1.1.1等腰三角形的性质 定时训练 2024—2025学年北师大版八年级数学下册

1.1.1等腰三角形的性质定时训练 考试范围：1.1.1等腰三角形的性质；练习时间：30分钟；总分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共5小题，满分25分，每小题5分） 1．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（　　） A．40° B．80° C．100° D．40°或100° 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．已知等腰三角形有两边长为5，10，则三角形周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 4．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝48°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（　　） A．22° B．23° C．24° D．25° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若∠CBE＝15°，则∠A的度数为（　　） A．45° B．50° C．65° D．70° 二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分） 6．等腰三角形的顶角为50°，底角的度数为　 　°． 7．等腰三角形的底边是4cm，腰长是7cm，那么这个等腰三角形的周长为 　 　cm． 8．等腰三角形的一个外角的度数是120°，则它顶角的度数为 　 　°． 9．如图，AB＝AC，∠A＝40°，DE垂直平分AB，则∠DBC＝ 　 　． 10．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD．若△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠A＝ 　 　°． 三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分） 11．（10分）已知一个三角形的两条边长分别为4cm，8cm．设第三条边长为x cm． （1）求x的取值范围． （2）若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 12．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝CD，若∠BCD＝32°，求∠ABC． 13．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是高CE上一点，∠EPB＝2∠PBC． （1）求证：BP⊥AC； （2）若EP＝6，BP＝10，求AB的长． 14．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F． （1）求证：AF＝AD； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长． 15．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC．设∠BAC＝α． （1）如图1，点D在线段AB上，若∠ACD+∠BAC＝45°．求∠DCB的度数（用含α的代数式表示）． （2）如图2，已知AB＝AC＝BD．若∠ABD+∠BAC＝180°，过点B作BH⊥AD于点H，求证：BHBC． 参考答案 一．选择题 1．解：①若40°是顶角，则底角70°； ②若40°是底角，那么顶角＝180°﹣2×40°＝100°． 选：D． 2．解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC（180°﹣40°）＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝35°， 选：B． 3．解：当5为底边时，两腰长为10，5+10＞15，能构成三角形，周长为5+10+10＝25． 当10为底边时，两腰长为5，5+5＝10，不能构成三角形． 选：C． 4．解：∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠BAE＝48°， ∵CF＝EF， ∴∠C＝∠E， ∵∠C+∠E＝∠DFE， ∴∠E∠DFE＝24°． 选：C． 5．解：由条件可知AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， 设∠A＝∠ABE＝x， ∴∠C＝∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝x+15°， 由条件可知x+2（x+15°）＝180°， 解得：x＝50°， ∴∠A的度数为50°． 选：B． 二．填空题 6．解：∵等腰三角形的顶角为50°， ∴底角的度数为65°． 答案为：65． 7．解：∵等腰三角形的底边是4cm，腰长是7cm， ∴这个等腰三角形的周长为4+7+7＝18（cm）． 答案为：18． 8．解：∵外角的度数是120°， ∴与这个外角相邻的内角为：180°﹣120°＝60°． 情况一：当60°角为底角时，顶角为180°﹣60°×2＝60°； 情况二：当60°角为顶角时，顶角为60°； 顶角的度数是60°， 答案为：60． 9．解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠C70°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝40°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°， 答案为：30°． 10．解：∵△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上， ∴AD＜AB，∠CBD＜∠C， ∵△ABD是等腰三角形， ∴只有AD＝BD， ∵△BCD也是等腰三角形， ∴有以下两种情况： ①当BD＝BC时，如图1所示： 设∠A＝α， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∵∠C＝∠BDC＝2α， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A＝α＝36°； ②当CD＝BC时，如图2所示： 设∠A＝α， ∵AD＝BD， ∴∠ABD＝∠A＝α， ∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α， ∵CD＝BC， ∴∠CBD＝∠BDC＝2α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠ABD＝3α， ∴AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3α， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+3α+3α＝180°， 解得：， ∴∠， 综上所述：∠A＝36°或． 答案为：36或． 三．解答题 11．解：（1）根据三角形三边关系得，8﹣4＜x＜8+4， 即4＜x＜12； （2）∵三角形是等腰三角形，等腰三角形两条边长分别为4cm，8cm，且4＜x＜12， ∴等腰三角形第三边只能是8cm， ∴等腰三角形周长为4+8+8＝20cm． 12．解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝32°， ∴∠ACD＝∠BCD＝32°． ∵AC＝CD， ∴∠ADC（180°﹣∠ACD）＝74°， ∴∠ABC＝∠ADC﹣∠BCD＝74°﹣32°＝42°， ∴∠ABC的度数是42°． 13．（1）证明：延长BP交AC于D， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠EPB＝2∠PBC＝∠PBC+∠PCB， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵点P是高CE上一点， ∴CE⊥AB， ∴∠PBC+∠ACB＝∠PCB+∠ABC＝90°， ∴∠BDC＝90°， ∴BP⊥AC； （2）解：设AB＝AC＝a，则AE＝AB﹣EB＝a﹣EB， ∵CE⊥AB，EP＝6，BP＝10， ∴BE＝8， ∵∠PBC＝∠PCB， ∴CP＝BP＝10， ∴CE＝EP+CP＝16， 在Rt△ACE中，AE2+CE2＝AC2， ∴（a﹣8）2+162＝a2，解得a＝20， ∴AB＝20． 14．（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵FE⊥BC， ∴∠FEC＝∠FEB＝90°， ∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°， ∴∠F＝∠BDE， ∵∠BDE＝∠FDA， ∴∠F＝∠ADF， ∴AF＝AD； （2）解：∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°， ∵∠F＝30°， ∴∠BDE＝30°，∠C＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC为等边三角形． ∴BC＝AC， ∵BD＝4， ∴ ∴BC＝BE+EC＝2+6＝8， ∴AC＝8． 15．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ACB＝∠B（180°﹣α）＝90°α， ∵∠ACD+∠BAC＝45°， ∴∠ACD＝45°﹣α， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°α﹣（45°﹣α）＝45°； （2）证明：如图2，延长DB交AC于点F，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠ABD+∠BAC＝180°，∠ABD+∠ABF＝180°， ∴∠BAC＝∠ABF＝α， ∵AB＝BD， ∴∠D＝∠DAB， ∵∠D+∠DAB＝∠ABF， ∴∠D+∠DAB∠ABFα， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴∠BAE∠BACα，BEBC， ∴∠DAB＝∠BAE， ∵BH⊥AD，AE⊥BC， ∴BH＝BE， ∴BHBC． 学科网（北京）股份有限公司 $$