解析几何第1讲 直线与圆课件-2025届高考数学二轮复习

第1讲 直线与圆 领航高考风向标 通览主干知识 1.两直线位置关系、距离公式 2.圆的定义与方程 对含参数的圆的一般式方程形式,一定要注意其表示圆的条件. 3.圆锥曲线 知识点 内容 定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|); (3)抛物线:|MF|=d(d为点M到准线的距离) 若点F在准线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线 4.圆锥曲线中的几个重要结论 (1)圆锥曲线的中点弦斜率公式 (2)过曲线上点P(x0,y0)的切线方程 过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为 微点拨 1.求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性. 2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 链高考1.(2021新高考 ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 ,则p=( ) B 链高考2.(2024全国甲,理12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.2 C 微点拨 在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二, 0<2a<|F1F2|.如果满足第二个条件但不满足第一个条件,那么其轨迹只能是双曲线的一支. 链高考3.(2024新高考 ,12)设双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若 |F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 . 解析 如图,由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴. 考点一 直线的方程及其应用 例1(1)(2024重庆高三检测)已知直线m:(a-2)x+ay-2=0和直线n:x+3ay+1=0,则“a= ”是“m∥n”的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 A 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 . 解析 设PA与PB的倾斜角分别为 , ,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=- . 如图,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由 增至90 ,斜率的取值范围为[1,+∞). 当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90 增至 ,斜率的变化范围是(-∞,- ]. 故斜率的取值范围是(-∞,- ]∪[1,+∞). 考点一 考点二 考点三 考点四 延伸探究1 若本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点四 延伸探究2 若将本例(2)中的点B坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 设直线PA与PB的倾斜角分别为 , ,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=-1,当直线l由PB变化到PA的位置时,它的斜率的取值范围是[-1,1]. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](2024福建南平模拟)两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( ) D 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二 圆的方程 例2(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 . 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1, ∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. 若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则设圆心为(a2,b2),半径为r2, 考点一 考点二 考点三 考点四 若圆过点(0,0),(-1,1),(4,2),则设圆心为(a3,b3),半径为r3, 考点一 考点二 考点三 考点四 若圆过点(4,0),(-1,1),(4,2),则设圆心为(a4,b4),半径为r4, 考点一 考点二 考点三 考点四 (方法二 几何法)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2), 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法 求圆的方程的两种方法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,进而求得圆的方程 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2](2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在 M上,则 M的方程为 . (x-1)2+(y+1)2=5 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 (方法三)设圆心M(a,1-2a), M的半径为r,则 r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2, 整理可得-10a+10=0,即a=1. 则圆心M(1,-1),故所求 M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三 直线与圆的位置关系(多考向探究预测) 考向1切线问题 例3(1)(2024湖北鄂州模拟)已知点P为直线l:3x-4y+12=0上的一点,过点P作圆C:(x-3)2+(y-2)2=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为( ) A 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2022新高考 ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: . 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4), 由图得两圆外切,则 O与 O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](2024广东韶关二模)过点P(-2,3)作斜率为-2的直线,若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆C:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0)相切,则r=( ) D 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考向2弦长问题 例4(1)(2024河北石家庄二模)已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点,则|AB|=( ) C 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2023新高考 ,15)已知直线x-my+1=0与 C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“ ABC面积为 ”的m的一个值: . 考点一 考点二 考点三 考点四 增分技巧 求解圆的弦长的3种方法 关系 法 根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形,得三者间的关系为r2=d2+ (其中l为弦长,r为圆的半径,d为圆心到直线的距离) 公式 法 根据公式 求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率) 距离 法 联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点坐标,用两点间距离公式求解 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4](2024河南洛阳模拟)已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|= ,则|k|=( ) B 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四 圆与圆的位置关系 例5(多选题)(2024江苏连云港模拟)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2 =r2(r>0),P,Q分别是圆C1与圆C2上的动点,( ) A.若圆C1与圆C2无公共点,则0<r<4 B.当r=5时,两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0 C.当r=2时,|PQ|的取值范围为[2,8] D.当r=3时,过点P作圆C2的两条切线,切点分别为A,B,则∠APB不可能等于 BC 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 如图,易知圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1; 圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2的圆心为C2(3,-4),半径为r,圆心距|C1C2|=5. 对于A,圆C1与圆C2无公共点,则|C1C2|>r1+r2或|C1C2|<|r-1|,即可得5>r+1或5<|r-1|,解得0<r<4或r>6,所以A错误; 对于B,当r=5时,公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25, 整理可得6x-8y-1=0,所以B正确; 对于C,当r=2时,|C1C2|>r+1=3,可知两圆外离,|PQ|∈[|C1C2|-3,|C1C2|+3],即|PQ|∈[2,8],所以C正确; 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练5](多选题)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是( ) A.C1与C2的公切线恰有4条 B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0 C.C1与C2相交弦的弦长为 D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12 BD 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 考点二 考点三 考点四 知识点 内容 两条直线 平行和垂 直的充要 条件 (1)斜截式:若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2 k1=k2,l1⊥l2 k1k2=-1. (2)一般式:若直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则l1∥l2 l1⊥l2 A1A2+B1B2=0 知识点 内容 两个距离 公式 (1)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=(A2+B2≠0). (2)两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=(A2+B2≠0) 公式应用的前提是两直线方程中x,y的系数对应相等 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F>0时,表示圆心为(-,-),半径r=的圆;当D2+E2-4F=0时,表示一个点(-,-);当D2+E2-4F<0时,不表示任何图形. 知识点 内容 标准 方程 (1)椭圆:=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或=1(a>b>0) (焦点在y轴上); (2)双曲线:=1(a>0,b>0)(焦点在x轴上)或=1 (a>0,b>0)(焦点在y轴上); 先确定类型,再计算,即“先定型,再定量” (3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0) 知识点 内容 重要 性质 (1)椭圆、双曲线中,a,b,c之间的关系 ①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为e=. ②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为e=. 已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时,可直接应用此处公式,此时易忽视焦点所在坐标轴导致漏解 知识点 内容 重要 性质 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y= x,焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0). 方程中勿忘“ ”及“x” ②双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y= x,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c). (3)抛物线的焦点坐标与准线方程 ①抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,0,准线方程x=-. ②抛物线x2=2py(p>0)的焦点F0,,准线方程y=- 知识点 内容 弦长 问题 (1)直线与圆锥曲线的相交弦 设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入,即当斜率为k的直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=|x1-x2|,x1,x2是直线与圆锥曲线联 如果消去的是x,可以利用公式|AB|=|y1-y2|(k≠0)类似转化 立所得方程ax2+bx+c=0的两根,|x1-x2|=或|x1-x2|=( ≥0,且a≠0). (2)过抛物线焦点的弦 过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p ①若M是椭圆=1(a>b>0)的弦AB(AB不平行于坐标轴且不过原点)的中点,O为原点,则有kABkOM=-;利用点差法推导 ②若M是双曲线=1(a>0,b>0)的弦AB(AB不平行于坐标轴且不过原点)的中点,O为原点,则有kABkOM=; ③若M(x0,y0)是抛物线y2=2px(p>0)的弦AB(AB不平行于y轴)的中点,则有kAB=. Ax0x+By0y+D +E +F=0. A.1 B.2 C.2 D.4 解析 抛物线的焦点坐标为(,0),其到直线x-y+1=0的距离d=,解得p=2(p=-6舍去).