6.2.4 向量的数量积 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

第六章 平面向量 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积（第一课时） 新知引入 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移， 功是一个数量，它由力和位移两个向量确定. 如果把“功”看成是两个向量“相乘”的结果，受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 那么力所做的功 ，其中是与的夹角. 新知讲解—向量的夹角 已知两个非零向量是平面上的任意一点，作叫做向量与的夹角，亦可记作. 显然，（1）当时，与同向； （2）当时，反向； （3）如果，我们说垂直，记作. 注意：向量夹角的范围是 典例分析 例1.已知，且与的夹角为，则与的夹角是多少？与的夹角又是多少？ 学以致用 训练1. 在△中，是线段的中点，且则与 的夹角为______________. 新知讲解—向量的数量积 已知两个非零向量它们的夹角是我们把数量叫做向量的数量积（或内积），记作，即 规定：零向量与任一向量的数量积为. 向量的数量积是一个数，有正有负，它的正负取决于的正负. 思考 我们知道实数运算中，若，则或，那如果呢？ 或 典例分析 例2.（1）已知正三角形的边长为，求： ①； ②；③. （2）设是两个非零向量，则“”是“的夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 学以致用 训练2. 设 （1）求的取值范围； （2）当时，求的值； （3）若，求. 学以致用 训练3. 设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 新知讲解—投影向量 你如何借助做功理解公式？这对于我们认识向量的数量积有什么启发？ 垂直位移方向的力不做功，可以将功的大小转化为位移和沿着位移方向的分力所做的功. 这个过程我们在向量中称为投影，得到的沿着位移方向的分力我们叫做投影向量. 新知讲解—投影向量 已知是两个非零向量，若如图（1），，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为,我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 如图（2），若向量，共起点，则过终点作直线的垂线，垂足为就是向量在向量上的投影向量. 新知讲解—投影向量 我们研究图（2）情况下投影向量的表达式. 探究 为了表示方便，我们引入与方向相同的单位向量，与的夹角为，如何用，和表示投影向量呢？ 新知讲解—投影向量 当为锐角时，与方向相同， 当为直角时，，满足式子 当为钝角时，与方向相反， 如此 即两个不共线的向量的数量积问题可以转化为两个共线向量的数量积问题. 新知讲解—投影向量 当时， 所以 当时， 所以 对于任意的都有 其中 典例分析 例3.已知， （1）若的夹角，求①；②上的投影向量； （2）若在上的投影向量的模长是2，求. 典例分析 训练4.（课本拓广探索第题)已知△的外接圆的圆心为，且，，则向量在向量是上的投影向量为（ ） 新知讲解—向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 （1） （2） （3）当同向时，； 当反向时，； 特别地，或. （4） 模长公式 新知讲解—向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 （1） （2） （3） 得 如此 即两个不共线的向量的数量积问题可以转化为两个共线向量的数量积问题. 新知讲解—向量数量积的运算律 思考 1.设是向量，一定成立吗？为什么？ 2.数的运算中有完全平方公式，平方差公式等，向量运算中，以上公式是否仍然成立？即对任意向量，是否有： （1）（2） 典例分析 例4.(1)(多选)如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. (2)设，是两个不共线的向量，是在上的投影向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 典例分析 训练5.（课本拓广探索第题）在圆中，是不是只需知道圆的半径或弦的长度，就可以求出的值？ 典例分析 例5.(2)已知单位向量的夹角为，向量，则 （1）_____________； （2） （3）若_____________. 典例分析—模长的计算（遇模平方） 例6.已知向量，满足， （1）( ) A. 6 B. 4 C. D. （2）与夹角的余弦值为________________. 典例分析—夹角的求解 例7.(1)（多选）若向量，满足||＝1，且(＋)⊥，(＋2)⊥，则下列命题正确的是（ ） A. B.的夹角为 C. D.方向上的投影向量为 （2）已知是夹角为的两个单位向量，， 若 ，则实数的值为______________. 典例分析—夹角的求解 训练6.已知非零向量，满足4||＝3||，与夹角的余弦值为，若则实数的值为（ ） A. B. C. D. 课堂小结 1.向量的数量积与性质 2.投影向量 ，其中 即两个不共线的向量的数量积问题可以转化为两个共线向量的数量积问题. 3.数量积的运算律及应用 能力拓展 1.如图，在△中，已知，，为中点，则（ ） A. B. C. 7 D. 2.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3.已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 于是＝＋＝＋， $$