精品解析：湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高三下学期入学考试数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域可求得集合，根据交集定义可得结果. 【详解】由得：，即，. 故选：C. 2. 已知复数，则下列结论中正确的是 A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由已知，，则的虚部为，，为纯虚数，，选C． 考点：复数及其运算. 3. 设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理及三角形面积公式计算即可. 【详解】由题意可知， 在中，由余弦定理可知， 所以的面积等于. 故选：D 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线先求出，根据向量的模的坐标公式即可. 【详解】因为，所以，解得. 所以， . 故选：C 5. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】的展开式的二项式系数之和， 则展开式的通项公式为： ， 令， 所以的系数为. 故选：C 6. 等比数列中，，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式整理方程，解得公比，利用求和公式，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由，则，由，则， 解得，所以. 故选：B. 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期是 B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简，利用正弦型函数的性质依次判断即可. 【详解】由， 故函数的周期，A错误； 函数的最大值为2，B错误； 由，故不是对称中心，C错误； 当时，，由于在 单调递增，故函数在单调递增，D正确. 故选：D 8. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据鳖牖的体积为l，求得，再根据阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线可求得求得直径，从而求得表面积． 【详解】由题意，因为平面，四边形为正方形，，， 又由鳖牖的体积为，所以， 解得， 而阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线， 所以，即， 球的表面积为． 故选A． 【点睛】本题主要考查了多面体与球的组合体的性质，以及球的体积与表面公式计算，其中解答中得出阳马的外接球的直径是以为宽，长，高的长方体的体对角线是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从二项分布，则 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 设随机变量服从二项分布，若，则 D. 已知随机变量服从两点分布，，且，则随着的增大而增大，随着的增大而增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立试验的概率计算公式，可判定A正确；结合正态分布的性质，可判定B错误；根据二项分布的方差公式，可判定C正确；根据二点分布的期望与方差，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为随机变量服从二项分布， 则，所以A正确； 对于B中，因为随机变量服从正态分布，且， 所以正态曲线的对称轴是，则，所以B错误； 对于C中，由二项分布的方差公式知，所以C正确； 对于D中，由随机变量服从两点分布，且，可得， 由一次函数和二次函数的性质知，当时，则随着的增大而增大，随着增大而增大，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 不等式的解集是 C. 的图象过定点 D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】对A、B、C，结合对数函数性质逐项判断即可得，对D，将函数图象交点个数转化为研究函数的零点个数，借助零点的存在性定理即可判断. 【详解】对A：当时，在上是增函数，故A正确； 对B：当时，，则，当时，，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：当时，，令， 有，， ， 故在及上都至少有一根， 即的图象与的图象在及上都至少有一个交点， 故D错误. 故选：AC. 11. 方程所表示的曲线（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线对称 C. 与直线没有交点 D. 不经过第三象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】在曲线上任取一点，根据关于原点对称的坐标为，关于直线 对称的坐标为，代入方程可判断A、B；将代入可判断C；根据第三象限的坐标特征可判断D. 【详解】在曲线上任取一点， 对于A，关于原点对称点为，代入方程可得 ，故 不满足方程， 故A不正确； 对于B，原方程，将方程中的换为 ，将换为， 方程为，与原方程相同， 故曲线关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，，即 ，此方程无解，故C正确； 对于D，若在第三象限，则，所以 ， 所以，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式可得，从而求，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，即. 所以，解得. 所以. 故答案为:. 13. 正方体中，点分别在棱上，且其中，若平面与线段的交点为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意找出平面截正方体所得的截面图形，之后根据所学知识得到，之后应用相似三角形对应边成比例，以及平行线的相关性质求得结果. 【详解】如图，分别在上取，使得，, 则易知 ， 因此平面即平面. 连接与的交点即为点，易知， 所以， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关正方体的截面的问题，涉及到的知识点有平面截正方体所得截面，相似三角形的判定和性质，属于中档题目. 14. 五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】按照甲拿没拿乙或丙的包分两类，分别计算都拿错的种数，再由古典概型计算即可. 【详解】第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有种情况； 第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有种情况. 故所求概率为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用分类分步计数原理求得甲、乙、丙三人都拿错旅行包的可能情况，从而得解 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，为线段的中点，求： （1）三棱锥的体积； （2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 【答案】（1）；（2）（或） 【解析】 【分析】（1）连接CM，根据M为AB中点，且正方形ABCD边长为1，得到△BCM的面积为SS正方形ABCD．因为CC1⊥平面ABCD，是三棱锥C1﹣MBC的高，所以利用锥体体积公式，可得三棱锥C1﹣MBC的体积； （2）连接BC1，正方形ABCD中，因为CD∥AB，所以∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角．