1.1.4等边三角形的判定与含30°角的直角三角形定时训练 2024—2025学年北师大版八年级数学下册

1.1.4等边三角形的判定与含30°角的直角三角形定时训练 考试范围：1.1.4等边三角形的判定与含30°角的直角三角；练习时间：30分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1． 选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．下列四个说法中，正确的有（　　）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，一棵树在一次台风中于离地面3米处折断倒，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（　　） A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 3．如图，△ABC是等边三角形，E是边AC上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定 （2题图） （3题图） （4题图） （5题图） 4．在上一次《数学知识PK赛》上，由于天逸同学的题目太简单，导致小组败北，所以这次换成了他的搭档辰熙同学出题，让我们一起来看看辰熙同学的水平：如图，△ABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EF∥AB，AE＝2，结论错误的是（　　） A．∠ADE＝30° B．AD＝4 C．△ADE的面积为4 D．△EFC的周长为18 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝2，则BC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．如图，已知OA＝5，P是射线ON上的一个动点，∠AON＝60°．当OP＝　 　时，△AOP为等边三角形． 7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是　 　三角形． 8．将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为 　 　cm． 9．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OM＝3cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OP＝ 　 　cm． 10．如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，则△ADE是　 　三角形． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形． 12．（10分）图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝66cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 13．（10分）如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由． 14．（10分）如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP＝2PQ． 15．（10分）如图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． （1）求证AN＝BM； （2）如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 参考答案 1． 选择题 1．解：①∵三个角都相等的三角形是等边三角形， ∴①正确； ∵有两个角为60°的三角形是等边三角形， ∴②正确； ∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴③正确； ∵所有等腰三角形中都有两个角相等， ∴④不正确． 选：D． 2．解：如图，根据题意BC＝3米， ∵∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC＝2×3＝6（米）， ∴3+6＝9（米）． 选：B． 3．解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴AE＝AD，∠EAB＝∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 选：B． 4．解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC， ∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE＝30°，A选项正确； ∵AE＝2， ∴AD＝2AE＝4，选项B正确， ∵DE， ∴S△ADE，选项C错误． ∵EF∥AB， ∴∠CEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∵D为BA的中点， ∴AC＝AB＝2AD＝8， ∴CE＝AC﹣AE＝8﹣2＝6， ∴△EFC的周长＝3×6＝18，选项D正确， 选：C． 5．解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°， ∵AB⊥AD， ∴BD＝2AD＝2×2＝4， ∠B+∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝60°， ∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°， ∴∠DAC＝30°， ∴∠DAC＝∠C， ∴DC＝AD＝2， ∴BC＝BD+DC＝4+2＝6． 选：C． 二．填空题 6．解：∵AON＝60°， ∴当OA＝OP＝5时，△AOP为等边三角形． 答案为：5． 7．解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得，a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 答案为：等边． 8．解：∵直尺的两对边相互平行， ∴∠ACB＝∠α＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠A＝∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）． 答案为：2． 9．解：过P作PC⊥ON， ∵∠AOB＝60°，PC⊥ON， ∴∠OPC＝30°， ∴OP＝2OC， ∵PC⊥ON，PM＝PN，MN＝2cm， ∴cm， 又OM＝3cm， ∴OC＝OM+MC＝3+1＝4（cm）， ∴OP＝2OC＝2×4＝8（cm）， OP＝8cm， 答案为：8． 10．解：过D作AC的平行线交AB于P ∴△BDP为等边三角形，BD＝BP， ∴AP＝CD， ∵∠BPD为△ADP的外角， ∴∠ADP+∠DAP＝∠BPD＝60° 而∠ADP+∠EDC＝180°﹣∠BDP﹣∠ADE＝60° ∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠EDC＝60° ∴∠DAP＝∠EDC， 在△ADP和△DEC中， ∵， ∴△ADP≌△DEC（ASA）， ∴AD＝DE ∵∠ADE＝60° ∴△ADE是等边三角形． 答案为：等边． 三．解答题 11．证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°， ∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC， ∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°， ∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°， ∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴DF＝DE＝EF， ∴△DEF是等边三角形． 12．解：过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F， ∴∠AEC＝∠BFC＝90°， 在Rt△ACE中，∠ACE＝30°， ∴， 同理可得：BF＝33cm， ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm， ∴33+10+33＝76（cm）， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大密度为76cm． 13．（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点， ∴BD垂直平分AC， ∴AB＝CB， ∵EF⊥AB， ∴∠ABC+∠E＝90°， ∵∠E＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：AD＝CE，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°， ∴∠CDE＝30°＝∠E， ∴CD＝CE， ∵点D是AC边的中点， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE． 14．证明：（1）∵AB＝BC＝AC， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC＝∠C＝60°． ∵AB＝AC，AE＝CD， ∴△ADC≌△BEA． （2）∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE＝∠CAD． ∵∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠ABE+∠BAD＝60°． ∴∠BPQ＝60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ＝30°． ∴BP＝2PQ． 15．解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形， ∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°． ∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB， 在△ACN和△MCB中 ， ∴△ACN≌△MCB（SAS）． ∴AN＝BM． （2）∵∠ACM＝60°，∠MCN＝60°， ∴∠ACM＝∠MCN， ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMB． 在△ACE和△MCF中 ∴△ACE≌△MCF（ASA）． ∴CE＝CF． ∴△CEF的形状是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$