第02讲 平面向量的运算 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

第02讲 平面向量的运算 目录 知识点一：向量的加法运算 2 知识点二：向量的减法运算 2 知识点三：向量的数乘运算 3 知识点四：向量共线定理 3 考点1： 向量加、减法运算及几何意义 4 考点2： 利用已知向量表示其他向量 7 考点3：共线定理及其应用 11 知识点五：向量的数量积 15 考点4：向量的投影和数量积问题 17 考点5：两个非零向量的夹角与垂直 25 考点6：向量的模的有关问题 29 知识点六：三角形四心问题 34 考点7：三角形四心问题 36 知识点一：向量的加法运算 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 (2) 运算法则 三角形法则 运用三角形法则时特别要注意“首尾相接”，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 平行四边形法则 运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合 向量的三角形法则可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。 (3) 运算律 ，（交换律） ，（结合律） (4) 当且仅当至少有一个为时或者与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立。 知识点二：向量的减法运算 (1) 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，记作。 ①零向量的相反向量仍是零向量；② ；③；④若，互为相反向量，则，，。 (2) 向量减法的定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法。与的差等于加上的相反向量，即。 (3) 向量的减法法则 向量减法的三角形法则记忆口诀：共起点，连终点，指向被减。 以向量为邻边作，则两条对角线的向量为 知识点三：向量的数乘运算 （1）定义：实数与向量的积的运算叫做向量的数乘，记作，数乘的结果是一个向量， 它的长度与方向规定如下： 1　 ； 2　 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 3　 当时，。 （2）运算律 设为实数，那么 1　 ，（结合律） 2　 ，（第一分配律） 3　 。（第二分配律） 知识点四：向量共线定理 (1) 向量共线定理 向量与（）共线的充要条件是：存在唯一的实数，使， 即 。 1　 若，依旧成立，但并不唯一，是任意数值。 2　 若与不共线且，则。 (2) 三点共线定理 1　 三点共线； 2　 三点共线 存在实数使得 (为不同于的任意一点 )且. 考点1： 向量加、减法运算及几何意义 【例1.1.】 如图，正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】六边形为正六边形，， . 故选：B. 【例1.2.】 化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 【例1.3.】 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则 ， （用来表示） 【答案】 2 【详解】由向量加法的平行四边形法则知， 又∵是的中点，∴， ∴，故，∴. 又. 故答案为：2，. 【例1.4.】 在梯形中，//，，为中点，若，则 ． 【答案】 【详解】如图 由为中点， 所以，又 且，所以 所以 由，所以 所以 故答案为： 【例1.5.】 下列命题中正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则与一定相等 【答案】B 【详解】对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误； 对于B：在中，，故B正确； 对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误； 对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误. 故选：B 【例1.6.】 （多选）设P是所在平面内的一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由，得， 所以，故D对，B错； 由向量加法法则可得，，，故C对，A错； 故选：CD 【例1.7.】 在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 【例1.8.】 设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)向东走4 km；(2)向东南走km；(3)向东北走km；(4)向南走3 km 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 考点2： 利用已知向量表示其他向量 方法提炼 (1) 要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2) 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量． 若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． (3) 除了利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【例2.1.】 已知 点关于的对称点为,点关于的对称点为,那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解:由题知是的中点,是的中点, 故 . 故选：D 【例2.2.】 在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可得图，如下： 则，又为边上的中线 所以，则. 故选：D. 【例2.3.】 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： . 故选：C. 【例2.4.】 如图，四边形是以向量，为边的平行四边形.又，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵四边形是以向量，为边的平行四边形，，， ∴ . 故选：C. 【例2.5.】 已知P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，，且是不共线的向量，则向量 . 【答案】 【详解】如图，取AB的中点E，连接， 因为P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点， 所以， 所以. 故答案为： 【例2.6.】 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 考点3：共线定理及其应用 【例3.1.】 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， , ，又与有公共点A， 三点共线. 故选：D 【例3.2.】 在中，已知是边上一点，若，，则的值为 （ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】 由可知三点共线，则， 所以，所以，故选C. 【例3.3.】 （多选）如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（    ） A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时， C．无论取何值，恒有 D．存在 【答案】AC 【详解】由题意，可得， 因为与共线，所以，解得，所以C正确，D错误； 当为线段中点时，则，即， 则且，解得，所以A正确，B错误. 故选：AC. 【例3.4.】 如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 由，P，M共线，存在，使①， 由N，P，B共线，存在，使得②， 由①② ，故. 故选：B. 【例3.5.】 (1)已知向量不共线,则使得与共线的实数k的值为 . (2)如图，在中,点O是的中点,过点O的直线分别交直线于不同的两点,若,,则的值为 . 【答案】 2 【详解】(1)与共线，∴存在实数使得， .不共线，. (2)如图，连接由于O是中点，因此. 由于，，. 三点共线，∴由三点共线的性质定理得，. 故答案为：(1)；(2)2 【例3.6.】 如图，在中，点是边上靠近点的三等分点，点是线段上的动点．若交于点，则的取值范围为 ．    【答案】 【详解】由题可知三点共线，分别为线段上的动点， 所以由平面向量基本定理，得． 同理． 因为， 所以． 所以①,②． ①+②得． 因为，所以． 故的取值范围为 【例3.7.】 设、是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：、、三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，，， 所以， 又、是两个不共线的向量，且，即， 又、有公共点，所以、、三点共线； （2）因为，， 所以， ， 又和共线， 所以， 即， 又、是两个不共线的向量， 所以，显然，则， 解得. 知识点五：向量的数量积 1. 向量数量积的含义 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=。 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。 （2）数量积的几何意义 1　 向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是。 2　 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积。 3　 在方向上的投影可以写为。 4　 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为。 5　 向量在向量上的投影向量为。 2. 数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 1　 。 2　 。 3　 当与同向时，；当与反向时，．特别地，或。 4　 。 5　 ，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.。 3. 数量积的运算律 对于向量和实数，有 1　 ，（交换律） 2　 ，（结合律） 3　 ，（分配律） 【注意】 1　 如图，,但。 2　 不一定等于。 4. 向量数量积的常用结论 1　 2　 3　 4　 5. 极化恒等式 证明：不妨设，则，， ①， ②， (1) ①②两式相加得： . 其几何意义为：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和 (2) ①②两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 其几何意义为：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 考点4：向量的投影和数量积问题 【例4.1.】 已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为 ． 【答案】 【详解】由向量数量积的几何意义可得，在方向上的投影为. 故答案为 【例4.2.】 已知向量，，，的夹角为45°，若，，设方向上的单位向量为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 依题意在方向上的投影向量为 . 故选：C 【例4.3.】 已知向量、的夹角为，且，，则 ，在方向上的投影等于 . 【答案】 1 【详解】根据条件,; ; ; 解得或 (舍去); (2)在上的投影为， 故答案为：；1. 【例4.4.】 （多选）已知两个单位向量和的夹角为，则（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量与向量的夹角为 C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】 选项A：向量在向量上的投影向量为，选项正确； 选项B； 解得向量与向量的夹角为，选项错误； 选项C；向量在向量上的投影向量为： 选项正确； 选项D； 当选项正确； 故选：ACD． 【例4.5.】 如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=3，，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 . 【答案】 【详解】如图，连接，，，， ，为，的中点，，为对角线，的中点， 四边形为平行四边形， ，，且，， ． 故答案为：． 【例4.6.】 已知的三边长为3，4，5，其外心为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．25 【答案】A 【详解】设的中点为，则，即； 所以， 同理可得, 所以; 故选：A. 【例4.7.】 给出以下命题： ①对于任意的向量，都有； ②已知三个非零向量，，，则与不垂直； ③已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件； ④对于任意的向量，都有； ⑤已知、是平面内的两个非零向量，若，则与垂直. 其中真命题的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】命题①，对于任意的向量，都有，所以错误； 命题②，若，则，所以，此时与垂直，所以错误. 命题③，由或或，所以正确. 命题④，若，，则，， 所以，所以错误. 命题⑤，由两边平方，得到， 整理得，可得与垂直，所以正确. 故选：C. 【例4.8.】 （多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则的取值范围为 C． D．若，，则 【答案】AB 【详解】A．，故A正确. B．，故B正确. C．是与共线，是与共线，故C错误. D．因为 ，，且， 因为， 即在方向上的投影等于在方向上的投影，得不到，故D错误； 故选：AB. 【例4.9.】 （多选）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，则以下说法正确的有（    ） A．恒有成立 B．恒有成立 C．若，，则 D．若，，，则两个向量夹角为 【答案】AB 【详解】∵，， ∴，， ∴，∴A正确； ∵，∴B正确； ∵，， ∴，∴C错误； ∵， 两个向量夹角为，∴D错误； 故选：AB． 【例4.10.】 在中，D为AC的中点，，，，，则 ． 【答案】9 【详解】由可得： 又， 本题正确结果： 【例4.11.】 已知等边的边长为2，点分别在边、上，且，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵等边△ABC的边长为2，∴， 又, ， ∴，， ∴， ， ∴， ∴λμ， 故选C． 【例4.12.】 四边形中，，，，，且，且，则四边形的形状为 ， 【答案】正方形. 【详解】解：四边形为正方形.证明如下： 因为，所以， 所以，即， 因为，所以，即① 同理可得② ①-②，得， ①变形为，再加②式得，即，. 同理可得，故四边形是菱形. 因为，所以， 又因为，所以，即. 所以，所以. 故四边形为正方形. 【例4.13.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．若向量，则向量垂直于向量 B．在中，若，则为等边三角形． C．在中，若，则为等腰三角形． D．已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，则 【答案】ABCD 【详解】对于A，若向量， 当为非零向量时，由向量数量积的定义，有，则； 当中有零向量时，由规定零向量与任一向量垂直，也有. 故A选项正确； 对于B，若，则，即， 所以，即， 同理可得，即， 所以为等边三角形，B选项正确； 对于C，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 所以为中的角平分线方向上的一个向量， 又，则中的角平分线垂直于对边， 所以为等腰三角形，C选项正确； 对于D，的外接圆的圆心为，， 则 在上的投影为，有， 同理可得， ， 故D选项正确． 故选：ABCD． 【例4.14.】 已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为 ；的最大值为 ． 【答案】 4 4 【详解】如图， 由图可知，因此 要使最大，即让在上的投影最大， 此时点与点重合，投影为，所以最大值为4 考点5：两个非零向量的夹角与垂直 方法提炼 （1） 若，为非零向量，则(夹角公式)， （2） 有关向量夹角的两个结论 1　 若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. 2　 若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 【例5.1.】 非零向量满足：，,则与夹角的大小为 【答案】135°或者 【详解】解：根据题意，设，，则， 若||＝||，，即||＝||，且⊥， 则△OAB为等腰直角三角形， 则与的夹角为180°﹣45°＝135°， 故答案为135°． 【例5.2.】 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为 . 【答案】 【详解】设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π] 由可得4•2， 代入数据可得， 解得cosθ， ∴θ． 故答案为：． 【例5.3.】 已知，，与的夹角为，要使与垂直，则 ． 【答案】4 【详解】解：向量与向量垂直 与的夹角为 ． 故答案为：4. 【例5.4.】 已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为向量，的夹角为30°，，为单位向量， 所以．由于， 若，则， 即有，解得． 故答案为： 【例5.5.】 已知正三角形的边长为，重心为，是线段上一点，则的最小值为（   ） A． B．－2 C． D．－1 【答案】C 【详解】 如图，过点作，垂足为， 当点位于线段上时，，； 当点位于线段上时，，， 故当取得最小值时，点在线段上，， 当时，取得最小值. 故选：C． 【例5.6.】 给出下列命题中 ① 非零向量满足，则与的夹角为； ②是的夹角为锐角的充要条件； ③若，则必定是直角三角形； ④的外接圆的圆心为，半径为1，若,且，则向量在向量方向上的投影为. 以上命题正确的是     （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 【答案】①③④ 【详解】对于① ，由非零向量满足， 由向量减法的三角形法则，知向量，组成一个等边三角形，向量夹角为， 又由向量加法得平行四边形法则，以为邻边的平行四边形为菱形， 所以与的夹角为，故①正 确； 对于②，当时，，的夹角不是锐角，故②错误； 对于③， ， 所以，即，所以是直角三角形，故③正确； 对于④，因为，所以为的中点，又， 所以，， 则向量在向量方向上的投影为，故④正确. 综上可知命题①③④正确. 故答案为：①③④. 考点6：向量的模的有关问题 【例6.1.】 设向量满足，若，则的值是 ． 【答案】4 【详解】由，则，∴， 由，∴. ∴ 故答案为：4 【例6.2.】 已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，则= ． 【答案】或9 【详解】因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，． 当，即，，共线时． ． 故答案为：或9 【例6.3.】 在中，若，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，即，设的中点为，则，即为等腰三角形， 又因为 即 所以． 【例6.4.】 已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是单位向量，∴. ∵ 且. ∴，又∵， ∴ (θ是与的夹角)． 又－1≤cosθ≤1， ∴， ∴. 根据一元二次不等式的解法， 解得. 故选：D. 【例6.5.】 设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】试题分析：因为向量满足，所以，当所以＋≤＝，当且仅当＝，即时等号成立，所以的最大值． 【例6.6.】 已知是平面内三个单位向量，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：， 因为，可知，即， 因为，当且仅当同向时等号成立； ，当且仅当反向时等号成立； 即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【例6.7.】 已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知， 所以 所以的取值范围是. 故选：D 【例6.8.】 