精品解析：河南省驻马店市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

驻马店市20242025学年度第一学期期末质量监测 高一数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. 与相互独立 6. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 7. 记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，，则不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（ ） A. 极差是5 B. 众数是12 C. 均值是12 D. 50%分位数是12.5 10. 已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 单调递减 D. 的解集为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中一、二、三年级的学生人数分别为1000、2000、3000，为调查该校学生的身高情况，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取30人，抽出的一、二、三年级学生的平均身高分别为、、，则估计该校学生的平均身高是_____. 13. 如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是_____. 14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_____． 四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算求值． （1）计算； （2）已知，求的值． 16. 已知函数，且的解集为． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值． 17. 袋中有3个白球（标记为，，）、2个黑球（标记为，），这5个球除颜色外完全相同，每次从中摸出一个球． （1）若不放回地摸出2个球，写出该试验的样本空间； （2）在（1）条件下，求两个球的颜色不相同的概率； （3）若有放回地摸出2个球，求至少有一个白球的概率. 18. 设函数（，且）． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，求实数的范围． 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市20242025学年度第一学期期末质量监测 高一数学试题 本试卷共19道题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效. 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：A 2. 命题：，的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意将全称量词命题否定为存在量词命题即可. 【详解】，的否定为. 故选：D 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依次判断各个区间端点处函数值的符号，根据零点存在定理可得到结果. 【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递增， 故函数至多有一个零点. ，，， ，∴函数的零点所在区间为. 故选：C. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 5. 投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于3”，：“朝上的点数为2或6”，则下列选项正确的是（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB，根据互斥事件和对立事件的定义结合题意分析判断，对于C，根据分析判断，对于D，根据独立事件的定义分析判断. 【详解】对于AB，由题意可知当朝上的点数为6时，事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B既不互斥，也不对立，所以AB错误； 对于C，由题意可知， 所以，所以C错误； 对于D，因为， 所以，所以与相互独立，所以D正确. 故选：D 6. 某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解. 【详解】依题意，，则， 再经过8年，即时，， 所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的. 故选：C 7. 记，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法依次判断的大小关系. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 综上可知：. 故选：A. 8. 函数在数学上称为高斯函数，也叫取整函数，其中表示不大于的最大整数，如，，，，则不等式成立的充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式可得，从而可得，再利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 解得，所以， 是充要条件，A错； 是充分不必要条件，B对； 是既不充分又不必要条件，C错； 是必要不充分条件，D错； 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验，其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目，已知该卫星连续7天内观测到的低轨行星数目分别为：9，13，12，12，14，10，14，则这组样本数据的（ ） A. 极差是5 B. 众数是12 C. 均值是12 D. 50%分位数是12.5 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据极差的定义分析判断，对于B，根据众数的定义分析判断，对于C，根据平均数的定义计算判断，对于D，根据百分位数的定义计算判断. 【详解】对于A，这7个数的极差为，所以A正确， 对于B，这7个数的众数为12和14，所以B错误， 对于C，这7个数的均值为，所以C正确， 对于D，这7个数从小到大排列依次为9，10，12，12，13，14，14， 因为，所以这组数的50%分位数是12，所以D错误. 故选：AC 10. 已知曲线（且）过定点，且的坐标满足方程，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先由指数函数特征求出，故，由基本不等式求出积的最大值；B选项，，解得，变形得到，求出最小值；C选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值； 【详解】A选项，令，即，此时，故， 由题意得， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，故，解得， 则， 故当时，取得最小值，最小值为，B错误； C选项，， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，C正确； D选项，因为，， 所以， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 11. 设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 单调递减 D. 的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令 可判断；令 可判断；由结合单调性的定义判断C；利用函数的单调性与奇偶性转化原不等式即可判断D. 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某高中一、二、三年级的学生人数分别为1000、2000、3000，为调查该校学生的身高情况，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取30人，抽出的一、二、三年级学生的平均身高分别为、、，则估计该校学生的平均身高是_____. 【答案】169 【解析】 【分析】先根据分层抽样的定义分别求出抽出的一、二、三年级学生的人数，然后根据平均数的定义求出所抽取的30人的身高，再利用样本平均数估计总体平均数. 【详解】由题意得所抽取的高中一、二、三年级的学生人数分别为 ， ， ， 因为抽出的一、二、三年级学生的平均身高分别为、、， 所以这30人的平均身高为， 所以该校学生的平均身高约为169cm. 故答案为：169 13. 如图，电流通过元件的概率均为0.8，且各元件能否正常工作相互独立，则电流能在E，F之间通过的概率是_____. 【答案】0.7424 【解析】 【分析】先求出电流不能通过，且也不能通过的概率，再利用对立事件的概率公式求出电流能通过的概率，然后利用独立事件的概率公式可求得结果. 【详解】根据题意可知电流能通过的概率为，电流能通过的概率为， 所以电流不能通过，且也不能通过的概率为， 所以电流能通过的概率为， 因为电流能通过的概率为， 所以电流能在E，F之间通过的概率为. 故答案为： 14. 若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在定义域上递减，且值域为，可得，根据二次函数的性质可得答案. 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题，本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算求值． （1）计算； （2）已知，求的值． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）分数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可； （2）利用对数运算性质化简变形可求得答案. 【小问1详解】 由于，，， ， 因此原式． 【小问2详解】 由条件，． 由，得， 所以，化简得， 所以 得或（舍去） 从而可得. 16. 已知函数，且的解集为． （1）求的解析式； （2）若在区间上单调，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出的值，从而可求得的解析式； （2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围； （3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 根据条件的解集为，则1，3为方程的两根， 所以，得， 所以； 【小问2详解】 由于的对称轴为， 因此若在区间上单调，则或， 解得，或， 即； 【小问3详解】 因为在区间上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在区间上递增， 此时； 当，即时，； 当，即时，在区间上递减， 此时； 综上所述：即为所求． 17. 袋中有3个白球（标记为，，）、2个黑球（标记为，），这5个球除颜色外完全相同，每次从中摸出一个球． （1）若不放回地摸出2个球，写出该试验的样本空间； （2）在（1）条件下，求两个球的颜色不相同的概率； （3）若有放回地摸出2个球，求至少有一个白球的概率. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用列举法可列举出该试验的样本空间； （2）利用列举法结合古典概型的概率求解公式求解即可； （3）根据独立事件和互斥事件的概率公式结合题意求解即可. 【小问1详解】 该试验的所有可能结果为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 因此，该试验的样本空间为： ； 【小问2详解】 由（1）可知，该试验的所有可能结果（样本点）共有个，且每个结果出现的可能性相同，记“摸出的两个球的颜色不相同”为事件， 则 事件包含的样本点的个数为 则根据古典概型的概率求解公式得． 【小问3详解】 若有放回地每次从中摸出一个球，则每次摸球彼此相互独立， 摸到白球（记为）的概率为， 摸到黑球（记为）的概率为， 记“摸出2个球中至少有一个白球”为事件， 则 ． 18. 设函数（，且）． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，求实数的范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意求出，然后由偶函数的定义列方程化简计算即可； （2）先对变形，然后由，可得，再分和两种情况求解即可； （3）令，化简可判断为偶函数，然后将问题转化为在上有且仅有一个零点，令，再次将问题转化为函数（且）在区间只有一个零点，然后分两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为， 所以 因为为偶函数，所以，成立， 所以， ，所以， 因为对上式成立， 所以，得． 【小问2详解】 因 由条件，则， 因此等价于， 当时，由，得，则原不等式的解集为； 当时，由，得，则原不等式的解集为； 【小问3详解】 不妨记 ， 因为， 所以函数为偶函数． 则的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，即在上有且仅有一个零点，且， 即，得且 记，则此函数为偶函数，当 因此原命题等价于函数（且）在区间只有一个零点． 分情况讨论： 当，即， 此时有唯一实根， 当时，，由，得不合题意， 当时，，此时的唯一实根满足题意； 当时，即， 若在只有一个零点，只需，解得， 综上所述，若的图像上仅存在两个不同的点关于原点对称，实数的范围是即为所求． 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查指数函数和对数函数性质的应用，第（3）问解题的关键是根据题意经过两次转化，将问题转化为函数（且）在区间只有一个零点，考查了数学转化思想和计算能力，属于较难题. 19. 已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”． （1）若集合，，判断，是否是“封闭集”?并说明理由； （2）若集合是“封闭集”，且，求集合； （3）设集合是“封闭集”，证明：． 【答案】（1）集合是“封闭集”， 集合不是“封闭集”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“封闭集”的定义分析判断； （2）根据“封闭集”的定义结合可求出，从而可求出集合； （3）根据是“封闭集”，结合“封闭集”的定义及集合中元素的互异性，求出，，，，，，相加可得递推式，进而可证得结论. 【小问1详解】 集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”． 集合中， 因为，，，，，， 所以集合是“封闭集”； 【小问2详解】 因为，且是“封闭集”，由于， 所以，则，所以， 又因为，所以， 则，，， 由集合的元素互异性可知，，而，所以， 故集合； 【小问3详解】 因为是“封闭集”， 所以，则，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，则， 由集合元素的互异性可知 所以，，，，， 所以， 即 命题得证． 【点睛】关键点点睛：此题考查集合中元素特征的应用，考查集合的新定义，解题的关键是对新定义的正确理解，利用新定义解决问题，考查计算能力和推理能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $