立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题、翻折问题 专项训练-2025届高三数学二轮复习

立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题、翻折问题专项训练 立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题、翻折问题专项训练 考点一 动点问题 1．（24-25高三上·湖北·期末）如图在多面体中，四边形是菱形，，平面，， (1)若为中点，证明：平面 (2)在棱上有一点，且到平面的距离为，求二面角的正弦值. 2．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 3．（24-25高二上·山东淄博·期末）如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . (1)证明: (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点是平面内的动点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E在棱PD上，且，点F是棱PC上的动点． (1)若F为棱PC的中点，证明：平面AEF； (2)若直线PA与平面AEF所成角的正弦值为，求． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点. (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 6．（24-25高三上·河南·期末）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 考点二 边长缺失问题 1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 2．（24-25高三上·北京石景山·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 3．（24-25高三上·广西·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD. (1)证明：平面PAF. (2)若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长. 4．（山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期期末数学试题）已知三棱锥中，平面，且平面平面为棱的中点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的大小为，求的值． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在三棱锥中，平面ABC，，， (1)求证：平面平面 (2)若二面角的余弦值为，求PA的长度. 6．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，多面体中，平面平面是的中点. (1)证明：平面. (2)若，且二面角的余弦值为，求的长. 考点三 最值问题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. (1)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值. 2．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. (1)证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. (2)若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 5．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1)求证：平面ACDE； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． 6．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面为的中点，点在上，且，设点是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若，判断直线是否在平面内，说明理由. 考点四 翻折问题 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）如图1，在直角梯形中，，，，，，过点作于点，将沿折叠至处（如图2），使得平面平面，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 2．（24-25高三上·山西·期末）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 4．（23-24高三下·广西·阶段练习）在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，. (1)证明：平面； (2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 5．（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接. (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，． (1)求证：面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题、翻折问题专项训练 立体几何：动点问题、边长缺失问题、最值问题、翻折问题专项训练 考点一 动点问题 1．（24-25高三上·湖北·期末）如图在多面体中，四边形是菱形，，平面，， (1)若为中点，证明：平面 (2)在棱上有一点，且到平面的距离为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于，连接， 是菱形，，且是的中点， 且，，， 且，四边形是平行四边形，， 又平面，平面，， 又因为，且、平面， 平面，平面， 又平面，， 四边形是菱形，，， ，为中点， ，又因为，且、平面， 平面； （2），平面， 平面且， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则， 取，得到， ， 故平面的一个法向量为， 在棱上，设， 点到平面的距离， ，故， 又，， 设平面的法向量为， ， 取，得y2，z2， 故平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， ， 综上，二面角的正弦值为 2．（24-25高二上·重庆·期末）如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. (1)当时，求证：平面； (2)当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 3．（24-25高二上·山东淄博·期末）如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， . (1)证明: (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点是平面内的动点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，平面， 所以，又，平面，， 所以平面，平面， 所以， （2）由（1）平面， 如下图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为，，，所以， 因为，，，所以， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值； （3）由（1）平面，所以为平面的一个法向量， 由（2）为平面的一个法向量， 因为平面，所以，设，， 设平面的法向量为，又，， 则，即，取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以. 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，底面ABCD，，点E在棱PD上，且，点F是棱PC上的动点． (1)若F为棱PC的中点，证明：平面AEF； (2)若直线PA与平面AEF所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由四棱锥底面为正方形，底面，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 不妨令，点在棱上，且， 则， 由是棱的中点，得，， 设平面的法向量，则，令，得， 而，则，即，又平面， 所以平面. （2）设与平面所成的角为，由（1）知，， 设，则， 设平面的法向量，则， 令，得，而， 因此， 解得，即，所以. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，，为的中点，为线段上一点.    (1)若为的中点，证明：平面； (2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的三等分点 【详解】（1）证明：连接，则四边形为平行四边形， 由于平面，故平面，平面, 故,结合为的中点，故为等腰三角形， 可得，，所以，即， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以，易知， 且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以， 又，所以平面. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，.    设，，所以， 又， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 因为，设直线与平面所成角为， 则， 整理得，即或， 所以，当点为线段的三等分点时， 直线与平面所成角的正弦值为. 6．（24-25高三上·河南·期末）如图，在多面体中，四边形为直角梯形，且满足平面. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【详解】（1）证明：因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. （2）因为平面平面，所以， 又， 以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以 设平面的法向量为，则 令，得，所以. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 设， 则 , 解得或. 所以线段上存在点，当或时， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 考点二 边长缺失问题 1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）如图，在直三棱柱中，，二面角为直二面角．点为棱的中点，棱与平面相交于点． (1)求证：为棱的中点； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）证明：因为直三棱柱，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以． 又为的中点，所以为的中点． （2）方法一：由直三棱柱得平面， 又平面，所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以． 如图，以点为原点，分别以，为轴建立空间直角坐标系． 设，则，， 所以，，． 设为平面的法向量，则即 不妨取，则是平面的一个法向量， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 解之得，即． 方法二：在平面内，过点作，垂足为，连接， 由直三棱柱得平面，又平面， 所以，， 所以即为二面角的平面角． 又二面角为直二面角，所以，即， 又，，平面，所以平面． 又平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角． 设，因为，， 所以，所以， 解之得，即． 2．（24-25高三上·北京石景山·期末）如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为1的正方形，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，或 【详解】（1）如下图，连接交于点，可得点是的中点，连接， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为四边形是边长为1的正方形，所以， 又因为平面，平面， 所以， 由，平面， 得平面，又平面， 所以； （3）因为平面，平面，所以， 由，，平面， 得平面，设， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面的一个法向量，则 ，即，令，得， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或，由，得，或， 所以，或. 3．（24-25高三上·广西·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD. (1)证明：平面PAF. (2)若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)2或. 【详解】（1）取的中点，连接，则且， 由底面为菱形，为的中点，则且， 所以且，即四边形为平行四边形，所以， 由面，面，故平面PAF. （2）取的中点，连接，又，所以， 因为面面ABCD，面面ABCD，面， 所以面ABCD， 由底面为菱形，，则为正三角形，所以， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，，， 令面的一个法向量为，则， 令，则， 设直线与平面的夹角为，则， 可得或，故或. 4．（山西省吕梁市2024-2025学年高三上学期期末数学试题）已知三棱锥中，平面，且平面平面为棱的中点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的大小为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为PC的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 平面，因此． 由平面平面，得． 又平面，所以平面， 即． （2）如图， 以为坐标原点，射线分别为轴的正半轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 由于平面，所以是平面的一个法向量， 由（1）知，，又平面，所以，平面，所以是平面的一个法向量． 若面与面夹角的大小为， 则， 解得，所以． 故当平面与平面的夹角的大小为时，． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末）在三棱锥中，平面ABC，，，    (1)求证：平面平面 (2)若二面角的余弦值为，求PA的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在中，，，， ，可得，，， 平面ABC，平面ABC，， ，，，CA，平面PAC，平面PAC， 平面PBC，平面平面PBC； （2）以CB，CA所在的直线为x，y轴，C为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，   ，，，，， 设，则， ，，， 设平面APB和平面PBC的法向量分别为，， 则，即，令，可得， 同理，即，令，可得， 显然二面角的平面角为锐角，记为， ，即， 或舍去，故 6．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）如图，多面体中，平面平面是的中点. (1)证明：平面. (2)若，且二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以； 因为平面平面ABC，所以平面. （2） 如图所示建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设为平面的法向量， 则有得， 令，得， 显然平面的一个法向量可以为， 因为二面角大小余弦值为，所以有 . 解得，即的长为3. 考点三 最值问题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）如图①，在中，，，，分别是，上的点，满足，且经过的重心.将沿折起到的位置（如图②），使平面，存在动点，使. (1)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (2)设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由题可知，，，两两垂直， 翻折前，因为经过的重心，且， 所以， 所以，，， 翻折后， 由勾股定理得， 以为原点，直线，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 可得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）由（1）可知，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 且， 因为直线与平面所成角为， 则，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 2．（2025·湖南邵阳·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，E，F分别为AD，AB的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面； (3)若，P是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【详解】（1），，所以 又，， 又，，，. （2）在直四棱柱中，平面，又平面，所以，， ，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，，. ，，， 设为平面的一个法向量， 令，得，. 