精品解析：江苏省南通市海安紫石中学2024-2025学年上学期八年级数学期中考试试卷

紫石中学2024-2025学年第一学期期中学研（2024） 八年级 数学 （考试时间：120分钟 满分150分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于6，点Q是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C. 取AB中点C，连接PC D. 过点P作PC⊥AB，垂足为C 6. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 7. 如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 8. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 9. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 12. 已知，，则_________． 13. 若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________． 14. 如图，点在线段上，，，则的度数是_______ 15. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ________． 16. 已知当时，多项式的值为9，则当时，则该多项式的值为_____． 17. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 18. 大于1的正整数k的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，，…，按照这样的规律，若k3分裂后，其中有一个奇数是2859，则k的值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； 因式分解： （1）； （2）； 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画，使与关于y轴对称； （2）求的面积； （3）在y轴上作一点P，使得最短； 22. 如图，已知AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB． 求证：OC=OD． 23. 甲、乙二人共同计算时．甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“＋”抄成“－”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把“”抄成“x”得到的结果为．请计算出正确结果． 24. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年1月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7. 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）将每个方框的左上角数字设为.请用含的式子表示你发现的规律：______； （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明. 25. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，作EG⊥AC于点G． （1）求证：BF＝CG； （2）若AB＝6，AC＝8，求AF的长． 26. （1）发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点．则与的数量关系：___________，　　°； （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点在一条直线上，过点作，垂足为点．连接的面积为1，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 紫石中学2024-2025学年第一学期期中学研（2024） 八年级 数学 （考试时间：120分钟 满分150分） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方和合并同类项进行计算排除即可，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 、，此选项计算正确，符合题意； 、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 4. 点P在的平分线上，点P到边的距离等于6，点Q是边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是关键，过点P作，得出，最根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：如图：平分，， 过点P作， ∴， ∵点Q是边上的任意一点， ∴． 故选：B． 5. 已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（　　） A. 作∠APB的平分线PC交AB于点C B. 过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C. 取AB中点C，连接PC D. 过点P作PC⊥AB，垂足为C 【答案】B 【解析】 【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论． 【详解】A.利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； B.过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； C.利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； D.利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键． 6. 如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是（　　）    A. 63° B. 65° C. 75° D. 84° 【答案】D 【解析】 【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数． 【详解】∵OC=CD=DE， ∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC， ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC， ∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°， ∴∠ODC=24°， ∵∠CDE+∠ODC=180°﹣∠BDE=108°， ∴∠CDE=108°﹣∠ODC=84°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 7. 如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 8. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】先将式子（x2+2x+4）（x+k）展开，根据关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项，可以求得k的值． 【详解】解：（x2+2x+4）（x+k） ＝x3＋kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3＋（k+2）x2+（2k+4）x+4k， ∵关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项， ∴2k+4＝0， 解得，k＝−2， 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9. 已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项系数皆为正整数，若甲与乙相乘得，乙与丙相乘得，则甲、丙之积与乙的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平方差公式因式分解可知，根据十字相乘法因式分解可知，对以上两个式子进行分析即可得到甲、乙、丙，进而进行计算即可． 【详解】A ∵， ∵， 又∵甲与乙相乘得：，乙与丙相乘得：， ∴甲为，乙为，丙为， ∴甲、丙之积与乙的差是： ， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查整式的运算、因式分解，解答本题的关键是熟练掌握运用整式运算和因式分解的方法． 10. 如图，为的平分线，为上一点，且于点，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积是面积的2倍，其中结论正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点P作，垂足为点K，证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为点K，     ∵为的平分线， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确，符合题意； 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的共有4个， 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据积的乘方及幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．提取公因式分解因式，把，，整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 13. 若关于x的多项式是完全平方式，则m的值为_____________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据完全平方公式：，观察其构造得到，即可得出的值； 【详解】解：∵关于x的多项式是完全平方式， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，m的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查的是完全平方式，观察公式的构成是解题的关键． 14. 如图，点在线段上，，，则的度数是_______ 【答案】##76度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握两个全等的三角形其对应角，对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，，则可证，即可解答． 【详解】解： ，， ，， ， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在等腰三角形中，，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线与交于点，连接，则的度数是 ________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；由作图可知，直线为线段的垂直平分线，则，进而可得，由等腰三角形的性质可得，根据可得答案． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， ， 为等腰三角形， ， ． 故答案为：． 16. 已知当时，多项式的值为9，则当时，则该多项式的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求代数式的值，准确代入并正确运算是解题的关键．将代入代数式计算，得到关于a的代数式的值，再利用整体代入的方法解答即可． 【详解】解：∵当时，多项式的值为9， ∴， ∴． ∴当时， ． 故答案为：． 17. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据∠BAC的角平分线AD交BC于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 18. 大于1的正整数k的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，，…，按照这样的规律，若k3分裂后，其中有一个奇数是2859，则k的值是__________． 【答案】54 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现可分解成个连续奇数的和，且第一个奇数为是解题的关键．根据所给的等式，找出被分成的连续奇数的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， ， ， ， ， 且，，，， 所以分裂后的第一个数是：，且共有个连续的奇数． 又因为，， 且， 所以2859是分裂成连续奇数和中的一个． 故的值为54． 故答案为：54． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； 因式分解： （1）； （2）； 【答案】计算：（1）；（2）；因式分解∶（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，整式的混合运算． 计算：（1）利用单项式乘多项式的运算法则进行计算； （2）先计算多项式乘多项式及单项式除以单项式，再合并同类项即可； 因式分解：（1）运用提公因式法分解即可； （2）直接运用完全平方公式分解即可． 【详解】计算： 解：（1）原式 ； （2） ； 因式分解∶ 解：（1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式混合运算中的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．根据整式的混合运算法则化简，再代入值计算即可． 【详解】解：， ， ， , 当时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画，使与关于y轴对称； （2）求的面积； （3）在y轴上作一点P，使得最短； 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题，作轴对称图形，利用网格求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）找出A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接即可得到； （2）利用割补法求解； （3）由轴对称的性质可得，则，所以连接交y轴于P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示；即为所求； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：连接交y轴于P，点P即为所求． 22. 如图，已知AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB． 求证：OC=OD． 【答案】证明：∵ABCD ∴∠A＝∠C， ∠D＝∠B ∵OA=OB ∴∠A＝∠B ∴∠C＝∠D ∴OC＝OD 【解析】 【分析】首先根据等边对等角可得∠A=∠B，再由DCAB，可得∠D=∠A，∠C=∠B，进而得到∠C=∠D，根据等角对等边可得CO=DO． 【详解】略 23. 甲、乙二人共同计算时．甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，即把“＋”抄成“－”，得到的结果为；乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把“”抄成“x”得到的结果为．请计算出正确结果． 【答案】 【解析】 【分析】根据甲、乙两人看错的多项式分别计算，然后跟甲、乙两人的结果对比，列出关于a，b的方程，即可解答． 【详解】解：甲由于抄错了第一个多项式中的运算符号，把“＋”抄成“－”，得到的结果为， ，    ①， 乙由于抄漏了第二个多项式中x的系数，即把“”抄成“x”得到的结果为， ，    ②， 由①和②组成方程组， 解得： ， ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式及解二元一次方程组，熟记法则：用多项式的每一项乘另一个多项式的每一项是解决此类问题的关键． 24. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年1月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7. 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）将每个方框的左上角数字设为.请用含的式子表示你发现的规律：______； （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明. 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【小问1详解】 解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为； 故答案为：； 【小问2详解】 证明： ． 25. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与∠BAC的平分线交于点E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，作EG⊥AC于点G． （1）求证：BF＝CG； （2）若AB＝6，AC＝8，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）7 【解析】 【分析】（1）证明：连接BE、CE，根据线段垂直平分线的性质及角平分线的性质证明△BFE≌△CGE，即可得到结论； （2）证明△AEF≌△AEG，推出AF=AG，得到2BF=AC-AB，求出BF，由此得到答案． 【详解】（1）证明：连接BE、CE， ∵DE垂直平分BC， ∴BE=CE， ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC． ∴EF=CE，∠EFB=∠CGE=90°， ∴△BFE≌△CGE， ∴BF＝CG； （2）∵AE平分∠BAC， ∴∠FAE=∠CAE， ∵∠EFB=∠CGE，AE=AE， ∴△AEF≌△AEG， ∴AF=AG， ∴AB+BF=AC-CG， ∴2BF=AC-AB=8-6=2， ∴BF=1， ∴AF=AB+BF=6+1=7． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定及性质是解题的关键． 26. （1）发现问题：如图1，在和中，，，连接，延长交于点．则与的数量关系：___________，　　°； （2）类比探究：如图2，在和中，，连接，延长交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； （3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点在一条直线上，过点作，垂足为点．连接的面积为1，，求的面积． 【答案】（1）；（2），详见解析；（3）3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用证明即可得出结论； （3）结合等腰直角三角形的性质利用证明，根据全等三角形的性质求出，进而求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形面积公式求出，再根据四边形的面积，的面积=四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：， 理由如下：如图1所示，设与交于点， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）； 理由如下：， ， 即， 又， ， ， ， ， ； （3）解：与是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $