微专题3导数与不等式课件-2025届高考数学二轮复习

微专题3　导数与不等式 大题考法1　 PART 01 第一部分 2 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 【解】　f′(x)＝aex－1， 当a≤0时，f′(x)<0恒成立， 所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数； 当a>0时，令f′(x)>0，得x>－ln a， 令f′(x)<0，得x<－ln a， 所以函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上可得，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数； 当a>0时，函数f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减， 在(－ln a，＋∞)上单调递增． 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 等价转化法证明不等式的常见思路 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 已知函数f(x)＝－xeax＋1. (1)讨论函数f(x)的单调性； 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 (2)若函数y＝f(x)存在两个不同的极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＞0. 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 (3)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数． 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 (2)证明：x1x2>e2. 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 大题考法2 PART 02 第二部分 28 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 (2)若f(x)＋ae3x＋ln a≥0，求实数a的取值范围． 【解】　f(x)＋ae3x＋ln a≥0⇔2x－ln x＋ae3x＋ln a≥0⇔ae3x＋3x＋ln a≥x＋ln x⇔e3x＋ln a＋3x＋ln a≥eln x＋ln x. 设g(x)＝ex＋x，则g(3x＋ln a)≥g(ln x). 因为g′(x)＝ex＋1>0，所以g(x)在定义域R上为增函数， 所以3x＋ln a≥ln x，即ln a≥ln x－3x. 设h(x)＝ln x－3x(x>0)，则ln a≥h(x)max. 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 不等式恒成立能成立问题的区别与联系 类别 区别 联系 不等式问题 等价转化方式 不等式恒成立问题 a≥f(x)在x∈D上恒成立 a≥f(x)max，x∈D 对于单变量不等式，无论是恒成立问题还是有解(能成立)问题，都需要用分离参数法或者构造函数法，转化为最值问题进行解决 a≤f(x)在x∈D上恒成立 a≤f(x)min，x∈D 不等式能成立问题 a≥f(x)在x∈D上能成立 a≥f(x)min，x∈D a≤f(x)在x∈D上能成立 a≤f(x)max，x∈D 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 双变量不等式问题的解题策略 (1)观察两个变量，一般两个变量的地位相同，取值独立，可将其转化为一个变量． (2)构造函数，将问题转化为判断函数的单调性问题或求函数的最值问题． 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 已知函数f(x)＝ex－a－ln x. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 (2)若存在x0∈[e，＋∞)，使f(x0)＜0成立，求实数a的取值范围． 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 返回导航 二轮专题复习与测试 数学 【解】　当a＝－1时，f(x)＝2＋ln x＋x－1， f′(x)＝＋＋1，f′(1)＝3，f(1)＝2，所以曲线y＝f(x)在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1. 解：由已知得，函数f(x)＝－m的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＝.　 由f′(x)＝0，得x＝ea＋1，且当0<x<ea＋1时，f′(x)>0；当x>ea＋1时，f′(x)<0. 所以f(x)在x＝ea＋1时取得极值，所以ea＋1＝e，解得a＝0. 所以f(x)＝－m(x>0)，f′(x)＝， $$