设平面的一个法向量，则，取. ，又平面与平面不重合， 平面平面. （3）当时，为平面的一个法向量，， 则， 设， ，， 设直线与平面所成角为， ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为． (1)证明：平面； (2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在正方形中，， 因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为，平面平面且平面平面，平面， 所以平面，则平面． （2）取中点记为，中点记为，连接，所以， 连接，因为为等腰三角形，所以， 所以，，两两垂直， 如图建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，， 令，所以，，， 记平面的一个法向量，则， 可取，记直线与平面所成的角为， 则， 当时，，当时， ， 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 4．（2025·甘肃白银·模拟预测）在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. (1)证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. (2)若，动点在内部及边界上运动，且，求异面直线与所成角的最小值. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【详解】（1）①如图①，四边形与四边形均为直角梯形，，故， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面，因为平面， 所以平面平面.      ②如图②，在梯形中，延长交于点，   平面平面，同理平面， 又平面平面. 故直线相交于点， 又由（1）可知：平面平面， 故多面体是三棱台. （2）四边形与四边形均为直角梯形，， ，又，平面，平面， 又动点在内部及边界上运动，且， 是等腰直角三角形，， 点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆（在内部及边界上）. 如图以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， . 设异面直线与所成角为，则 ， 设（取为锐角）， 则. ，且为锐角，， ， 当，即时，异面直线与所成角取得最小值.    5．（2024·重庆·模拟预测）如图，ACDE为菱形，，，平面平面ABC，点F在AB上，且，M，N分别在直线CD，AB上． (1)求证：平面ACDE； (2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若，MN为直线CD，AB的公垂线，求的值； (3)记直线BE与平面ABC所成角为，若，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），， 所以，，， ，则， 又因为平面平面ABC，平面平面面， 故平面ACDE； （2）以C为原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 由，可得，， 所以 所以，， 设，则， 设，则，， 由题知，， 解得，，故； （3），设， 则，， 可取平面ABC的法向量， 则， ， 则， 整理得，故， ，，， 记平面CDF的法向量为，则有， 可得， 记平面CBD的法向量为，则有， 可得， 记平面BCD与平面CFD所成角为， 则，， 所以，， 故． 6．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在四棱锥中，平面为的中点，点在上，且，设点是线段上（含端点）的一动点. (1)求证：平面； (2)设与平面所成角为，求的范围； (3)若，判断直线是否在平面内，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)直线平面，理由见解析 【详解】（1）因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2）在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，      则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故. （3）由以及（2）得， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故， 所以直线平面. 考点四 翻折问题 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）如图1，在直角梯形中，，，，，，过点作于点，将沿折叠至处（如图2），使得平面平面，为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接． ，， ． ，， 四边形是矩形，为的中点， 又为的中点，， 又平面，平面， 平面， （2）平面平面，平面平面，， 平面，平面， 又平面，， 两两垂直， 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ，，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，， ， 平面与平面夹角的正弦值为. 2．（24-25高三上·山西·期末）如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）如图，在矩形中，点分别在线段上，.沿直线将翻折成，使平面平面. (1)证明：； (2)求二面角的余弦值； (3)点，分别在线段、上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1） 取中点，连接. ∵，∴，由折叠得. ∵平面，∴平面. ∵平面，∴. （2）∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面. ∵， ∴. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则，取. 由题意得，平面的法向量为， ∴， 由图可得二面角的平面角为锐角，∴二面角的余弦值为. （3）连接. 设，则. ∵翻折后与重合，∴， 由（2）得，，， ∴，解得，即. 4．（23-24高三下·广西·阶段练习）在中，，，D为边上一点，，E为上一点，，将沿翻折，使A到处，.    (1)证明：平面； (2)若射线上存在点M，使，且与平面所成角的正弦值为，求λ. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由题意知，， 又，所以平面， 又平面，所以， 又，，所以平面 （2）作，垂直为Q，由（1）知，平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面 故以B为原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，，，， 又， 所以，故， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则 设与平面所成角为θ， 则， 解得或， 由题意知，故.    5．（2024·河南驻马店·二模）在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接.    (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【详解】（1）证明：.    在菱形中，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以，， 又， ， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）在菱形中，因为，所以和都是正三角形， 取的中点，连接，则， 又平面，所以，即两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 则，. 设平面的法向量为，则 取，则. 记直线与平面所成角为， 则.， 解得，即的值为2. 6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，． (1)求证：面； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以， 所以，，，，， 则，所以，又，即，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面． （2） 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$