重庆市第一中学校2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

重庆一中高2025届高三下期开学考试 数学试题 本试卷共4页，共19题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上的指定位置。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦千净后，再选涂共他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本斌卷上无效。 3考试姑来后，将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1已知集合A-2B=x2-.则4n8= a[22 c.[2,+oo) D.{2,+o∞) 2复数z满足z(1-)=3-2i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为 B.2 3.下列函数中，值域为R且为奇函数的是 A.f(x)=x'+1 B.f(x)=xsinx cf)=声 4,为了得到曲线G:/)=2c0s6x+经+2si如(c+孕c08(k+孕-1的图像，可以将曲线 G:8闪=c0s(x-习上质有的点 A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移二个单位长度 24 8。横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移艺个单位长度 6 C。横坐标缩短为原来的乞倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移牙个单位长度 24 坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移：个单位 48 5在△MBC中，BC=2B=2,B=号，孤=C,P是直线BN上-点且而=m而+号花， 2 数学试题第1页共4页 则A亚CB= A.-2 B-3 DO 6.已知等差数列{a,}的公差d<0a4=35,a+4,=2,记该数列的前n项和为S,数列S.+川)恒 单调递减，则实数入的取值范围是 A.（-0,- 21 B.（-0,- C.(-o,-10] D.(-o,-10) 7,四面体ABCD中，AB=cD= 4D=BCBD=AC=2,点P在三角形BCD内都（包含边界）且 AP⊥BD,则三棱锥B-ADP的体积最大值为 B⑤ C 16 24 36 8.已知实数x,y满足lne(2x+3y-6)+5-e2-x-4y20,则x-2y的值为 A号 B. 6 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A若样本数据3x+2,3x2+2，…，3x20+2的样本方差为9，则数据4x-1,4x2-1,·，4x20-1的 方差为16 B若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 C.已知随机变量5~N(0,σ2)，若P(-2≤5≤2)=0.7，则P(5>2)=0.15 D.运动员每次射击击中目标的概率为07，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次 10.若函数f(x)=(e-e(x-b2)20在x∈R上恒成立，且a之0，b之0，则下列结论中正确的有 A.a2+b2=1 B.a+2b的最大值为√5 C.若ceR,a+26+e2-26c-2的最小值为35-1 D.6-5的最大值为- a+1 3 11.设a,b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 a■b(modm).若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则n=1(modp),这个定理称之为费马小定理.下 列结论正确的是 A.4“+2=103(mod17） B.3030*=6(mod217) C.p为素数，存在无数个正整数n,3”-n■0(modp) D.已知实数0<x<151,x∈N,则方程x?-x-x+x≡0(mod15)的解只有10个 数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12现有2位女生和3位男生站成十排照相，要求女生甲不在男生之间且3位男生中有且只有2位相邻，则不 同的站法有」 种. 13.tan70+ 2c0s260 sin160 (请用最简数值作答) 14已知双曲线C:上足 存疗=1(a>0,b>0)的离心率为e,若双曲线C上不存在以点(6,3b)为中点的弦，则e 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)已知函数(x)=na+ 1」++b为奇函数。 x-14 (1)求a、b的值： (2)若方程f(x)=m在x∈(L,+o)上有两个不等实根，求实数m的取值范围. 16.(本小题15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知(2ac+4c2)cosB=a2-b2-c2 (1)求角B: (2)若D为△ABC外一点，在四边形ABCD中，边长BC=2,∠DCB=∠B,∠CAD=30° 求边CD的最小值， 17.(本小题15分)已知定义线为(0+∞)的函数f)满足g+=,且f@=,记 f(x)f(y)+1 an=- 1(eN,): f(n) (1)求数列{an}通项公式： (2)bn=aC+a2C+a,C+…+an-C+anC%,求数列n}的前n项和Sn: (3》6,“20一记数列，}的前m项和为7，求证：7，<2. 18.(本小题17分)继2023年电子竞技首次作为正式竞赛项目登上杭州亚运会舞台后，2024年国际奥委会 宜布首届奥林匹克电子竞技运动会将于2025年在沙特阿拉伯王国举办这意味着电子竞技作为虚拟体育正 式成为奥运会项目的一部分为迎接电子竞技行业这一里程碑式的时刻，甲、乙两俱乐部计划按照现今体育 数学试题第3页共4页 比赛中的赛制举办友谊赛在体有比赛中有两种常见赛制：一种是(2n-)局胜制，例如一场比赛有5局， 率先胜3局一方获胜，本场比赛结来：另一种是(2n+)局n+1胜制，例如一场比赛有7局，率先胜4局一 方获胜，本场比赛结束。 (1)若采用5局3胜制，甲俱乐部每场比赛获胜的概率为0.8：若采用7局4胜制，甲俱乐部每场比赛获 胜的概率为0.9.已知甲、乙俱乐部采用这两种赛制各进行了m(m∈N)场比赛，试自行绘制2×2列联表， 并根据小概率值α=0.010的独立性检验，来推断赛制是否对甲队获胜的场数有影响： (2)设甲俱乐部每局比赛获胜的概率均为P(0<p<,且每局比赛都能决出胜负，没有平局： ①若两俱乐部采用5局3胜制比赛，记事件A:“甲俱乐部只要取得3局比赛的胜利比赛结束且甲获胜”，事 件B:“两俱乐部赛满5局，甲俱乐部至少取得3局比赛胜利且甲获胜"，试证明：P()=P(B): ②若甲、乙两俱乐部创造一种全新的赛制，约定比赛规则为：共进行2局，赢得局数大于”局的俱乐部获 3 胜。若甲俱乐部每局比赛获胜的概率P= ,试判断进行几局比赛时，甲俱乐部获胜的概率最大，并说明理 由。 令 0.10 0.05 0.025 0.010 n(ad-bc)2 附：父a+bc+da+ob+可，其中m=a+b+e+d, 2.706 3.841 5.024 6.635 19（本小愿17分)在直角坐标系0中，月月为精圆号+若=0<6<②的左、右焦点，直线 I:y=x+m交椭圆E于P,2两点，交x轴于K点其中点P在x轴上方，P②的最大值为 4W6 3 (1)求椭圆E的方程： (2)将平面xOy沿x轴翻折，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面与y轴负半轴和x轴所确定的半平面所 成二面角的平面角为0，且0<0≤受 ①在P2取得最大值的情况下，若0=号，求折后异面直线PQ与S所成角的正弦值。 ②若在平面KO2上存在点C满足Pc=1,lCT-CF=2,且PC⊥RF,求锐二面角P-FF2-C的余 弦值的最小值 制※沙斯信·一 霏庆一中高2025届屈高三下期开学考试 数学垫考答案 一、选择题：本题共8小题，而小题5分，共0分。在何小题纷出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 8 B 0 B D D A 8解n(2r+3y-6)-e22x+4y-6设m=2x+3y-6,n=x-y-2,m-n=x+4y-4则 Inm-e"2m-n-2,Inm-mze"-n-2,(m>0),f(m)=Inm-m ∫m)=。-l0<m<1,fm)>0,m>1f飞m)<0,则f(m)在(0，)单调递增（L,o)单调递减 ∴jm)m=f(0=-l,f(m)s-l令h()=e-n-2,k(n)=e-ln>0,h()>cn<0,(n)<0,则 (在(o,0)单调递减，(0，+∞)单调递增h(n)=h(0)=-lh(n)2-1由题意f(m)≥h():m=l, =0,2x+3y-6=x-y-20x-=号=号放x-2y=号故选A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD ABD AC 11解：A因为4“=16=(07-)”=C317-C,17+…+C17-1, 所以4“+2被17除所得的余数为1，又103被7除所得的余数为1，所以4“+2=103(m0d17),A正确 B.x=30o,217=31×7,x=300”=(31-1)30→x=10mod30 30°=1(mod7),300=0(mod句→3030=6k,k∈N x=303o=3y+1=30,yeNx=2=82*=1(mod7)→y=711eN→x=31×7t+1→x=1(mod217) 所以B错误 C.(1)p=2,3”=1(mod2),n=1(mod2)即可(2)p=3取n=3k,k∈N,显然成立 (3)p>3,3=I(mod p),VnEZ',n=k(p-1),3=(mod p)3-kp-D=1(mod p) 1 只需要k▣-(odp),所以n=(-)就有无数名个. D.x2-x3-2+x▣x-r-x240e(x-lx2-)=(x240(x3-xx2-)=(x-xx2-), 山费马小定理，对小任意整数￥椰.x-xw0(o5),x3-xw0(mod3) 因为315工为州数，所以刈于仁意的T整数x都有x-x2-x+xa0mod15) 以方Wx'--x2+x▣00d15)的正整数解的个数为150.D误。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.24 13.5 [ 14解：由题意得点(6,30)在双画线外部或在双曲线上，则30_分 假设存在以(6,3b)为中点的弦，设弦与双曲线交于点A(%,)B(3,),则+三=b,+丝=36， 2 2 =1 由点A(x,)B(x2,y2)在双曲线上得， 两式作差得，区+名=_么+为-出 b (a26-1 kw=-业=+)-2bd x-为6(%+5)63638 “不存在该中点弦，直线B与双曲线至多一个交点，则只 3 3,3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 5.木小圈13分)1)由)=+十t6在x=1处无意义，且/网为奇函数，故飞在x 处也无意义.a+ -1-1 =0,解之可得a=2“似为奇函数且在x=0处有意义，∴了0)=n号+b=0, 6=2树=学经检验该通数为商画数 …(5分) 由少可得当xI时，因=g+切)-g-+此时广因=点+好专 '(x)=0得x=3.当xe(,3)时了'(x)<0，(x)单调递减.当x∈(3，+o)时∫'(x)>0,x)单调递 2 增xr,→+e倒o,/间-h2+m>h2+号 14（13分） 16.(1)在△M8C中山氽牧定训可得(20+402)oaB=-2b0cosA,即(a+2c)cosB+bcosA=0.在△MBC中 由E孩定现可得(6+2shC)osB+6 n=0c0sB。-B.2石w(6分) 2 2 (2)设AC8=0,则∠BMC=-A,CD=2r-&,∠D=+0 3 6 在△MBC中，由正弦定理可得，BC=4C 如8cm9,即2 -=AC 、2 3 在△MCD中，由正弦定理可得CD=4仁，即CD AC sin∠CAD sin D sin sin(+) 6 6 两式相除可得，CD= 0e0f写+20 c(J.CD-5.m15分) 17.D令x=y=1可得f0=1令y=x=n可得0a+D=01 1 f()+1f(n+1)f(n) +1即a1=a.+1, 而q=1{a,}是以1为首项，1为公差的等差数列a,=n… .（5分) (2)b,=lC+2:C+…+(a-l0Cg+nCg,而kC=nC.五=n(g+C+…+C)=n…21（也 可用倒序相加法求出b,) Sn=12°+22+322+…+n…2① 2S,= 1.2+222+…+(n-）-21+m-2"② ①-②可得Sn=(I-02”+1m。 44（10分 (3)62六 ，当n=1时，T=G=1<2显然成立 当n22时 法1,2”-1-2=2叫-1≥0当且仅当n=1时等号成立 2女克宁*宁+20-京<2微<2 2-411 法242x六2-2”-2-可2-可 3 *站*六六**2激2 法3 可”0+5石CG可”当温收当-2时等号立 .(15分) 18.(1)处制列联装如下 养制 赛果 5局3胜 7周4胜 合计 甲胜 0.8m 0.9m 1.7m 乙胜 0.2m 0.1m 0.3m 合计 m m 2m X.2m008m2-018m2Y_2 ,依据小概率值a=0.01的独立性检验，当m≥170时，x2>6.635,赛 m×m×1.7m×0.3m51 制对甲获胜场数有影响：当m≤169时，X2<6.635,赛制对甲获胜场数没有影响 …(5分) (2)①P()=p2+C3p20-p)p+Cp20-p)2p=p'(6p2-l5p+10) P8)=Cgp'0-p)2+Cgp'0-p)+Cgp3=p'6p2-15p+10) P()=P(B)… (10分) ②记甲赢得比赛的概率为月，设A=“进行2n局比赛甲最终获胜”，B=“第1局甲赢”，C=“第2局甲 素"则有Bn=P()=P(BGP(4I(BC)+P(8CPM(BC)+P(8C)P(A(BC)+PBC,Pa(BG). 而BC发生及BC发生意味著前2局比赛甲恰好赢一局，则甲在2局比赛最终获胜当且仅当甲在后续的 2n-2局比赛中赢的局数要大于n-1,故P(☑(BC》=P(A(⑧C》=B2·在BC发生的条件下，甲己经 赢得前2局，则甲最终获胜当且仅当甲在后续的2n-2局比赛中赢的局数大于m-1或者恰好等于n-1,故 P(4小(BC)=B-2+C2P0-p).在BC发生的条件下，甲输掉前2局，那么甲最终获胜当且仅当 甲在后铁的2m-2局比赛中赢的局数大于n,而这个事件可以看作“甲在后续2m-2局比赛中赢的局数大于 n-1”与事件“甲在后续2n-2局比赛中恰好赢n局”的差事件，故Pd(⑧C)=B2-C2nPQ-p)2, Bn=2p0-p)Ra-2+pB-2+Cp0-p）]+0-pBa-4-C-2p0-p）2] =2p01-p)+p2+0-p)}2]B2+Cp'0-p-C2-2p^0-p' =*器p0-prI-p0-2p州 13 令及.-20想s号做当P-号.5壳务=2卿2n=4时，户，最大a7分) 1-2p 8 8 y▣x+m 19.(1) xy2_联立可得(62+4x2+8mx+4m2-462=0,△>0，设P(名，，2(2，y2)则由韦达定 4*6京11 + 142·Pg=2+2了-4x=%4-m2+b2当m=0时 趣可得x+2牛4名=二秋 P=4巨bb2+4=5,b2=2·故椭圆方程为三+之 4+b2 4 =】 .(5分) 2 2)①由)可知，租折前252,25620 翻折后建系如图，则 3 P25吾，0-29,250面R(55a, 3 3 P-(45 ),-号-少.丽=22,00，设异面直线P2与5所成角为a. 则cosa= @25 po RR ·sia= 5…(10分) ②CF-CF2=1:点C的轨迹为双曲线x2-y2=1的一支。在xOy平面中，作H上x轴于H, PH⊥FF,PC⊥FF∴FF2⊥面PHC∴FF⊥CH∠PHC为二面角P-FF2-C的平面角，设 0咖=x,Pg2=2-cm=-1 在aPHC中，os∠PHC=PH+cH2-PC2-号 2PH.CH PH2>0,CH2>0:1<2<4,令=1e分.则cosLPHC= 2r+ 当1=名时，c0s∠PHC取得辰小M值为三，即二而角P-RR-C余弦值的最小值为三 …(17分） 8 3 5