已知两单位向量、夹角为，向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作，，则，所以，是边长为的等边三角形， 作，则，， 因为，即， 所以，点的轨迹是以为直径的圆，设圆心为点，且有，， 所以，， 当且仅当、、三点共线且在线段上时，取最大值. 故选：D. 【例6.9.】 （多选）平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影是1 C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是 【答案】ACD 【详解】解：因为，且，则，所以， 又，则，则，故A正确； 由于在方向上的投影是，故B错误； 设， 由于，即，故， 因为，取，则， 所以，所以动点在以为直径的圆上，如图， ，则，， 设的中点为，的中点为，过作的垂线， 则，因为，所以的最大值是，故C正确； 设，因为，即，则， 所以，故在垂线上， 而， 又是的中点，所以，则， 过作的垂线，垂足为，则， 又，所以， 所以的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 知识点六：三角形四心问题 (1) 奔驰定理：，则、、的面积之比等于。 证明：如图，为内一点，延长交于点。 所以 又， 故 (2) 重心：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1。 在中，若为重心，则 ； ； （为平面内任意一点）。 (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。 1　 是的内心，则 2　 （是的三内角所对边的长）； ； 。 3　 （为平面内任意一点） 4　 三角形的内心在向量所在的直线上（在的平分线所在的直线上）。 (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 1　 是的外心 。 2　 是的外心，则 ； 。 (5) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直。 1　 为的垂心 2　 是的垂心，则 ； 。 3　 三角形的垂心在向量所在的直线上（在边上的高所在的直线上）。 考点7：三角形四心问题 【例7.1.】 已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 【详解】，到三个顶点的距离相等，所以为外心； ，，所在直线经过中点，与中线共线，同理可得，分别与，边的中线共线，是三角形中三条中线的交点，是重心； ，，，同理得到另外两个向量都与边垂直，得到是三角形的垂心. 故选：C. 【例7.2.】 点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【答案】A 【详解】由，得， 即， 则， 得 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心， 故选：A 【例7.3.】 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 【答案】C 【分析】设△ABC的重心为G，则，结合题设，利用平面向量的运算法则可得，即G、P、C三点共线，从而可得结果. 【详解】设△ABC的重心为G，∵， ∴ ， ∴，∴G、P、C三点共线，故选C． 【例7.4.】 已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】，， 即， ，O点为的角平分线上的点， 同理可得O点为的角平分线上的点， 所以O点为△ABC角平分线的交点，O点是一定是△ABC的内心. 故选：B 【例7.5.】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（    ） A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的外心 【答案】C 【详解】取AB的中点D，则2＝＋， ∵＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ) ]， ∴＝ [2(1－λ) ＋(1＋2λ) ]＝＋， 而＋＝1， ∴P，C，D三点共线， ∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心. 故选：C 【例7.6.】 设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】不妨设，如图所示，    根据题意则，即点O是的重心， 取的中点，连接，则三点共线，且， 所以边上的高是边上的高的倍， ，即， 同理可得：，， 所以有， 又因为， 那么， 故的面积与的面积的比值为. 故选：A. 【例7.7.】 如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 又因为分别是边的中点， 所以，， 所以，即， 所以三点共线，且， 所以到的距离与到的距离之比也为， 又的面积与的面积都以为底， 所以的面积与的面积的比为． 故选：A 【例7.8.】 已知点为内一点，且有,记的面积分别为，则等于（   ） A．6：1：2 B．3：1：2 C．3：2：1 D．6：2：1 【答案】A 【详解】解：如图所示， 延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形． 则+2=+=， ∵,∴=3． 又=2，可得=2． 于是，∴ S△ABC=2S△AOB． 同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC． ∴ABC，BOC，ACO的面积比=6：1：2． 故选：A． 【例7.9.】 在内求一点，使最小. 【答案】点为的重心 【详解】令，设，有. 于是， . 当时，最小，此时，即，化简得，则点为的重心. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量的运算 目录 知识点一：向量的加法运算 2 知识点二：向量的减法运算 2 知识点三：向量的数乘运算 3 知识点四：向量共线定理 3 考点1： 向量加、减法运算及几何意义 4 考点2： 利用已知向量表示其他向量 5 考点3：共线定理及其应用 7 知识点五：向量的数量积 8 考点4：向量的投影和数量积问题 11 考点5：两个非零向量的夹角与垂直 13 考点6：向量的模的有关问题 14 知识点六：三角形四心问题 15 考点7：三角形四心问题 17 知识点一：向量的加法运算 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 (2) 运算法则 三角形法则 运用三角形法则时特别要注意“首尾相接”，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 平行四边形法则 运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合 向量的三角形法则可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。 (3) 运算律 ，（交换律） ，（结合律） (4) 当且仅当至少有一个为时或者与同向共线时右边等号成立，与反向共线时左边等号成立。 