精品解析：吉林省松原市乾安县2024～2025学年上学期期中教学质量检测 九年级数学试题

乾安县2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 数学试题共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 甲骨文是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，下列甲骨文中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知一元二次方程有一个根为，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一根为，由根与系数的关系可得：解方程可得答案． 【详解】解： 一元二次方程有一个根为，设另一根为， 故选： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等实根，则的取值范围是（　　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实根， ∴， ∴且， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义和判别式，熟知一元二次方程有两个不相等的实数根时，是解题的关键． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据顶点式中的顶点坐标公式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； 故选A． 5. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ） 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，由外角的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 【详解】解：将绕点顺时针旋转后得到的， ，，， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米，利用种植的面积建立等式，可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设小道的宽为米，则6个小矩形可合成长为米，宽为米， 根据题意：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是：根据题目信息，找准等量关系，列出一元二次方程． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的二次项系数是______；一次项系数是______；常数项是______． 【答案】 ①. ②. 1 ③. 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为， 故答案为：；1；． 8. 已知点和点关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，得出a和b的值，即可求解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 9. 设m是方程的一个根，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由m是方程的一个根，可得，再整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，熟练的利用整体代入法求解代数式的是解本题的关键． 10. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______． 【答案】答案不唯一，例如： 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由抛物线开口向下可知，且过点，然后问题可求解． 【详解】解：由抛物线开口向下可知，且与y轴交于点，因此符合条件的抛物线表达式可以为； 故答案为（答案不唯一）． 11. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了本题考查了二次函数的性质．根据给出的二次函数判断开口方向向上，对称轴为轴，即可根据自变量的大小判断函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数为：， ， ∴二次函数的开口向上，对称轴为轴， 点关于对称轴的对称点为， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，在，中利用勾股定理求得，利用旋转的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 由旋转可知，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】根据关系式，令h=0求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间. 【详解】解：依题意，令得： ∴ 得： 解得：（舍去）或 ∴即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单. 14. 如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用待定系数法，二次函数的性质，等边直角三角形的性质，二次函数与一元二次方程的关系一一判断即可． 【详解】解：把，，代入得到， 消去c得到， 故①正确； ∴， 又， ∴，即， 故②正确； 如图，设对称轴与x轴相交于点E， ∵，， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， 故③错误； ∵方程有四个根， ∴方程有两个根，有两个根， 设方程有两个根为，有两个根为， ∴，， ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查二次函数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中． （1）根据因式分解法求出方程的解即可； （2）根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ， ，． 16. 已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标______； （2）对称轴为______； （3）当______时，y有最大值； （4）当______时，y随着x的增大而增大； （5）当______时，． 【答案】（1） （2）直线 （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由抛物线与轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标； （2）根据二次函数的性质可得对称轴； （3）根据抛物线顶点坐标即可求解； （4）根据二次函数的性质即可求解； （5）抛物线在轴上方的部分对应的的取值即为所求． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， 顶点横坐标为， 由图可知顶点纵坐标为， 故顶点坐标为：； 【小问2详解】 解：对称轴为； 【小问3详解】 解：当时，y有最大值是； 【小问4详解】 解：当时，y随着x的增大而增大； 【小问5详解】 解：当时，． 17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到， C点落在边上，若，求的度数． 【答案】的度数为 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，再利用互余计算出，然后根据等边对等角、三角形内角和定理，计算求解的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 18. 如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题： （1）先根据，求出B点的坐标，再把B点的坐标，代入，即可作答． （2）求出点C坐标，根据一次函数与二次函数的交点坐标，结合图象，即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线分别交轴，轴于两点 ∴，则 ∴ ∵经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. ∴把和代入 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 结合图象，的解集为 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点对称，画出并写出点的坐标； （2）是绕原点顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析，点的坐标为 （2）画图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】（）根据中心对称的性质可画出图形，再根据图形可写出点的坐标； （）根据旋转的性质画出图形，再根据图形可写出点的坐标； 本题考查了作中心对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握中心对称图形和旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，由图可得，点的坐标为． 20. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则　 　，　 　； （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系可先求出，，再将变形，代入求值即可． 【小问1详解】 ∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 22. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【小问1详解】 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件． （1）求该快递点这三天揽件日平均增长率． （2）按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)， （3）按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)． 【答案】（1） （2） （3）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该快递点这三天揽件日平均增长率为利用第三天的揽件数第一天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）利用第四天揽件数第三天的揽件数该快递点这三天揽件日平均增长率，可求出第四天揽件数，取其整数值，即可得出结论； （3）由小区居民数变化不大，可得出这个快递点的揽件量不能始终按这个日均增长率增长． 【小问1详解】 解：设该快递点这三天揽件日平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该快递点这三天揽件日平均增长率为； 【小问2详解】 解：根据题意得：（件）． 按这个增长率计算，第四天揽件数约为件． 故答案为：； 【小问3详解】 根据实际情况可得：这个快递点揽件量不能始终按这个日均增长率增长． 故答案为：不能． 24. 阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中的绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；， 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可； （2）根据等边三角形的性质以及旋转的性质证明即可，再根据三角形的三边关系即可求出的最大值． 【详解】解：（1）． 证明：绕点按顺时针方向旋转， 与是等边三角形， ，， ， ． （2）． 绕点按顺时针方向旋转的角度为， ， 与是等边三角形， ，， ， ． 根据上面的操作过程可知，由，当在上时即当为时 线段的长度最大，等于． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形的三边关系求最值． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 教材中有这样一道题：如图①所示，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． （1）若图①中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将图①中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图③所示，若正方形的边长为6，求的长度． 【答案】（1），理由见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用证明，推出，即可得到； （2）利用旋转的性质以及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：． 证明如下： 正方形， ，． ， ． ． ． 又， ． 在和中， ，，． ． ． ， ． 【小问2详解】 解：如图，由题设得， ， 由旋转的性质知：，， ， ． 四边形为平行四边形． 又， 四边形是矩形． ． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为．点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，构造矩形．设点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在轴上方时，求四边形的周长与的函数关系式； （3）当该抛物线的顶点和点到所在直线的距离相等时，求的值； （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】用待定系数法求函数的解析式即可； 先确定的取值范围，再求周长即可； 由题意可知在过点、点于轴平行的直线中间，则点的纵坐标为由此求即可； (4)画出图象，分两种情况讨论：当时,时, 抛物线在矩形PNOM 内的部分所对应的函数值随的增大而减小；当时, 当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小. 【小问1详解】 解：将代入, ，解得 ， ∴； 【小问2详解】 ∵点横坐标为, ∴, ∵当点在轴上方， ∴, ∴或, 当时, , ∴四边形的周长； 当时,, ∴四边形的周长； 故四边形的周长与的函数关系式为: ； 【小问3详解】 ∵点横坐标为, ∴, ∵, ∴抛物线的顶点为, ∵抛物线的顶点和点B到所在直线的距离相等， ， 解得 或； 【小问4详解】 ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 令, 则： 解得或, ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴当时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小； 综上所述：或时, 抛物线在矩形内的部分所对应的函数值 随的增大而减小. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乾安县2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 数学试题共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 甲骨文是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，下列甲骨文中，可以看作中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程有一个根为，则另一个根为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等实根，则的取值范围是（　　　） A. B. C. 且 D. 且 4. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（ ） 如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到的（点B的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大 A. B. C. D. 6. 如图，学校课外小组的试验园地的形状是长30米宽15米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为392平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 7. 一元二次方程的二次项系数是______；一次项系数是______；常数项是______． 8. 已知点和点关于原点对称，则的值为________． 9. 设m是方程的一个根，的值为______． 10. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______． 11. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是______． 12. 如图，在，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为______． 13. 如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为_____． 14. 如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③当是等边三角形时，；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中，正确结论的序号为______． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 用适当的方法解下列方程． （1）； （2）． 16. 已知函数图象如图所示，根据图象可得： （1）抛物线顶点坐标______； （2）对称轴为______； （3）当______时，y有最大值； （4）当______时，y随着x的增大而增大； （5）当______时，． 17. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到， C点落在边上，若，求的度数． 18. 如图，直线分别交轴，轴于两点，经过两点的抛物线与轴的正半轴相交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）结合图象，直接写出不等式的解集. 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）与关于原点对称，画出并写出点的坐标； （2）是绕原点顺时针旋转得到的，画出并写出点的坐标． 20. 阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴， 则． 根据上述材料，结合你所学知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，则　 　，　 　； （2）类比应用：已知一元二次方程两根分别为m、n，求的值． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件． （1）求该快递点这三天揽件日平均增长率． （2）按这个增长率计算，第四天揽件数约为________(取整数)， （3）按你的生活经验判断，这个快递点的揽件量能否始终按这个日均增长率增长________(填“能”或“不能”)． 24. 阅读与理解： 图①是边长分别为和的两个等边三角形纸片和叠放在一起（点与点重合）的图形． 操作与证明： （1）操作：固定，将绕点按顺时针方向旋转，连接、，如图②，在图②中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； （2）操作：若将图①中绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图③，在图③中，线段与之间具有怎样的大小关系?证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你直接写出当为______度时，线段的长度最大，最大是______． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 教材中有这样一道题：如图①所示，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，且交于点．求证：． 小明通过证明解决了问题，在此基础上他进一步提出了以下问题，请你解答． （1）若图①中的点为延长线上一点，其余条件不变，如图②所示，猜想此时之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将图①中的绕点逆时针旋转，使得与重合，记此时点的对应点为点，如图③所示，若正方形的边长为6，求的长度． 26. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点为．点为该抛物线上的任意一点，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，构造矩形．设点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在轴上方时，求四边形的周长与的函数关系式； （3）当该抛物线的顶点和点到所在直线的距离相等时，求的值； （4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $