解析几何：面积问题与周长问题 专项训练-2025届高三数学二轮复习

解析几何：面积问题与周长问题专项训练 解析几何：面积问题与周长问题专项训练 考点一 三角形的面积问题 1．（24-25高二上·天津河西·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点. (1)求的方程； (2)设过点的动直线与E相交于两点.当的面积最大时，求的方程. 2．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 3．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知圆A：，圆B：，圆C与圆A、圆B都外切，记圆心C的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)过点的直线交E于M，N两点，与直线交于点T，过点T作x轴的平行线l，直线OM，ON与直线l分别交于S，Q两点，证明：与的面积相等． 5．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点对称P是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线与分别与直线交于点M，N，问是否存在点P使得的面积是的面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 6．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，为上一点，且当时，的面积为． (1)求的方程； (2)过分别向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，求的面积． 考点二 四边形的面积问题 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线. (1)求的标准方程； (2)若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 2．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点. （i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程； （ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 4．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D． （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 5．（24-25高三上·山东烟台·阶段练习）已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. (1)求椭圆的方程； (2)若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (3)求四边形的面积的最小值. 6．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围. 考点三 周长问题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线（其中为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线的离心率为，双曲线的蒙日圆方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过蒙日圆上一点作双曲线的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，求的周长. 2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数.其中，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明轨迹的形状； (2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点. ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为S，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示），直接写出结果，不必证朋；若不存在，请简要说明理由. 3．（2024·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点． (1)求证：点为定点； (2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长． 4．（2024·上海金山·二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、． (1)证明：点到右焦点的距离为； (2)设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； (3)当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 5．（2024·山西朔州·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上． (1)求抛物线和圆的标准方程； (2)若是轴上的两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标． 6．（23-24高二下·青海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：面积问题与周长问题专项训练 解析几何：面积问题与周长问题专项训练 考点一 三角形的面积问题 1．（24-25高二上·天津河西·期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点. (1)求的方程； (2)设过点的动直线与E相交于两点.当的面积最大时，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，因为直线的斜率为， 所以，解得，而椭圆的离心率为， 故，解得，则，故椭圆方程为. （2）当直线斜率不存在时，不符合题意，排除， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，，得到， 因为直线与E相交于两点，所以， 解得或，且设， 由韦达定理得， 由弦长公式得， ， 设点到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 故， 令，则， 得到， 当且仅当时取等，此时解得(负根舍去)， 此时，解得，满足或， 此时得到直线方程为. 2．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）由已知得，，解得， 故， 即椭圆的方程为； （2）设直线的方程为， 设，，中点， 联立直线与椭圆，得  ①， 由韦达定理，，， 由题意，，因此的斜率为，解得， 此时①式为，， 点到直线的距离， 所以的面积 3．（24-25高二上·山西运城·期末）已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)不过坐标原点的直线与点的轨迹相交于两点，且以线段为直径的圆过点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在抛物线上，所以，化简得， 所以点的轨迹方程为 （2）设， 由，得， 由，得， ， 所以， 因为以为直径的圆过点，所以，即， 所以，解得，或（舍去）. 