解析几何第2讲 圆锥曲线的定义方程与性质课件-2025届高考数学二轮复习

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质 考点一 圆锥曲线的定义与标准方程 例1(1)(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( ) A.7 B.6 C.5 D.4 D 解析 抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,因为点M在C上,由定义知点M到准线x=-2的距离为|MF|,又点M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D. 考点一 考点二 考点三 B 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(多选题)(2024山东烟台模拟)已知定圆M:(x-1)2+y2=16,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能为( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 由题知,M(1,0),半径r=4. 因为Q是线段PA的中垂线上的点,所以|QA|=|PQ|. ①如图,若点A在圆M内部,且不为圆心,则|MA|<4, |QM|+|QA|=|QM|+|QP|=4,所以根据椭圆定义可知点Q轨迹是以M,A为焦点的椭圆,故A正确; 考点一 考点二 考点三 ②如图,若点A在圆M外部,则||QA|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=4,|MA|>4,所以根据双曲线定义可知点Q轨迹是以M,A为焦点的双曲线,故B正确; ③若点A在圆M上(与点P不重合),则线段PA的中垂线恒过圆心M,即点Q的轨迹为点M. ④若点A为圆M的圆心,即A与M重合时, Q为半径PM的中点, 所以Q点轨迹是以M为圆心,以2为半径的圆,故D正确; 不存在轨迹为抛物线的可能,故C错误.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 D 考点一 考点二 考点三 解析 如图,设双曲线的左焦点为F1,由双曲线定义知,|PF|=2a+|PF1|=|PF1|+2,所以 APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2+|PF1|+|AF|,由于2+|AF| 是定值,要使 APF的周长最小, 则|PA|+|PF1|最小, 即P,A,F1三点共线,因为A(0,6 ),F1(-3,0), 考点一 考点二 考点三 考点二 椭圆、双曲线的几何性质(多考向探究预测) 考向1椭圆、双曲线的几何性质 B 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)(2024浙江台州模拟)已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,则下列说法正确的是( ) A.F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0) B.椭圆的离心率为 C.|PF1|的最小值为1 D.当P是椭圆的短轴端点时,∠F1PF2取到最大值 ACD 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2024湖南长沙一模)已知O为坐标原点,F1(-1,0),F2(1,0),Q(0,3),向量m=(1,-2),动点P满足 ∥m,写出一个a,使得有且只有一个点P同时 满足||PF1|-|PF2||=2a(0<a<1),则a= . 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考向2离心率问题 D 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 解析 (方法一)如图,设A(x0,y0),B(0,t),F1(-c,0),F2(c,0). 由对称性不妨设t<0. 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 增分技巧 求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法 定义法 根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解 方程法 根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围) 考点一 考点二 考点三 B 考点一 考点二 考点三 解析 如图,连接OA,OB,OP,则OA⊥PA,OB⊥PB. 由切线长定理可知|PA|=|PB|. 易知 PBO≌ PAO. 考点一 考点二 考点三 考点三 抛物线的几何性质 例4(多选题)(2024辽宁大连模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,焦点到准线的距离为2,Q为C上的一个动点,则( ) A.C的焦点坐标为(1,0) B.若M(3,5),则 QMF周长的最小值为11 C.若M(0,4),则|QM|的最小值为2 D.在x轴上不存在点E,使得∠QEF为钝角 BCD 考点一 考点二 考点三 解析 因为抛物线C的焦点到准线的距离为2,则C:x2=4y,焦点F(0,1),所以A错误; 考点一 考点二 考点三 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](2024湖南常德模拟)已知抛物线的方程为x2=4y,过其焦点F的直线与抛物线交于M,N两点,且|MF|=5,O为坐标原点,则 MOF的面积与 NOF的面积之比为( ) D 考点一 考点二 考点三 解析 根据抛物线的对称性,不妨设点M在第一象限. 由题可知,抛物线焦点F(0,1),准线方程为y=-1,过焦点F的直线斜率存在. 设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+1,|MF|=y1+1=5, ∴y1=4,x1=4,即M(4,4). 