，不符合题意； C．7只有l和它本身两个因数，符合题意； 故答案为：C 【对应练习2】 28的最小因数是( )。 A．1 B．2 C．4 【答案】A 【分析】 根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】28的最小因数是1。 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，掌握最小因数的求法是解答本题的关键。 【对应练习3】 已知a是37的因数，那么( )。 A．a只能是1 B．a只能是37 C．a是1或37 【答案】C 【分析】已知a是37的因数，先列举出37的所有因数，再确定a的值。 【详解】37的因数：1，37； 已知a是37的因数，那么a是1或37。 故答案为：C 【考点四】因数与生活实际应用其一：基础型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 端午节妈妈买了35个鸭蛋放入冰箱，不是一次性全部放的，也不是一个一个放的，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩。 （1）一共有几种放法？ （2）每种放法每次放几个，需放几次才能全部放完？ 【答案】（1）2种 （2）每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的数量是鸭蛋总个数的因数，据此求出鸭蛋总个数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一个一个往里放，排除1和本身两个因数；用鸭蛋总个数除以每次放的个数，求出放的次数，据此解答即可。 【详解】（1）35 1和35排除，所以可以5个一放，或者7个一放，共2种方法。 答：一共有2种放法。 （2）5个一放时放：（次） 7个一放时放：（次） 答：每次放5个放7次全部放完；每次放7个放5次全部放完。 【对应练习1】 有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【分析】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【详解】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【对应练习2】 妈妈买了30根小布丁，往电冰箱放时，不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，而是每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，一共有几种放法？每次分别放几个？ 【答案】6种；2个、3个、5个、6个、10个、15个 【分析】每次放的个数相同，放到最后正好一个不剩，说明每次放的根数是总根数的因数，据此求出总根数的所有因数，因为不是一次全部放进的，也不是一根一根往里放，排除1和本身两个因数即可。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 排除1和30，还有2、3、5、6、10、15。 答：一共有6种放法，每次分别放2个、3个、5个、6个、10个、15个。 【对应练习3】 育才小学五年级（1）班有36名同学排队表演学校集体舞，要使每行人数相等（每行不能是1人和36人），一共有多少种不同的排法？（可用表格或其它方法解决） 【答案】7种 【分析】找一个数的因数，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，这时，两个乘数都是积的因数。求出36有多少个因数，进而找出符合条件的排法即可。 【详解】36＝1×36，排成1行或者36行，都不符合题意； 36＝2×18，排成2行或者18行； 36＝3×12，排成3行或者排成12行； 36＝4×9，排成4行或者排成9行； 36＝6×6，排成6行。 答：一共有7种不同的排法。 【考点五】因数与生活实际应用其二：进阶型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。李师傅制作了48块月饼，如果装在盒子里，每个盒子装的同样多，数量多于3块但又比9块少，有几种装法？每种装法各需要多少个盒子？ 【答案】3种；见详解 【分析】根据题意，要把48块月饼装在盒子里，每个盒子装的同样多，那么每个盒子装月饼的数量一定是48的因数； 先列举出48的所有因数，再找出大于3且小于9的因数，即是每盒装月饼的数量，再用月饼的总数除以每盒装月饼的数量，求出需要盒子的数量。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 其中，在3～9之间的因数有：4，6，8； 即有3种装法：每盒装4块、6块、8块。 48÷4＝12（个） 48÷6＝8（个） 48÷8＝6（个） 答：有3种装法：每盒装4块需要12个盒子，每盒装6块需要8个盒子，每盒装8块需要6个盒子。 【对应练习1】 学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 【对应练习2】 五（1）班有54名同学，体育课上，老师把同学们分成人数相等的若干个小组，组数大于3而小于10，可以分成几组？ 【答案】6组或者9组 【分析】由题意可知，分成的小组的个数是54的因数，先求出54的因数，再结合组数大于3而小于10，据此找出可以分成几组。 【详解】54的因数有：1、2、3、6、9、18、27、54，因为组数大于3而小于10，所以可以分成6组或者9组。 答：可以分成6组或者9组。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确一个数的因数的方法是解题的关键。 【对应练习3】 某医院抽调48位医护人员支援部分检测点进行核酸检测，如果将这48人平均分成若干小组，每组人数不得少于4人，不得多于10人，有几种分法？ 【答案】3种 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 48的因数中不少于4，不多于10的数有：4、6、8 答：有三种分法。 【点睛】本题考查求一个数的因数，明确求一个数因数的方法是解题的关键。 【考点六】因数与生活实际应用其三：拓展型。 【方法点拨】 解决因数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的因数的方法和因数的特征。 