所以， 又原点到直线的距离为， 所以的面积. 4．（24-25高三上·安徽宣城·期末）已知圆A：，圆B：，圆C与圆A、圆B都外切，记圆心C的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)过点的直线交E于M，N两点，与直线交于点T，过点T作x轴的平行线l，直线OM，ON与直线l分别交于S，Q两点，证明：与的面积相等． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设圆C的半径为r，又圆C与圆A、圆B外切，所以，， 则，故点C的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的一支， 所以曲线E的方程为. （2）由题意，直线MN斜率存在且不为0，设直线MN为，，， 其中且， 联立方程组，消去x有， 则，，， 直线MN：与直线的交点， 直线MO：与直线l：的交点， 直线NO：与直线l：的交点， 由于 ， 故点T是QS的中点，所以与的面积相等． 5．（23-24高三上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系中，点B与点关于原点对称P是动点，且直线与的斜率之积等于． (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线与分别与直线交于点M，N，问是否存在点P使得的面积是的面积的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为点与点关于原点对称，所以。 设，直线的斜率，直线的斜率。 已知直线与的斜率之积等于，则，即。 化简可得：，进一步变形为。 得到，即。 （2）若存在点P使得的面积是的面积的3倍，如图，    设点P的坐标为，则 因为，所以，所以， 即，由于，则， 解得，因为，所以， 故存在点P使得的面积是的面积的3倍，此时点P的坐标为. 6．（2024·江西·模拟预测）已知双曲线的离心率为分别为的左、右焦点，为上一点，且当时，的面积为． (1)求的方程； (2)过分别向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设的半焦距为，由题意知，所以，所以， 因为点在上，所以，所以①， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以②， 由②①，得． 因为的面积为，即， 所以，又，所以，故的方程为． （2）    由①知，故的渐近线方程为或． 设，则，故， 由题意知，线段的长度分别等于点到两条渐近线的距离， ． 设渐近线的倾斜角为，则，或， 所以， 因为，所以， 所以的面积． 考点二 四边形的面积问题 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离之比为，记的轨迹为曲线. (1)求的标准方程； (2)若直线过点交右支于，两点，直线过点且交E的右支于、D两点，且记，的中点分别为，，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，， （i）证明：O、P、Q三点共线； （ii）求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设点，因为点到点的距离与到直线的距离之比为， 所以 ，整理得， 所以的标准方程为. （2）（i）由题意可知直线和直线斜率若存在则均不为0且不为， ①直线的斜率不存在时，P、Q都在x轴上，O、P、Q三点共线. ②直线斜率存在时，则可设方程为，、，. 由得， 所以，,，所以， 同理，因为，所以，所以，所以O、P、Q三点共线. 综上，O、P、Q三点共线. （ii）由题意可知直线和直线斜率若存在则斜率大于1或小于， 且曲线E的渐近线方程为， 故可分别设直线和直线的方程为和，且， 联立得，设、， 则， ，， 故， 因为P是中点，所以即， 同理可得， 所以P到两渐近线的距离分别为， ， Q到两渐近线的距离分别为， ， 由上知两渐近线垂直，故四边形是矩形，连接， 则四边形面积为 ， 因为，所以， 所以， 所以四边形面积的取值范围为. 2．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知分别为椭圆的左，右焦点，为的上顶点，点为椭圆上的一个动点，且三角形面积的最大值为1，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)如图，过点作两直线分别与椭圆相交于点和点. （i）若点不在坐标轴上，且，求直线的方程； （ii）若直线斜率都存在，且，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意得，， 故，. 故椭圆的标准方程为. （2）如图： （i）设的倾斜角为的倾斜角为，则，所以， 又， 所以. 由题意的斜率不为零，设 联立得， 恒成立. 设，则 ， 又，所以， 即，所以， 因为，所以，所以的方程为 （ii）设， 联立，化简得，故恒成立. 由韦达定理得：， ， 因为，所以 同理 所以 ，当且仅当，即 时，取等号. 所以，当时，四边形面积的最小值为. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，得，所以， 因为在椭圆上，则，解得， 因为，解得，所以， 所以椭圆的标准方程． （2）①当直线的斜率不存在时，矩形的面积为； ②当直线的斜率为0时，矩形的面积为； ③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，解得， 则平行线，的方程为和， 因为为矩形，所以即为平行线，之间的距离， 所以， 同理可得， 所以矩形的面积 ， 令，所以， 又，所以，则， 当，即时，取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，矩形面积的取值范围是． 4．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点C，连接线段并延长交椭圆于点D． （i）证明：点在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）6 【详解】（1）由题知双曲线即，其焦点坐标为， 故椭圆的焦点为为椭圆焦半距）， 故可设椭圆的方程为，将点代入可解得， 则 所以椭圆的方程为 （2）（i）由题意知，由椭圆对称性可知， 不妨设； 根据题意可知直线斜率均存在，且； 所以直线的方程为，的方程为； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得，. ，解得， 则； 联立直线和椭圆方程得， 消去可得； ，解得，则； 则， ； 所以； 即可知为钝角，所以点在以为直径的圆内； （ii）四边形的面积为 ， 设，则，当且仅当时等号成立； 又在上单调递增，所以， 可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点的坐标为， 由对称性可知，即当点的坐标为或时， 四边形的面积最大，最大值为6. 5．（24-25高三上·山东烟台·阶段练习）已知椭圆左、右焦点分别为，，点在椭圆上，过的直线交椭圆于B、D两点，过的直线交椭圆于A、C两点，且，当直线的斜率为0时，. (1)求椭圆的方程； (2)若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围； (3)求四边形的面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当直线的斜率为0时，直线垂直于轴， 所以，，所以， 因为在椭圆上，所以， 解得，，所以椭圆方程为； （2），，设，则， 因为， 所以的取值范围为； （3）（ⅰ）当的斜率存在且时，设的方程为，代入椭圆方程， 并化简得. 