解析几何：新定义问题 专项训练-2025届高三数学二轮复习

解析几何新定义问题专项训练 解析几何新定义问题专项训练 考点一 解析几何新定义 1．（24-25高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建宁德·期末）加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（   ） A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为 C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14 3．（22-23高二上·四川德阳·期末）如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，于此曲线，给出如下结论： ①曲线C的图象关于原点对称 ②曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，S是表示的图形的面积，则（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（2024·四川达州·二模）如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算.若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·河南·二模）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东潍坊·期末·多选）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（    ） A．关于原点成中心对称 B．上满足的点有2个 C．面积的最大值为 D．当直线与有3个交点时，的取值范围是 10．（24-25高三下·山东·开学考试·多选）已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（    ） A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成 B．当时，关于原点中心对称 C．当时，为轴对称图形 D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形 11．（2025·江西·一模·多选）我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（    ） A．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C．若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D．若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 12．（24-25高二上·四川成都·期末）若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为 ． 13．（24-25高二上·北京·阶段练习）造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 . ①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）； ②若点位于椭圆上，且，则的离心率为； ③点与原点之间的距离不超过； ④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或. 14．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 . 15．（24-25高二上·河北邢台·期末）若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线. 16．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 17．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 18．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（24-25高三上·重庆·阶段练习）定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，判断：在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何新定义问题专项训练 解析几何新定义问题专项训练 考点一 解析几何新定义 1．（24-25高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：上的两个动点，动点P在直线上，若恒成立，则E的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为， 其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直， 因此当直线与圆相离时，， 由，解得. 所以离心率. 故选：A 2．（24-25高二上·福建宁德·期末）加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家.他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（   ） A．椭圆M的离心率为 B．椭圆M的蒙日圆方程为 C．若G为正方形，则G的边长为 D．长方形G的面积的最大值为14 【答案】D 【详解】已知椭圆，则，，， 结合题意得，该椭圆的“蒙日圆”的半径为， 对于A，椭圆M的离心率为，正确； 对于B，椭圆M的蒙日圆方程为，正确； 对于C，若G为正方形，设G的边长为m，则，即，正确； 对于D，G的长为m，宽为n，则，则， 当且仅当时取等号，即长方形G的面积的最大值为28，错误． 故选：D 3．（22-23高二上·四川德阳·期末）如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，于此曲线，给出如下结论： ①曲线C的图象关于原点对称 ②曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】①，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程， 即方程成立， 可得成立， 即点关于原点的对称点也适合曲线方程， 所以曲线的图象关于原点对称，故①正确； ②，方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得， 若是整数，则. 令，，解得或3或，有三个整点，，； 令，，解得或5，此时无整点； 所以曲线共经过3个整点，故②错误； ③，设曲线C上任一点， 当为原点时，到原点的距离为，满足题意； 当不为原点时，， 则由可得，， 所以点到原点的距离，且； 综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故③正确； ④，直线恒过原点，且曲线C经过， 则直线与曲线至少一个公共点， 又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点. 联立， 消得， 当时，方程仅一解，满足题意； 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解， 当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意； 综上，，解得或，故④正确. 故选：B. 4．（24-25高二上·山西太原·阶段练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，，解得， 则，则圆半径的平方等于，且圆心为原点， 则圆的方程为. 故选：B. 5．（24-25高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设， 因为， 又点为半椭圆上一点，所以， 所以 ， 因为存在， 所以， 即在上有解， 因为， 且， 所以在上有解， 即在上有解，所以 又因为， 所以， 即，解得， 故选：D 6．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间的距离的最大值，S是表示的图形的面积，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设是或上任意一点， 则关于原点对称点为代入方程或，方程式都不变， 所以和都关于原点对称， 设是或上任意一点， 则关于直线对称点为代入方程和，方程式都不变， 则直线是或的对称轴， 设点是或任一点， 则关于对称点为代入方程和，方程式都不变， 则直线是和的对称轴， 由，得或，即， 即椭圆的两个顶点， 由，解得或，即， 即椭圆的两个顶点， 则表示椭圆除去第二，四象限部分； 表示椭圆除去第一，三象限部分； 画出图象如图：    又是中两点间的距离的最大值， 所以椭圆上两点间的距离最大值为长轴长， 即， 又四边形的面积为，所以， 故选：A 7．（2024·四川达州·二模）如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体.已知椭圆绕短轴旋转得到的椭圆体的体积和表面积可以用公式和计算.若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得 ，可得 ，可得 ， 所以表面积 ， 则 ， 令 ，可得 ， 故 时，， 所以函数 在 上单调递增， 而， 所以 . 故选：C. 8．（2024·河南·二模）从椭圆外一点向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线称作点关于椭圆的极线，其方程为.现有如图所示的两个椭圆，离心率分别为，内含于，椭圆上的任意一点关于的极线为，若原点到直线的距离为1，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，椭圆方程：，椭圆方程：，则有① 由极线的定义得直线的方程为， 原点到直线的距离，化简得②， 对比①②式得出，则有， 所以. 