【典型例题】 五一班的同学到博物馆参观，男生有15人，女生有20人，如果每组中男生人数相同，女生人数也相同，最多可以分为多少组？每组男生多少人？ 【答案】5组；3人 【分析】由题意可知：分组后每个小组的男生和女生人数分别相等，要求最多能分成几个小组，只要求出15和20的最大公因数即可解决问题。 【详解】15＝5×3 20＝5×2×2 所以15和20的最大公因数是5，每组男生3人。 答：最多可以分成5组，每组男生3人。 【点睛】灵活运用最大公因数的求解方法来解决实际问题。 【对应练习1】 休业式上，王老师拿出40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，请问这个班里最多有几个五星级学生？ 【答案】8个 【分析】40本练习本和56枝铅笔，平均奖给班里的五星级学生，也就是求40和56的最大公因数。 【详解】40＝2×2×2×5 56＝2×2×2×7 40和56的最大公因数是2×2×2＝8 答：这个班里最多有8个五星级学生。 【点睛】考查最大公因数的应用。 【对应练习2】 三根铁丝分别长15米、18米和24米，现将它们剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段长多少米？一共能剪多少段？ 【答案】3米；19段 【分析】将三根铁丝剪成每段相等的长度，每段尽量长一些，又不能有剩余，每段铁丝的长度就是求15、18和24的最大公因数；三根铁丝总长÷一共能剪的段数＝每段的长度。 【详解】15的因数有1，3，5，15； 18的因数有1，2，3，6，9，18； 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24； 15、18、24的最大公因数是3； （段） 答：每段长3米，一共能剪19段。 【点睛】本题考查最大公因数知识点，运用最大公因数知识解决实际问题。 【对应练习3】 五（2）班买了57本书和44支铅笔，奖励各方面表现突出的同学，每个同学得到的奖品同样多，最后余下1本书和2支铅笔。问：最多有多少个同学得到奖品？ 【答案】14个 【分析】用本数减去余下的本数，用铅笔的支数减去余下的支数。求出两个得数的最大公因数，即为最多有多少个同学得到奖品。 【详解】57－1＝56（本） 44－2＝42（支） 56＝2×2×2×7 42＝2×3×7 56和42的最大公因数是：2×7＝14 答：最多有14个同学得到奖品。 【点睛】本题考查公因数的计算及应用。理解题意，找出最大公因数是解决本题的关键。 【考点七】找一个数的倍数。 【方法点拨】 1. 找一个数的倍数的方法。 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 2. 表示一个数的倍数的方法。 ①列举法。 ②集合表示法。 【典型例题】 50以内4的倍数有( )。 【答案】4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48 【分析】 根据找一个数的倍数的方法，进行列举即可。 【详解】 50以内4的倍数有：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48。 【对应练习1】 写出50以内，所有17的倍数：( )。 【答案】17、34 【分析】求一个数的倍数的求法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。据此解答。 【详解】由分析得：17×1＝17 17×2＝34 17×3＝51 51＞50，所以在50以内，17的倍数有17、34。 【点睛】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的，故在求一个数的倍数时，通常要对数的范围加以限制。 【对应练习2】 写出下面各数的倍数（各写5个）。 1：( )； 50：( )； 75：( )。 【答案】 1、2、3、4、5 50、100、150、200、250 75、150、225、300、375 【分析】求一个数倍数的方法： 这个数分别乘以自然数：1，2，3，4，5，…，就得到这个数的1倍，2倍，3倍，4倍，5倍。据此解答。 【详解】1的倍数：（1、2、3、4、5）； 50的倍数：（50、100、150、200、250）； 75的倍数：（75、150、225、300、375）。 【对应练习3】 写出下面各数的倍数。（各写5个） 7的倍数               13的倍数        【答案】见详解 【分析】根据找一个数的倍数的方法，写出7和13的倍数，各写5个即可。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】 （答案不唯一） 【考点八】倍数的特征。 【方法点拨】 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 【典型例题】 一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。 【对应练习1】 一个数的最大因数是56，这个数是( )；一个数的最小倍数是18，这个数是( )。 【答案】 56 18 【分析】一个数的最大公因数是它本身，一个数的最小公倍数是它本身，据此解答即可。 【详解】一个数的最大因数是56，那么这个数就是56；一个数的最小倍数是18，那么这个数是18。 【点睛】本题考查因数和倍数，解答本题的关键是掌握一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 【对应练习2】 一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是( )。 【答案】32 【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是32，这个数是32。 【点睛】本题主要考查了因数和倍数的认识，明确最大因数和最小倍数的求法是解答本题的关键。 【对应练习3】 实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【详解】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【点睛】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 【考点九】倍数与生活实际应用其一：一般型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 【典型例题】 五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 【对应练习1】 一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 【点睛】找一个数的倍数用“列乘法算式”的方法较为简单。在给出的一些自然数找一个数的倍数，或判断一个数是不是另一个数倍数时，用除法计算较为简单。 【对应练习2】 4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 【对应练习3】 金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【详解】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 【考点十】倍数与生活实际应用其二：拓展型。 【方法点拨】 解决倍数的生活实际应用问题，需要熟练掌握找一个数的倍数的方法和倍数的特征。 【典型例题】 商店要把70多个苹果装进一个大箱子里。如果每层装12个，就正好装满；如果每层装18个，也正好装满。你知道有多少个苹果吗？ 【答案】72个 【分析】从题意可知：这些苹果的个数是12和18的公倍数，是12和18的公倍数中大于70小于80的数。因此先用分解质因数的方法，求出12和18的最小公倍数，再找出在70～80的12和18的公倍数即可。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最小公倍数是2×2×3×3＝36 36×2＝72（个） 答：一共有72个苹果。 【对应练习1】 五（1）班学生进行队列表演，每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余。已知这个班的学生不到50名，这个班有多少名学生？ 【答案】48名 【分析】每行12人或每行16人都能排成整行，没有剩余，说明总人数是12和16的公倍数，求出12和16的最小公倍数，再通过最小公倍数确定40至50之间的公倍数即可，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 2×2×2×2×3＝48（名） 48＜50 答：这个班有48名学生。 【对应练习2】 五年级（1）班有40多名同学。如果把他们4人分成一个小组，正好分完；如果把他们6个人分成一个小组，也正好分完。五年级（1）班有多少人？ 【答案】48人 【分析】4人分成一个小组，正好分完；6个人分成一个小组，也正好分完，说明总人数是4和6的公倍数，先求出4和6的最小公倍数，用最小公倍数分别乘2、3、4……找到40至50之间的公倍数即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（人） 12×2＝24（人） 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） 40＜48＜50 答：五年级（1）班有48人。 【对应练习3】 一座喷泉由内层和外层构成。外层每12分钟喷一次，内层每9分钟喷一次。12：50内层和外层同时喷过一次，下次同时喷水是什么时间？ 【答案】13：26 【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。求出外层和内层间隔时间的最小公倍数是外层和内层同时喷的间隔时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时喷水时间。 【详解】12＝2×2×3 9＝3×3 2×2×3×3＝36（分钟） 12：50＋36分钟＝13：26 答：下次同时喷水是13：26。 【考点十一】因数与倍数综合应用。 【方法点拨】 解决因数与倍数综合应用问题，需要熟练掌握因数与倍数特征。 【典型例题】 阿呆在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，价格在15元到25元之间，这个文具盒的价格是多少元？ 【答案】24元 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可。 【详解】48＝1×18＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48。 在15到25之间的是24。 答：这个文具盒的价格是24元。 【点睛】关键是理解因数和倍数的意义，掌握因数和倍数的求法。 【对应练习1】 今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或63元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 【对应练习2】 猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？ 【答案】0592－5056831 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。 【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。 所以这个电话号码是0592－5056831。 【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【对应练习3】 小强今年的年龄是2和7的倍数中最小的一个，爸爸今年的年龄既是小强年龄的倍数，也是42的因数。爸爸和小强今年各多少岁？ 【答案】爸爸：42岁；小强：14岁 【分析】公因数只有1的两个非零自然数为互质数，所以2和7为互质数，即最小公倍数为互质数的乘积，所以小强年龄的最小公倍数就是2和7相乘即14。14的倍数有14，28，42，56，由于爸爸今年的年龄是小强的倍数，也是42的因数，所以爸爸和小强的年龄同时是2，7的倍数也是42的因数，小强的年龄不能比爸爸大，所以42是爸爸的年龄，14是小强的年龄。 【详解】因为2和7的公因数为1，所以2和7互质，所以2和7的最小公倍数是14，14的倍数有14，28，42，42也是42因数，所以爸爸今年42岁，小强今年14岁。 答：爸爸今年42岁，小强今年14岁。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$