设，， 而恒成立， 则，， . 因为，所以的斜率为， 同理得. 四边形的面积， 当且仅当时，上式取等号. （ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积为 . 综上，四边形的面积的最小值为. 6．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由垂直平分线的性质可得，故， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆,且，故， 故椭圆方程为. （2）不妨设直线方程为，分别延长,与椭圆相交于另一点，，连接, 由于，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 联立得， 设， 则， 故 ， 点到直线的距离为， 因此， 令，则，， 故， 由于，故单调递增，故，当且仅当时取等号， 故， 因此， 由于是平行四边形对角线的交点，过点，因此四边形与四边形全等， 故,因此. 考点三 周长问题 1．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：在双曲线中（如图），任意两条互相垂直的切线（其中为切点）的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.反之，双曲线的蒙日圆上任一点作双曲线的两条切线，两条切线垂直.已知双曲线的离心率为，双曲线的蒙日圆方程为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)过蒙日圆上一点作双曲线的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线离心率可知，则. 由题意可知：蒙日圆半径. 所以，则双曲线的标准方程为：. （2）由题意知：，则； 所以为蒙日圆的直径，则 因为，则 所以的周长为 2．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数.其中，且，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程，并说明轨迹的形状； (2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点. ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为S，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示），直接写出结果，不必证朋；若不存在，请简要说明理由. 【答案】(1)的方程为，当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；当时，曲线是焦点在轴上的双曲线. (2)①证明见解析；②存在， 【详解】（1）设点，由题意可知，即， 经化简，得的方程为， 当时，，曲线是焦点在轴上的椭圆； 当时，，曲线是焦点在轴上的双曲线. （2）①法一：由（1）可知的方程为， 设点，其中， 由对称性可知， 因为，所以， 因此，三点共线， 且， 设直线的方程为，联立的方程， 得， 则， 由（1）可知， 所以 ， 所以为定值2； 由椭圆定义，得，， 解得，同理可得， 所以 . 因为，所以的周长为定值. 法二：由（1）可知的方程为， 设点，其中， 由对称性可知， 因为，所以， 因此，三点共线， 且， 由题干条件可得动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数， 设，过点作⊥轴于点，作⊥直线于点， 直线与轴交点为， 则，， 故， 所以，解得， 同理由，解得， 所以， 所以为定值2； 由椭圆定义，得，， 解得，同理可得， 所以 .因为， 所以的周长为定值. ②当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线， 根据①的证明，同理可得三点共线，且， 同理可得， 由双曲线的定义，得， 根据，解得，同理根据， 解得， 所以 ， 由内切圆性质可知，， 当时，（常数）. 因此，存在常数使得恒成立，且. 3．（2024·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点． (1)求证：点为定点； (2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）易知双曲线的右焦点， 由与的右支交与、两点，与的右支交、两点， 设直线的斜率为，则直线：， 由，得， 设，，不妨设， 则，解得或， 又与斜率相反，即与关于轴对称，又、相交于点， 则点与点对称，点与点对称，则与也关于轴对称， 根据对称性可知点一定在轴上，设，又， 所以，所以， 即，解得， 所以直线、相交于点. （2）依题意四边形为等腰梯形，为梯形的中位线， 设、与轴的交点分别为、，则，且与互相平分， 所以， 所以，则四边形为正方形， 所以且斜率为， 所以直线：，则，得，解得或， 则，， 所以，， 则，， 所以， ，， 所以四边形的周长为.    4．（2024·上海金山·二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、． (1)证明：点到右焦点的距离为； (2)设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； (3)当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)直线与圆相切，证明见解析 【详解】（1）由，得； （2）根据题意画出图象，如图， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 由，得， 从而，， 又，， 由与平行，得，解得， 故直线的方程为； （3） 直线与圆相切，证明过程如下： 设直线的方程为， 联立 消去，得， 从而， 由，得，即， 又因为， 即， 化简，整理得， 即，从而， 又圆心到直线的距离， 故直线与圆相切． 5．（2024·山西朔州·一模）已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上． (1)求抛物线和圆的标准方程； (2)若是轴上的两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由抛物线准线方程为，故，即，故， 由圆心在直线上，设，圆的半径为， 则有，， 整理可得，， 即，故，则， 即圆； （2）由题意可得，直线、的斜率存在，设、的斜率分别为、， 则，， 对，令，则，即，同理可得， 则， 同理可得，， 即， 有，则有， 即，, 则， ， 由亦可得， 同理可得， 故、是关于的方程的两个不同根， ， 有，， 则 ， 则当取最大值时，的周长最小， 即，即时，的周长最小， 此时，即的坐标为. 6．（23-24高二下·青海·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点均在C上，且，. (1)若，求C的方程； (2)若，直线AB与y轴交于点P，且，求四边形AF1BF2的周长. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由椭圆定义知，，， 由，得， 若，则为等腰直角三角形，，解得， 所以C的方程为. （2）若，不妨设，，则，且， ，. 由，点P在y轴上，且， 得，且， 由余弦定理得， 整理得，而，则， 同理得， 即，整理得， 令此方程二根为，则，，即有， 则， 解得， 所以四边形AF1BF2的周长为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$