当且仅当，即时取等，此时. 故选：D. 9．（24-25高二上·山东潍坊·期末·多选）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努利用来描述他发现的曲线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是时的双纽线上一点，则（    ） A．关于原点成中心对称 B．上满足的点有2个 C．面积的最大值为 D．当直线与有3个交点时，的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，设动点，由题可得的轨迹方程， 把关于原点对称的点 代入轨迹方程显然成立，故A正确； 对于B，时的双纽线的方程为， 若，则在的中垂线轴上，故此时， 代入得，即，所以只有一个点，故B错误； 对于C，因为，是上的一点， 故， 当，即时等号成立， 下面说明垂直时可取到， ，则， 代入， 得，解得，故C正确； 对于D，直线与有3个交点时， 联立与， 得，当时，适合上述方程， 当时，， 即，则，则， 所以直线与有3个交点时，的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 10．（24-25高三下·山东·开学考试·多选）已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（    ） A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成 B．当时，关于原点中心对称 C．当时，为轴对称图形 D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形 【答案】AC 【详解】对于A，设，由题意得点到点的距离 与点到y轴的距离的差为定值，得到， 当时，，则， 两边同时平方得，得到， 即，当时，方程化为， 当时，方程化为，即， 此时由抛物线和x轴的负半轴构成，故A正确， 对于B，因为，所以， 当时，两边同时平方得， 则，化简得， 令，此时曲线方程为，我们发现点在曲线上， 找关于原点中心对称的点为， 将其代入方程，则不在曲线上， 即不可能关于原点中心对称，故B错误， 对于C，由已知得曲线方程为，由已知得， 设，将其代入曲线方程，得到， 则在曲线上，故曲线关于轴对称，即为轴对称图形，故C正确， 对于D，由已知得，令， 故，解得或， 结合已知条件此时方程为， 当时，方程化为，此时，不存在这样的曲线， 当时，方程化为，此时，不存在这样的曲线， 则当时，不可能是由两部分抛物线构成的封闭图形，故D错误. 故选：AC 11．（2025·江西·一模·多选）我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（    ） A．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为 B．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于 C．若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则 D．若为拉梅曲线上第一象限内一点，则 【答案】BCD 【详解】当时，拉梅曲线方程为为菱形，与坐标轴交于点，， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确． 当时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线在第一象限的情形， 此时由可得，下证， 即证，即证， 即证，即证，即证， 即证，即证，这显然成立． 因为（）表示圆心为，半径为a的四分之一圆弧， 所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为， 则拉梅曲线与第一象限围成的封闭区域的面积小于， 则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于，B正确． 当拉梅曲线与曲线恰有4个公共点时， 根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由， 整理得恰有1个正根，则， 解得，即，C正确． 若为拉梅曲线上第一象限内一点， 则，从而，D正确． 故选：BCD． 12．（24-25高二上·四川成都·期末）若点在椭圆上，则称点为点的一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为 ． 【答案】 【详解】设，，则，， 以线段为直径的圆经过坐标原点，， 由得：， ，即， ，， ， ，解得：（满足）， 的值为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·北京·阶段练习）造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 . ①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）； ②若点位于椭圆上，且，则的离心率为； ③点与原点之间的距离不超过； ④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或. 【答案】①③④ 【详解】对于①，由题意可知， 设，则， 化简，即轨迹的方程为； 令，则，整理可得， 则，解得； 当时，或或， 当时，或，故经过整点，因此轨迹仅经过一个整点，即①正确； 对于②，若点位于椭圆上，所以， 则， 可得，又，所以； 可得，可得的离心率为，即②错误； 对于③，当点与点重合时，点与点之间的距离为0； 当点与点不重合时，点与点之间的距离为， 则点与点之间的距离不超过，即③正确； 对于④，因为直线与曲线有且仅有一个公共点，直线和曲线都经过原点， 因此除原点外，直线与曲线再无公共点， 由可得， 因此当时，方程无解，则， 解得或，即④正确. 故答案为：①③④ 14．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 . 【答案】/ 【详解】由双曲线可知，. 则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为， 由已知可得， 所以为圆的直径，所以. 又，所以. 所以的周长为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·河北邢台·期末）若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由题，，即， 又，所以，， 所以椭圆方程为： （2）设“相伴点对”的坐标为， 根据定义： 点的坐标满足所以或 于是有两个点满足，且点的坐标为． （3）由（2），，所以， 设 , ,, 直线方程为， 由，得， 其中， 又，代入整理得， ，，所以， ， 同理， ， 由得， 由， ， 所以， 所以三点共线． 16．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 17．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为    (1)求a的值; (2)当点在C上时，求证： (3)如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为O在曲线上，所以O到的距离为，而， 所以有，即 （2）方法一：因为，所以曲线C的方程为， 可化为，即， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法二：同上曲线C的方程为， 因此， 所以，当且仅当且时取等号. 方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R， 则根据定义， 因此，即， 所以，当且仅当且时取等号.    （3）由，得 当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时 当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设， ，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为， 联立 化简得到， 所以 则， 故， ， 同理，所以， 令， 令， 因为， 所以，即， 所以在上单调递增，当，即时，， 此时， 综上所述四边形面积的最小值为 18．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，轨迹是以为圆心、为半径的圆 (2)（i）；（ii）存在，点 【详解】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 19．（24-25高三上·重庆·阶段练习）定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于、两点，且点在点上方．当轴时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求四边形的面积； (3)已知为坐标原点，设，点的轨迹为曲线，判断：在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)直线为的等线，理由见解析 【详解】（1）在双曲线的方程中，令，解得，因为直线为的等线，显然点在直线的上方，故有， 又、，有，，解得，，所以的方程为； （2）设，由题意有方程为①， 双曲线渐近线方程为，联立得，， 故，所以是线段的中点， 因为、到过原点的直线距离相等，则过原点点的等线必定满足：、到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点，即直线的方程为， 由，解得，故． 所以，所以， 所以，所以； （3）设，由，所以，， 故曲线的方程为，由①知切线为，也为， 即，易知与在的右侧，在的左侧， 分别记、，到的距离为、、， 由（2）知，， 所以， 由得，， 因为， 所以直线为的等线． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$