考点一 考点二 考点三 (2)(2023全国甲,理12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cos∠F1PF2=,则|OP|=( ) A. B. C. D. 解析 如图,由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点. 在椭圆C:=1中,a==3,b=,c=, ∴|PF1|+|PF2|=2a=6(椭圆的定义),即|PF2|=6-|PF1|. 在 PF1F2中,|F1F2|=2c=2,cos∠F1PF2=, 由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,解得|PF1|=3+, ∴|PF2|=6-|PF1|=3-. ∵), ∴||=|= = = =.∴|PO|=.故选B. (2)(2024山东泰安一模)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C左支上一点,A(0,6),当 APF周长最小时,该三角形的面积为( ) A.36 B.24 C.18 D.12 所以直线AF1的方程为=1, 与双曲线方程x2-=1联立,整理得y2+6y-96=0,解得y=2或y=-8(舍),所以点P的纵坐标为2,所以S APF= 6 6 6 2=12.故选D. 例2(1)(2024海南海口模拟)已知双曲线=1(a>0,b>0)的实轴长为2,其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y= x B.y= x C.y= x D.y= x 解析 依题意可得2a=2,即a=;如图,不妨设左焦点F(-c,0)到渐近线y=x的距离为,即d==b=,所以渐近线方程为y= x.故选B. =1 解析 椭圆=1,其中a2=9,b2=5,∴c2=a2-b2=4. 对于A,c=2,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),所以正确; 对于B,椭圆的离心率为e=,所以错误; 对于C,a-c≤|PF1|≤a+c,即1≤|PF1|≤5,所以|PF1|的最小值为1,所以正确; 对于D,当P在椭圆的长轴端点时,∠F1PF2=0; 当P不在长轴端点时,0<∠F1PF2< ,在 F1PF2中,利用余弦定理可知 cos∠F1PF2==-1≥-1 =-1,当|PF1|=|PF2|,即P在椭圆的短轴端点时,cos∠F1PF2最小,此时 ∠F1PF2最大,所以正确.故选ACD. 解析 由||PF1|-|PF2||=2a(0<a<1),且|F1F2|=2>2a,知点P在以F1,F2为焦点的双曲线上,且c=1,b2=1-a2,渐近线方程为y= x. 设P(x,y),因为Q(0,3),所以=(-x,3-y),又m=(1,-2),由于∥m,y=-2x+3. 若直线y=-2x+3与双曲线的一条渐近线平行,此时直线与双曲线只有一个交点,即只有一个点P满足∥m. 所以-=-2,解得a=. 例3(1)(2024广东惠州模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一点,且|PF1|=4|PF2|,则椭圆C的离心率的取值范围是( ) A. B. C.,1 D.,1 解析 因为|PF1|=4|PF2|,且|PF1|+|PF2|=2a,所以有4|PF2|+|PF2|=2a,故|PF2|=,|PF1|=,因为|PF1|∈[a-c,a+c],即a-c≤≤a+c,1-e≤≤1+e,解得e≥,又因为椭圆离心率e∈(0,1),所以e∈[,1).故选D. (2)(2023新高考 ,16)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A在C上,点B在y轴上,=-,则C的离心率为 . 因为=-,所以x0=,y0=-. 又,所以c2=t2,即t=-2c. 因为|AF1|=c,|AF2|=c,所以2a=|AF1|-|AF2|=c,即. (方法二)设A(x,y),B(0,m),不妨令点A在第一象限,则m<0. 设F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,则=(x+c,y),=(c,m),=(x-c,y),=(-c,m). 由=-,有=(x+c)c+ym=0,(*)式 由(*)式得代入(x+c)c+ym=0中,得m=-2c. 则点A坐标为(c,c),代入=1中,有=1,即25e2-=9,解得e2=或e2=(舍去),故e=. (方法三)由=-,得. 设|F2A|=2x,|F2B|=3x. 由对称性可得|F1B|=3x. 由定义可得,|AF1|=2x+2a,|AB|=5x.设∠F1AF2= ,则sin =,从而 cos =,解得x=a,所以|AF1|=4a,|AF2|=2a. 在 AF1F2中,由余弦定理可得cos =,即5c2=9a2,从而可得e=. [对点训练3](2024广东佛山模拟)已知圆C1:x2+y2=b2(b>0)与双曲线C2: =1(a>0,b>0),若在双曲线C2上存在一点P,使得过点P所作的圆C1的两条切线,切点为A,B,且∠APB=,则双曲线C2的离心率的取值范围是 ( ) A.1, B.,+∞ C.(1,] D.[,+∞) 所以∠APO=∠APB=,则|OP|=2|OA|=2b. 设点P(x,y),则y2=-b2,且|x|≥a, 所以|OP|=2b==a,所以,即e=,即双曲线C2的离心率的取值范围是[,+∞).故选B. 因为M(3,5),F(0,1),所以|MF|==5,设点Q到准线y=-1的距离为d,点M到准线y=-1的距离为d'=5-(-1)=6,则 QMF的周长为|MF|+|FQ|+|QM|=5+d+|QM|≥5+d'=5+6=11,所以B正确; 设Qx0,,则|QM|=,当=8时,|QM|取最小值2,所以C正确; 设E(t,0),因为Qx0,,F(0,1), 所以=(-t,1),=x0-t,, 所以=-tx0+t2+=t-2≥0, 所以cos∠QEF=≥0,∠QEF不可能为钝角,所以D正确.故选BCD. A. B. C.5 D.4 联立∴x2-4kx-4=0,x1 x2=-4,得x2=-1,所以=4. 故选D. $$