故选B. 解析 由题意,可知 2b=a+c,即a-2b+c=0,所以直线ax+by+c=0恒过点M(1,-2),由x2+y2+4y-1=0,可知圆心C坐标为(0,-2),半径r=. 当AB⊥MC时,|AB|的值最小,此时|MC|=1,|AB|=2=4.故选C. 易知AF2⊥F1F2,∴在Rt AF2F1中,有|F1F2|==12. 设双曲线C的焦距为2c(c>0),则2c=|F1F2|=12,∴c=6.∴双曲线C的离心率e=. 链高考4.(2024全国甲,文21,理20)设椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点M1,在C上,且MF⊥x轴. (1)解 设椭圆C的左焦点为F1,则|F1F|=2,|MF|=,又MF⊥x轴,所以|MF1|=,2a=|MF1|+|MF|=4,则a2=4,b2=a2-1=3. 故椭圆C的方程为=1. (2)证明 设点A(x1,y1),B(x2,y2),= , ≠-1,则 (*) 即 则3[-( x2)2]+4[-( y2)2]=12(1- 2),所以3+4=12. 综合(*)式可得5 -2 x2+3=0. 又点P(4,0),F(1,0),N(,0),则yQ==- y2=y1,故AQ⊥y轴. 解析 若直线m:(a-2)x+ay-2=0和直线n:x+3ay+1=0平行, 则解得a=, 所以“a=”是“m∥n”的充要条件.故选A. (-∞,-]∪[1,+∞) 解 设直线PA与PB的倾斜角分别为 , ,直线PA的斜率kAP=,直线PB的斜率kBP=.如图,当直线l由PA变化到PB的位置时,它的倾斜角由 增至 ,所以斜率的取值范围是. 由图象可知,直线l的倾斜角的取值范围是0,∪, . A.4 B. C. D. 解析 因为两直线平行,所以3 m=6 1,解得m=2,将6x+2y+1=0化为3x+y+=0,由两条平行线间的距离公式得它们之间的距离d=.故选D. 答案 (x-2)2+(y-3)2=13,或(x-2)2+(y-1)2=5,或x-2+y-2=, 或x-2+(y-1)2= ∴解得 ∴解得 ∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ∴解得 ∴圆的方程为. ∴解得 ∴圆的方程为+(y-1)2=. ①若圆过A,B,C三点,圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,a),则4+a2=9+(a-1)2,解得a=3,r=,所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13. ②若圆过A,B,D三点,圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,a),则4+a2=4+(a-2)2,解得a=1,r=,所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ③若圆过A,C,D三点,则线段AC的中垂线方程为y=x+1,线段AD的中垂线方程为y=-2x+5,联立中垂线方程解得x=,y= r=,所以圆的方程为 x-2+y-2=. ④若圆过B,C,D三点,则线段BD的中垂线方程为y=1,线段BC中垂线方程为y=5x-7,联立中垂线方程解得x=,y=1 r=,所以圆的方程为 x-2+(y-1)2=. 解析 (方法一)设A(3,0),B(0,1),则线段AB的垂直平分线方程为y-=3x-,即y=3x-4. 由解得 即圆心M的坐标为(1,-1). 设 M的半径为r,则r2=(3-1)2+12=5. 故所求 M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. (方法二)设 M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则M-,-, ∴ 解得 ∴ M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0,即(x-1)2+(y+1)2=5. A. B. C. D. 解析 如图,由题意可知,圆C的圆心为C(3,2),半径为|CM|=1,由圆的几何性质可知CM⊥PM,由勾股定理可得|PM|=,所以要使切线长|PM|取最小值,只需|PC|取最小值即可. 当直线PC与直线l:3x-4y+12=0垂直时, |PC|取最小值d=, 则|PM|的最小值是.故选A. x=-1,或y=-x+,或y=x- ∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率, ∴直线l1的斜率=-,直线OO1的方程为y=x. 可设直线l1的方程为y=-x+b(b>0). 又圆心O到直线l1的距离d1==1,解得b=(负值舍去). 故内公切线l1的方程为y=-x+. 由得直线l与直线OO1的交点为A. 则可设直线l2的方程为y+=k(x+1). 又圆心O到直线l2的距离d2==1,解得k=,故直线l2的方程为 y=x-. 由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-x+,或y=x-. A. B. C.2 D. 解析 如图,设经过点P的直线交x轴于点A,反射直线与圆C相切于点B,直线PA:y-3=-2(x+2),即y=-2x-1,令y=0,解得x=-,即A-,0,又kPA+kBA=0,所以kBA=2,所以直线BA:y-0=2x+,即2x-y+1=0,因为直线AB与圆C相切,所以圆C的半径等于点C(3,2)到直线BA:2x-y+1=0的距离为d=,即r=.故选D. A. B. C. D. 解析 因为圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点,则两圆的方程相减即为直线AB的方程,可得2x+4y-5=0,且圆O1:x2+y2=5,半径为,O1(0,0)到直线2x+4y-5=0的距离d=,所以|AB|=2.故选C. 2(答案不唯一,可以是 , 2中的任意一个) 解析 由条件知圆心C(1,0),点C到直线x-my+1=0的距离d=,|AB|=2. 由 ABC的面积为,得,整理,得2m2-5|m|+2=0,解得m= 2,或m= ,不妨取m=2. l=|x1-x2| A. B.1 C. D.2 解析 设坐标原点O到直线kx-y+1=0的距离为d,则d=. 设线段MN的中点为P,则MN⊥OP,在Rt MOP中,根据勾股定理,有4=|OM|2=|OP|2+|PM|2=d2+|MN|2. 由|MN|=,得4=d2+|MN|2=,故,解得k2=1,故|k|=1.故选B. 对于D,若∠APB=,可知四边形AC2BP为正方形,如图,则可得|PC2|=3,而|PC2|∈[|C1C2|-1,|C1C2|+1],即|PC2|∈[4,6],而3∈[4,6],所以圆C1上存在点P满足∠APB=,所以D错误.故选BC. 解析 由已知得圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=3,圆C2的圆心C2(3,4),半径r2=4,|C1C2|==5,r2-r1<|C1C2|<r1+r2,故两圆相交,所以C1与C2的公切线恰有2条,故A错误; 两圆方程相减可得C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0,故B正确; 圆心C1到相交弦的距离为,故相交弦的弦长为2 ,故C错误; 若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=12,故D正确. 故选BD. $$