精品解析：福建省南平市2024-2025学年高一上学期期末质量检测数学试题

南平市2024-2025学年第一学期高一年级期末质量检测 数学试题 本试卷共6页.考试时间120分钟.满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 折扇是我国传统文化延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 30 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调 D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 对任意的，，函数满足，且，，则（ ） A. B. 奇函数 C. 4为函数的一个周期 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是____________. 13. 若函数的图象经过第一象限的点，则的最小值为____________. 14. 已知函数在区间上有4个不同零点，则实数的取值范围为______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）已知，求值. 16 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. （1）若点的横坐标为，求的值； （2）求的取值范围. 18. 某湖泊2024年2月底测得水草覆盖面积为48，2024年3月底测得水草覆盖面积为64，水草覆盖面积与月份的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②. （1）求两个函数模型的解析式； （2）若2024年1月底测得水草覆盖面积为36，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080？ （参考数据：，，） 19. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并根据定义证明； （3）是否存在实数，对任意有.若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南平市2024-2025学年第一学期高一年级期末质量检测 数学试题 本试卷共6页.考试时间120分钟.满分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号.考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用解绝对值不等式，再求交集即可. 【详解】由， 则， 故选：C. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充要条件解出或，其中，再来判断必要不充分条件即可. 【详解】由于，所以或，其中， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 折扇是我国传统文化的延续，它常以字画的形式体现我国的传统文化，如图1，图2是某折扇的结构简化图，已知，，若之间的弧长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式，得到，再利用余弦定理求出，即可求出结果. 【详解】因为，，所以， 在中，， 所以，得到， 故选：D 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数、指数函数、三角函数单调性限定出各数的取值范围即可得出结论. 【详解】易知， 而， ， 即可得，所以. 故选：A 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断函数在区间端点处的函数值的符号，利用零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意知，函数连续， 因为只有一个交点，则只有一个根，函数只有一个零点， 因为，， 所以， 所以函数在区间上存在零点， 故选：C. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式展开已知条件，然后两边同时平方，由平方关系及二倍角正弦公式即可求解. 【详解】解：因为，所以，即， 两边同时平方，由平方关系可得， 所以， 故选：D. 7. 已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】由题，当时，单调递增，又是R上的单调函数， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 8. 已知，，（，且；，且；，且；），则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由条件结合换底公式可求的值，相加可得结论. 【详解】由，可得， 同理，可得，， ， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调 D. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由周期公式计算可得A正确，利用代入检验法可判断B正确，根据正弦函数单调性利用整体代换可求得C错误，由平移规则计算可判断D正确. 【详解】对于A，由周期公式计算可得函数的最小正周期为，即A正确； 对于B，将代入检验可得， 因此函数的图象关于点对称，即B正确； 对于C，当时，； 易知在上不单调，所以C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得到，即D正确. 故选：ABD 10. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合不等式及函数单调性可得，检验各选项即可判断． 【详解】因为正实数满足，即， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，则， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 对任意的，，函数满足，且，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 4为函数的一个周期 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A；根据 时 不成立判断B；求出后令可判断C；根据周期性结合可判断D. 【详解】由 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，故 A 正确； 因为 时 ，则不成立，所以 不是奇函数，故 B 错误； 令可得 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 的周期为 4，故 C 正确； 由 ，得 ， 所以 ，故 D 正确. 故选： ACD. 【点睛】方法点睛：函数奇偶性与周期性、抽象函数相结合的问题，多以选择题、填空题的形式呈现，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解，抽象函数问题往往利用赋值法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是____________. 【答案】， 【解析】 【分析】由特称命题的否定可直接得到结论. 【详解】命题“”的否定为“”. 故答案为：. 13. 若函数的图象经过第一象限的点，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得，且，利用“1”的代换变换，由基本不等式求解. 【详解】由题可得，且， 则. 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，所以，从而求出的取值范围． 【详解】，， ∵函数在区间上有且仅有4个零点， ，解得， 即的取值范围是 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）计算的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂和对数的运算求解； （2）法一，利用诱导公式化简式子，根据商数关系弦化切求解；法二，由题可得，代入所求式子得解；法三，由，可得为第一象限角或第三象限角，讨论分别求出得解. 【详解】（1） ； （2）解法一：，则原式； 解法二：，，即， 则原式； 解法三：，为第一象限角或第三象限角， ①当为第一象限角时，，， 则原式； ②当为第三象限角时，，， 则原式. 16. 已知集合，. （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，，根据集合的补集和并集运算求解； （2）由题意可得，分和讨论求解 【小问1详解】 由，得，， 当时，， 或， . 【小问2详解】 由得， ①当时，，可得即，， ②当时，，可得， 即， ， 综上所述，实数的取值范围为. 17. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且. （1）若点的横坐标为，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，利用三角函数定义可得，，由，结合诱导公式求解； （2）根据（1）得，则，令，，换元上式可得，，利用二次函数单调性求出答案. 【小问1详解】 因为单位圆上点的横坐标，且点在第一象限， 所以点，即有，， 因为且为锐角，为钝角， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 设，则， 因为，所以， 则，所以， 因为 所以， 所以，， 所以的取值范围为. 18. 某湖泊2024年2月底测得水草覆盖面积为48，2024年3月底测得水草覆盖面积为64，水草覆盖面积与月份的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②. （1）求两个函数模型的解析式； （2）若2024年1月底测得水草覆盖面积为36，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080？ （参考数据：，，） 【答案】（1）①，② （2）选择模型②更合适，理由见解析，2025年2月底 【解析】 【分析】（1）把分别代入两个模型，求出函数解析式. （2）取计算即可选择更适合的模型，再利用对数运算求得答案. 【小问1详解】 若选择模型①，则，解得，， 所以函数模型①的解析式为 ； 若选择模型②，则，解得，， 所以函数模型②的解析式为 . 【小问2详解】 把代入函数模型①，得， 再把代入函数模型②，得， 因此选择模型②更合适， 由，得，两边取对数得， 即， 所以至少到2025年2月底水草覆盖面积能达到1080. 19. 已知函数是定义域为的奇函数. （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并根据定义证明； （3）是否存在实数，对任意有.若存在，求取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）单调递减，证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）结合可求出值，需验证是否符合题意； (2)应用函数单调性定义证明即可，注意取值、作差、变形、判号、下结论的解题过程； （3）应用函数的奇偶性与单调性，将问题转化为对任意的恒成立，再应用分离参数法转化为恒成立，应用均值不等式求解即可 【小问1详解】 解：因为函数是定义域为的奇函数， 则即，所以， 当时，， 此时，所以为奇函数，符合题意， 故； 【小问2详解】 函数在上单调递减. 证明如下： 设，且， 则 ， 因为，，所以，，， 故即，所以在上单调递减. 【小问3详解】 解：因为在上为奇函数， 由得 即 ， 因为在上单调递减，所以对任意的恒成立 . ①当时，原不等式成立 ； ②当时，， 令，， 由基本不等式可得， 当且仅当即时，取最小值为， 所以，的取值范围是 ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $