1.1.3等腰三角形的判定与反证法定时训练 2024—2025学年北师大版八年级数学下册

1.1.3等腰三角形的判定与反证法定时训练 考试范围：1.1.3等腰三角形的判定与反证法；练习时间：30分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．下列三角形中，等腰三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，则CD＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于E，D，则DE的长为（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 （2题图） （3题图） （7题图） （8题图） 4．用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（　　） A．∠A≤∠B B．∠A＜∠B C．a≤b D．a＜b 5．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（　　） A．一个三角形中有两个角是直角 B．一个三角形中有两个角是钝角 C．一个三角形中有两个角是锐角 D．一个三角形中有一个角是直角 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．命题“若△ABC中，AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，若用反证法证明此命题时，应假设：　 　． 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC＝2，则AD的长度为 　 　． 8．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，那么从B处到灯塔C的距离是 　 　海里． 9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E， ∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为 　 　． 10．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾；②因此假设不成立，所以∠B＜90°；③假设在△ABC中，∠B≥90°；④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是 　 　．（填序号） 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）如图，DC平分∠ACE，且AB∥CD，求证：△ABC为等腰三角形． 12．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD． 13．（10分）如图，在△ABC中，P是BC边上的一点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于点R．若AQ＝AR，求证：△ABC是等腰三角形． 14．（10分）如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：△ABC是等腰三角形． 15．（10分）如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F点，画出∠DCB的角平分线交AB于G并回答以下问题： （1）求证：∠ABF∠BCD； （2）判断△BCF的形状，并说明理由． 参考答案 一．选择题 1．解：第一个图形中有两边相等，第一个三角形是等腰三角形， 第二个图形中的三个角分别为50°，35°，95°，第二个三角形不是等腰三角形； 第三个图形中的三个角分别为100°，40°，40°，第三个三角形是等腰三角形； 第四个图形中的三个角分别为90°，45°，45°，第四个三角形是等腰三角形； 选：B． 2．解：∵∠B＝40°，∠BAC＝100°， ∴∠BCA＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝40°， ∴∠B＝∠BCA， ∴AC＝AB， ∵AB＝3， ∴AC＝3， ∵∠BCA＝40°，∠D＝20°， ∴∠CAD＝∠BCA﹣∠D＝40°﹣20°＝20°， ∴∠D＝∠CAD， ∴CD＝AC＝3， 选：B． 3．解：∵DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠E＝∠ABE， ∴AB＝AE． 同理可得：AD＝AC， ∴DE＝AD+AE＝AB+AC＝14． 选：A． 4．解：用反证法证明，“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b． 选：C． 5．解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设一个三角形中有两个角是直角， 选：A． 二．填空题 6．解：命题“若△ABC中，AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”， 若用反证法证明此命题时，应假设：∠C＝90° 答案为：∠C＝90°． 7．解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， 又∵∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠ABD＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠BDC＝∠C， ∴BD＝BC＝2， ∵∠A＝36°，∠ABD＝36°， ∴∠A＝∠ABD， ∴AD＝BD＝2， 答案为：2． 8．解：由题意得，AB＝20×（11﹣9）＝40（海里）， ∵∠NAC＝35°，∠NBC＝70°， ∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝35°， ∴∠NAC＝∠C， ∴BC＝AB＝40海里， ∴从B处到灯塔C的距离是40海里， 答案为：40． 9．解：∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ECD， ∵BE⊥CD， ∴∠BDC＝∠EDC＝90°， ∵CD＝CD， ∴△BDC≌△EDC（ASA）， ∴BC＝CE＝4，BD＝DE， 又∵∠A＝∠ABE， ∴AE＝BE， ∵AC＝7，BC＝4， ∴AE＝AC﹣CE＝3， ∴BE＝AE＝3， ∴BDBE， 答案为：． 10．解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°， 2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°， 3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾， 4、因此假设不成立．∴∠B＜90°， 答案为：③④①②． 三．解答题 11．证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE． ∵DC平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE， ∴∠B＝∠A， ∴AC＝BC， ∴△ABC为等腰三角形． 12．证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABE∠ABC80°＝40°， ∵∠A＝40°， ∴∠A＝∠ABE， ∴△ABE为等腰三角形， ∵ED⊥AB， ∴AD＝BD． 13．证明：∵AQ＝AR， ∴∠R＝∠AQR． 又∵∠BQP＝∠AQP， ∴∠R＝∠BQP． 因为PQ是BC的垂线， ∴∠B+∠BQP＝90°，∠C+∠R＝90°， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 14．证明：∵DG∥AC ∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中， ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）； ∴DG＝CE， 又∵BD＝CE， ∴DG＝BD， ∴∠DBG＝∠DGB， ∵DG∥AC， ∴∠DGB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 15．（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G， ∴∠DCG+∠CDG＝90°， ∵BC＝DC， ∴∠BCG＝∠DCG∠BCD， ∵BF⊥CD于点E， ∴∠ABF+∠CDG＝90°， ∴∠ABF＝∠DCG∠BCD； （2）解：△BCF是等腰三角形， 理由：如图，∵∠A＝45°，CG⊥AB， ∴∠ACG＝45°， ∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF， ∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF， ∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF， ∴∠BCF＝∠BFC， ∴BC＝BF， ∴△BCF是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$