Rt△MC1B中，可算出BC1，而MBAB，利用直角三角形中三角函数的定义，得到tan∠C1MB，所以异面直线CD与MC1所成角为arctan． 【详解】解：（1）连接CM， ∵正方形ABCD中，M为AB中点，且边长为1， ∴△BCM的面积为SS正方形ABCD． 又∵CC1⊥平面ABCD， ∴CC1是三棱锥C1﹣MBC的高， ∴三棱锥C1﹣MBC的体积为：VC1﹣MBC2； （2）连接BC1 ∵CD∥AB， ∴∠C1MB（或其补角）为异面直线CD与MC1所成的角． ∵AB⊥平面B1C1CB，BC1⊂平面B1C1CB， ∴AB⊥BC1． Rt△MC1B中，BC1，MBAB ∴tan∠C1MB 所以异面直线CD与MC1所成角为arctan． 【点睛】本题给出一个特殊的正三棱柱，求其中的异面直线所成角和三棱锥体积，着重考查了棱锥的体积公式和异面直线及其所成的角等知识点，属于中档题． 16. 已知函数，为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为． （1）求的解析式； （2）若已知三点坐标，，．若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设最高点为，相邻最低点为，则，由三角函数的图象及已知可得，解得，利用周期公式可求，由，结合范围，可求的值，即可得解的解析式． （2）由（1）利用诱导公式化简三点坐标，利用向量平行的坐标表示可得，进而利用三角函数恒等变换即可求解的值． 【小问1详解】 解：设最高点为，相邻最低点为，则， 由三角函数图象及已知，可得，即，解得，由，可得， 所以， 因为函数，为奇函数， 所以，得，， 又，所以， 于是， 【小问2详解】 解：由（1）可得， ， 三点坐标，，， 向量，，，且， ，则， ，， 所以，， ． 17. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）2x﹣y﹣6＝0﹒ 【解析】 【分析】(1)根据抛物线焦半径公式构造方程求得，从而得到结果． (2)设直线，代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据可构造方程求得，从而得到直线方程． 【小问1详解】 由抛物线定义可知：，解得：， 抛物线的方程为：． 【小问2详解】 由抛物线方程知：，设直线，，，，， 联立方程，得：，，， 以线段为直径的圆过点，， ，解得：， 直线的方程为：，即． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）在和上为减函数，在上为增函数；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）分析可知，直线与函数（且）的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 则当时，，为减函数； 当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 综上可得：在和上为减函数，在上为增函数； （2）令函数，因为不是方程的解，所以可得， 构造函数（且），则， 由可得，列表如下： 0 增 增 极大值 减 减 极小值 增 所以，，， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与函数的图象有三个不同的交点， 因此实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 19. 已知 ． （1）若，求中含项系数； （2）证明：． 【答案】（1）56 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）逆用二项式定理，结合二项式通项公式进行求解即可； （2）根据组合数的性质，构造函数，结合错位相减法进行计算证明即可. 【小问1详解】 ， ， 中项的系数为． 【小问2详解】 ， 设① 于是有② 则函数中含项的系数为，两式相减， 由错位相减法得： ， ， 中含项的系数，即是等式左边含项的系数，等式右边含项的系数为 ， ∵ ， ∴． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用错位相减法，结合等比数列前项和公式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年 高三下学期入学考试数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则下列结论中正确的是 A. 虚部为 B. C. 纯虚数 D. 3. 设，分别是双曲线的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 10 5. 若的展开式的二项式系数之和为，则的展开式中的系数为（ ） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 6. 等比数列中，，则的前项和（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是 B. 函数的最大值为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数区间上单调递增 8. 中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖牖的体积为l，则阳马的外接球的表面积等于（　　）． A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 设随机变量服从二项分布，则 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 设随机变量服从二项分布，若，则 D. 已知随机变量服从两点分布，，且，则随着的增大而增大，随着的增大而增大 10. 已知，且，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在上是增函数 B. 不等式的解集是 C. 的图象过定点 D. 当时，的图象与的图象有且只有一个公共点 11. 方程所表示的曲线（ ） A. 关于原点对称 B. 关于直线对称 C 与直线没有交点 D. 不经过第三象限 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 若，则__________. 13. 正方体中，点分别在棱上，且其中，若平面与线段交点为，则__________． 14. 五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为______. 四､解答题：本大题共 5 小题，共 80 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，为线段的中点，求： （1）三棱锥的体积； （2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）. 16. 已知函数，为奇函数，且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为． （1）求的解析式； （2）若已知三点坐标，，．若，且，求的值． 17. 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P(5，a)为抛物线C上一点，且|PF|＝8． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过Q(0，﹣3)，求直线l的方程． 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数，在定义域内恰有三个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 已知 ． （1）若，求中含项的系数； （2）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $