精品解析：河北省石家庄市辛集市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

辛集市2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式. 【详解】连接，如下图所示： 因为为的中点，则， 因为点在上，且，则， 因为， 故选：B. 3. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将曲线方程化为，利用直线与曲线位置关系，结合图形即可求解. 【详解】依题意，曲线的方程可化为：它表示以原点为圆心，2为半径的右半圆，如图： 直线过定点， 直线与相切时，可得，解得， 直线过点时，， 根据图形，结合对称性可得，直线与曲线有两个交点时， 实数的取值范围是. 故选：D. 4. 直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线， 因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 因为，所以，或. 故选：B. 5. 点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，记， ，， 中，由余弦定理得，又， ， . 故选：B. 6. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案； 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 7. 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ） A. 不存在 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 8. 已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D.若，则下列说法不正确的是（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是4 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接DE，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接AF，FB，利用抛物线的几何性质可得A，B，F三点共线，结合直角三角形DAB边的关系可计算得到直线的倾斜角，从而利用直线方程和抛物线方程联立求出交点的坐标后可求，故可判断各项的正误. 【详解】如图，连接DE，则DE为圆E的半径， 对于A，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T， 连接AF，FB，则， 故A，B，F三点共线，故A正确； 对于B，因为AB为直径，故， 而，故，而为等腰三角形， 故，故， 所以即直线l的倾斜角为，故其斜率为，故B错误；. 对于C，设，由可得， 所以，故， 故，故C正确； 对于D，由得， 所以圆E的直径是8即其半径为4，故D正确． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆和圆的交点为、，则有（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两圆作差，可得出公共弦所在直线的方程，可判断A选项；分析可知，垂直平分线段，求出直线的方程，可判断B选项；利用几何法求出公共弦的长，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，将两圆方程作差可得， 所以，公共弦所在的直线方程为，A对； 对于B选项，因为，，， 所以，，则， 又因为，由等腰三角形三线合一的性质可知，垂直平分线段， ，所以，直线的方程为，即， 故线段的中垂线方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为， 所以，，C错； 对于D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为，D对. 故选：ABD. 10. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 点A到平面的距离为 D. 平面与平面所成的角的大小为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间坐标系所示，利用异面直线的向量求法可判断A正确，由线面角的向量表示可判断B错误，再根据点到面的距离的向量求法可得C正确；再由面面角的向量求法可得D错误. 【详解】∵为圆O的直径，且，，∴为直角三角形，， 设， 由E为的中点可得， 解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示： ，，，，， 则，，，， 对于A，易知， 所以异面直线与所成角的余弦值为，选项A正确； 对于B，设平面的法向量为，，即， 取，， 设与平面所成的角为，则，选项B不正确； 对于C，点A到平面的距离为，选项C正确. 对于D，设平面的法向量为，， 则，即，取， ，， 所以平面与平面的夹角大小为90°，选项D不正确. 故选：AC. 11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是的一条渐近线 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件求直线的斜率，再由确定直线斜率判断A；首先求出点，并设，根据给定条件，得到双曲线参数的齐次方程判断B、C、D. 【详解】根据题意，设直线， 又直线与圆相切于点，所以， 又，则，而，得， 所以直线是的一条渐近线，A对； 联立，得，联立，得， 若且，则，即， 所以，可得， 即渐近线方程为，B错； 若且，故，即， 化简得，则的离心率为，C对； 若，则，设，故， 得，故， 代入，得，所以，则离心率为，D对； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于B、C、D，根据给定条件得到关于双曲线参数的齐次方程为关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ， . 故答案为： 13. 已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解. 【详解】如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，， 所以，， 即，代入椭圆方程得，， 即， 又因为， 所以， 即， 所以， 即， 解得，，或， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以离心率为. 故答案为：. 14. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知， （1）求边的高线的方程; （2）求边的中线的方程; （3）求的平分线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因直线即轴，得到边上的高线斜率不存在，又经过点,即得； （2）先求边的中点，再由两点式即可求得； （3）的平分线的斜率为，由两直线的夹角公式列出方程，求得的值，检验后由点斜式即得. 【小问1详解】 依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点， 故边的高线的方程为； 【小问2详解】 边的中点为,因边的中线经过点 故中线方程为：，即； 【小问3详解】 如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为, 则由，解得或. 当时，由图知，显然不符合题意； 当时，因，则的平分线的方程为，即. 16. 已知直线，圆 （1）求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】（1）证明：直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）5 【解析】 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 17. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为是正三角形，是的中点， 所以. 又因为平面平面， 平面， 所以面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明，； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再代入点到平面的距离， 求解； （3）根据，求得点的坐标，再根据（2）的结果求点到平面的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求，结合体积公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为， 由，得 ， 点到平面的距离 【小问3详解】 设 所以点到面的距离为定值 . ， 解得：或. 18. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. （1）求这两条曲线的方程； （2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； （3）若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【小问1详解】 设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. 【小问2详解】 曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. 【小问3详解】 不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 19. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. （1）求拋物线的标准方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 设， 则，解得，即， 将代入抛物线，解得， 拋物线的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为， 则直线的方程为， 则直线的方程为， 设点， 联立，得， 由韦达定理，， 即，同理， 故， 所以， 故， 综上所述，直线的斜率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辛集市2024－2025学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学 注意事项： 1、考试时间120分钟，满分150分，另附加卷面分5分. 2、答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应的位置. 3、全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（ ） A. 不存在 B. 8 C. 7 D. 6 8. 已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D.若，则下列说法不正确的是（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆和圆的交点为、，则有（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 10. 如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，若三棱锥的体积为2，则下列结论正确的有（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 直线与平面所成的角的余弦值为 C. 点A到平面的距离为 D. 平面与平面所成的角的大小为 11. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线是的一条渐近线 B. 若，则的渐近线方程为 C. 若，则的离心率为 D. 若，则的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______． 13. 已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为______． 14. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知， （1）求边的高线的方程; （2）求边的中线的方程; （3）求的平分线的方程. 16. 已知直线，圆 （1）求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 17. 如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 18. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. （1）求这两条曲线的方程； （2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； （3）若为两条曲线的交点，求的余弦值. 19. 已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. （1）求拋物线的标准方程； （2）设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $