解析几何第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系课件-2025届高考数学二轮复习

第3讲　直线与圆锥曲线的位置关系 考点一　中点弦问题 C 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 A 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2024安徽合肥模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A,B两点,线段AB的中点为W,|FW|= ,则p=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 B 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (方法二)设线段AB的中点E(x0,y0)(x0,y0>0), ∵|MA|=|NB|,∴点E也是MN的中点. ∵M在x轴正半轴上,N在y轴正半轴上, ∴M(2x0,0),N(0,2y0). 考点一 考点二 考点三 考点二　弦长、面积问题 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点三　切线问题 D 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2024山东临沂模拟)已知抛物线C:x2=4y,过直线l:x+2y=4上的动点P可作C的两条切线,记切点为A,B,则直线AB(　　) A.斜率为2 B.斜率为±2 C.恒过点(0,-2) D.恒过点(-1,-2) D 考点一 考点二 考点三 故直线AB的方程为y+n=(2-n)x,斜率不为定值,故A,B错误,当x=-1时,y=-2,所以直线AB恒过点(-1,-2),C错误,D正确.故选D. 考点一 考点二 考点三 (2)(2024福建福州模拟)设P为圆O:x2+y2=5上任意一点,过点P作椭圆 的两条切线,切点分别为A,B,点O,P到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1·d2的值为　　　　　.  考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 例1(1)(2024湖南邵阳二模)已知直线l:x-2y-2=0与椭圆C:=1 (a>b>0)相交于A,B两点.若弦AB被直线m:x+2y=0平分,则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为弦AB被直线m:x+2y=0平分,设线段AB的中点坐标为(x0,y0),所以+2×=x0+2y0=0.① 因为点A,B在直线l:x-2y-2=0上,代入可得两式相减可得x1-x2=2(y1-y2),② 又点A,B在椭圆上,代入可得两式相减可得=0,将①②代入整理可得a2=4b2,又椭圆中a2=b2+c2,所以椭圆C的离心率e=.故选C. (2)(2024重庆模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±6x C.y=±x D.y=±x 解析 因为双曲线C:=1(a>0,b>0)与直线y=2x+1相交于A,B两点,且弦AB的中点M的横坐标为1,则纵坐标为3,设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减整理得,又x1+x2=2,y1+y2=6,所以2=,解得=6,即,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选A. 解析 易知F,0. 设W(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则两式相减,可得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),所以(y1+y2)=2p,即(y1+y2)kAB=2p,所以2y0=2p,所以y0=,代入直线AB:y=(x-),得x0=,所以W(),所以|FW|=,解得p=2.故选B. (2)(2022新高考Ⅱ,16)已知直线l与椭圆=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别相交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则直线l的方程为　　　　　　　　.  x+y-2=0 解析 (方法一)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为E(). 由=1,=1相减可得=-,则kOEkAB==-. 设直线l的方程为y=kx+m,k<0,m>0,则M-,0,N(0,m),∴E-, ∴kOE=-k,∴-k·k=-,∴k=-. ∵|MN|=2,∴=2,∴3m2=12,m>0,∴m=2, ∴l的方程为y=-x+2,即x+y-2=0. 中点弦AB:, ∴k==-,∴=2. ∵|MN|=2,∴(2x0)2+(2y0)2=12, ∴=2,=1,∴x0=,y0=1, ∴k=-,∴x+y-2=0. 例2(2024江苏南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆C:=1 (a>b>0)的离心率为,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,过F2作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,且△AF1F2的周长是4+2. (1)求椭圆C的方程; (2)当|AB|=|DE|时,求△ODE的面积. 解 (1)由题意知,解得a=2,b=1,c=,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)如图,由(1)知F1(-,0),F2(,0). 若直线l1的斜率不存在,则直线l2的斜率为0,不满足|AB|=|DE|;若直线l1的斜率为0,则A,F1,F2三点共线,不合题意;所以直线l1的斜率存在且不为0,设直线l1的方程为x=my+,联立消去x得(+1)y2+y- =0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-, ∴|AB|=.(*) 直线l2为x=-y+,将(*)中m替换为-. 同理可得|DE|=. 由|AB|=|DE|,得,解得m2=2,则|DE|=, ∴直线l2的方程为y=±(x-), ∴坐标原点O到直线l2的距离为d=,S△ODE=. 即△ODE的面积为. [对点训练2](2024黑龙江双鸭山模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,其左、右焦点分别为F1,F2,过F2作C的一条渐近线的垂线并交C于M,N两点,若|MN|=,则△MNF1的周长为　　　　　.  解析 如图,由e=,a2+b2=c2,得a=3b,c=b,则双曲线C:=1,所以F2(b,0),渐近线方程为y=±x, 不妨设直线MN:y=-3(x-b),M(x1,y1),N(x2,y2), 联立方程 消去y得80x2-162bx+819b2=0, 易知Δ>0,x1+x2=,x1x2=,可得|MN|=|x1-x2|=b=,解得b=1,可得a=3, 由双曲线的定义可得|MF1|-|MF2|=6,|NF1|-|NF2|=6, 则(|MF1|+|NF1|)-(|MF2|+|NF2|)=(|MF1|+|NF1|)-|MN|=12, 可得|MF1|+|NF1|=,所以△MNF1的周长为|MF1|+|NF1|+|MN|=. 例3(1)(2024江苏南京模拟)已知椭圆C1:=1(a>b>0),抛物线C2:y2=4x,且C1与C2在第一象限的交点为P,且C1和C2在点P处的切线斜率之积为-,则椭圆C1的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析 设切点为P(x0,y0),依题意抛物线在x轴上半部分函数解析式为y=2,则y'=,则抛物线在P处的切线斜率k1=,且y0=2,依题意过点P(x0,y0)的椭圆的切线斜率存在,设切线方程为y=kx+t,与椭圆方程=1联立,消去y可得(b2+a2k2)x2+2a2ktx+a2(t2-b2)=0,(*) 由题可得Δ=4a4k2t2-4a2(b2+a2k2)(t2-b2)=0,化简得t2=a2k2+b2, (*)式只有一个根x0,x0=-=-,x0为切点的横坐标,切点的纵坐标y0=kx0+t=,所以=-,所以k=-,由题意得kk1=·(-)=·(-)=-=-,所以,所以椭圆的离心率e=.故选D. (2)①求双曲线x2-=1在点()处的切线方程; ②已知P(1,1)是双曲线外一点,过点P引双曲线x2-=1的两条切线PA,PB,A,B为切点,求直线AB的方程. 解 ①由双曲线=1(a>0,b>0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为=1,所以双曲线x2-=1在点()处的切线方程为x-y=1,化简可得2x-y-=0. ②设切点A(x1,y1),B(x2,y2),则PA:xx1-=1,PB:xx2-=1,又点P(1,1)在直线上,代入上式可得x1-=1,x2-=1,所以点A(x1,y1),B(x2,y2)均在直线x-=1上,所以直线AB的方程为x-=1,即2x-y-2=0. 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=4y1,=4y2,由于y'=x,故过点A(x1,y1)的切线方程为y-y1=x1(x-x1),即y-y1=x1x-x1x-2y1,即y+y1=x1x,同理可得,过点B的切线方程为y+y2=x2x, 设点P(4-2n,n),过点A(x1,y1),B(x2,y2)的两切线交于点P(4-2n,n), 故n+y1=x1(4-2n),整理得y1+n=(2-n)x1,同理n+y2=x2(4-2n),整理得y2+n=(2-n)x2, =1 解析 如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由题意,得椭圆=1在点A(x1,y1)处的切线方程为=1,在点B(x2,y2)处的切线方程为=1,两条切线均过点P(x0,y0),则=1,=1,所以直线AB的方程为=1,即2x0x+3y0y-6=0. 所以d1=,d2=. 所以d1·d2=. 因为=5,所以=5-. 所以d1·d2=. 因为≤5,所以d1·d2=. $$