知识点二：向量的减法运算 (1) 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，记作。 ①零向量的相反向量仍是零向量；② ；③；④若，互为相反向量，则，，。 (2) 向量减法的定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法。与的差等于加上的相反向量，即。 (3) 向量的减法法则 向量减法的三角形法则记忆口诀：共起点，连终点，指向被减。 以向量为邻边作，则两条对角线的向量为 知识点三：向量的数乘运算 （1）定义：实数与向量的积的运算叫做向量的数乘，记作，数乘的结果是一个向量， 它的长度与方向规定如下： 1　 ； 2　 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 3　 当时，。 （2）运算律 设为实数，那么 1　 ，（结合律） 2　 ，（第一分配律） 3　 。（第二分配律） 知识点四：向量共线定理 (1) 向量共线定理 向量与（）共线的充要条件是：存在唯一的实数，使， 即 。 1　 若，依旧成立，但并不唯一，是任意数值。 2　 若与不共线且，则。 (2) 三点共线定理 1　 三点共线； 2　 三点共线 存在实数使得 (为不同于的任意一点 )且. 考点1： 向量加、减法运算及几何意义 【例1.1.】 如图，正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 化简：（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则 ， （用来表示） 【例1.4.】 在梯形中，//，，为中点，若，则 ． 【例1.5.】 下列命题中正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则与一定相等 【例1.6.】 （多选）设P是所在平面内的一点，则（    ） A． B． C． D． 【例1.7.】 在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【例1.8.】 设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点2： 利用已知向量表示其他向量 方法提炼 (1) 要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2) 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量． 若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． (3) 除了利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 【例2.1.】 已知 点关于的对称点为,点关于的对称点为,那么（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 在中，为边上的中线，，则（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 如图所示，点为的边的中点，为线段上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 如图，四边形是以向量，为边的平行四边形.又，，则用，表示（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，，且是不共线的向量，则向量 . 【例2.6.】 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 考点3：共线定理及其应用 【例3.1.】 已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 在中，已知是边上一点，若，，则的值为 （ ） A．1 B． C．2 D． 【例3.3.】 （多选）如图所示，点A、B、C是圆O上的三点，线段与线段交于圆内一点P，若，则（    ） A．当P为线段中点时， B．当P为线段中点时， C．无论取何值，恒有 D．存在 【例3.4.】 如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 【例3.5.】 (1)已知向量不共线,则使得与共线的实数k的值为 . (2)如图，在中,点O是的中点,过点O的直线分别交直线于不同的两点,若,,则的值为 . 【例3.6.】 如图，在中，点是边上靠近点的三等分点，点是线段上的动点．若交于点，则的取值范围为 ．    【例3.7.】 设、是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：、、三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 知识点五：向量的数量积 1. 向量数量积的含义 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=。 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。 （2）数量积的几何意义 1　 向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是。 2　 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积。 3　 在方向上的投影可以写为。 4　 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为。 5　 向量在向量上的投影向量为。 2. 数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 1　 。 2　 。 3　 当与同向时，；当与反向时，．特别地，或。 4　 。 5　 ，当且仅当向量，共线，即∥时，等号成立.。 3. 数量积的运算律 对于向量和实数，有 1　 ，（交换律） 2　 ，（结合律） 3　 ，（分配律） 【注意】 1　 如图，,但。 2　 不一定等于。 4. 向量数量积的常用结论 1　 2　 3　 4　 5. 极化恒等式 证明：不妨设，则，， ①， ②， (1) ①②两式相加得： . 其几何意义为：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和 (2) ①②两式相减，得：————极化恒等式 平行四边形模式：. 其几何意义为：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 考点4：向量的投影和数量积问题 【例4.1.】 已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为 ． 【例4.2.】 已知向量，，，的夹角为45°，若，，设方向上的单位向量为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知向量、的夹角为，且，，则 ，在方向上的投影等于 . 【例4.4.】 （多选）已知两个单位向量和的夹角为，则（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量与向量的夹角为 C．向量在向量上的投影向量为 D．的最小值为 【例4.5.】 如图，在平面四边形ABCD中，已知AD=3，，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为 . 【例4.6.】 已知的三边长为3，4，5，其外心为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．25 【例4.7.】 给出以下命题： ①对于任意的向量，都有； ②已知三个非零向量，，，则与不垂直； ③已知向量，，则是“，中至少有一个是”的充要条件； ④对于任意的向量，都有； ⑤已知、是平面内的两个非零向量，若，则与垂直. 其中真命题的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例4.8.】 （多选）已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，，则的取值范围为 C． D．若，，则 【例4.9.】 （多选）如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，则以下说法正确的有（    ） A．恒有成立 B．恒有成立 C．若，，则 D．若，，，则两个向量夹角为 【例4.10.】 在中，D为AC的中点，，，，，则 ． 【例4.11.】 已知等边的边长为2，点分别在边、上，且，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【例4.12.】 四边形中，，，，，且，且，则四边形的形状为 ， 【例4.13.】 （多选）下列说法正确的是（    ） A．若向量，则向量垂直于向量 B．在中，若，则为等边三角形． C．在中，若，则为等腰三角形． D．已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，则 【例4.14.】 已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的值为 ；的最大值为 ． 考点5：两个非零向量的夹角与垂直 方法提炼 （1） 若，为非零向量，则(夹角公式)， （2） 有关向量夹角的两个结论 1　 若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. 2　 若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 【例5.1.】 非零向量满足：，,则与夹角的大小为 【例5.2.】 已知平面向量满足，且，则向量的夹角为 . 【例5.3.】 已知，，与的夹角为，要使与垂直，则 ． 【例5.4.】 已知两个向量，的夹角为30°，，为单位向量，，若，则 ． 【例5.5.】 已知正三角形的边长为，重心为，是线段上一点，则的最小值为（   ） A． B．－2 C． D．－1 【例5.6.】 给出下列命题中 ① 非零向量满足，则与的夹角为； ②是的夹角为锐角的充要条件； ③若，则必定是直角三角形； ④的外接圆的圆心为，半径为1，若,且，则向量在向量方向上的投影为. 以上命题正确的是     （注：把你认为正确的命题的序号都填上） 考点6：向量的模的有关问题 【例6.1.】 设向量满足，若，则的值是 ． 【例6.2.】 已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，则= ． 【例6.3.】 在中，若，则（ ） A．1 B． C． D． 【例6.4.】 已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 设为单位向量，若向量满足，则的最大值是 ． 【例6.6.】 已知是平面内三个单位向量，且，则的取值范围是 . 【例6.7.】 已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6.8.】 已知两单位向量、夹角为，向量满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【例6.9.】 （多选）平面向量，满足，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在方向上的投影是1 C．的最大值是 D．若向量满足，则的最小值是 知识点六：三角形四心问题 (1) 奔驰定理：，则、、的面积之比等于。 证明：如图，为内一点，延长交于点。 所以 又， 故 (2) 重心：三角形三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1。 在中，若为重心，则 ； ； （为平面内任意一点）。 (3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等。 1　 是的内心，则 2　 （是的三内角所对边的长）； ； 。 3　 （为平面内任意一点） 4　 三角形的内心在向量所在的直线上（在的平分线所在的直线上）。 (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。 1　 是的外心 。 2　 是的外心，则 ； 。 (5) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直。 1　 为的垂心 2　 是的垂心，则 ； 。 3　 三角形的垂心在向量所在的直线上（在边上的高所在的直线上）。 考点7：三角形四心问题 【例7.1.】 已知O，P，N在所在平面内，满足，且，则点P，O，N依次是的（    ） A．外心，垂心，重心 B．重心，外心，内心 C．垂心，外心，重心 D．外心，重心，内心 【例7.2.】 点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【例7.3.】 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足，则点P的轨迹一定过△ABC的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点 【例7.4.】 已知O是平面上一点，，A、B、C是平面上不共线的三个点，点O满足，则O点一定是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例7.5.】 已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足＝[(1－λ) ＋(1－λ) ＋(1＋2λ)·]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过（    ） A．△ABC的内心 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的外心 【例7.6.】 设O点在内部，且有，则的面积与的面积的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【例7.7.】 如图所示，O点在内部，分别是边的中点，且有，则的面积与的面积的比为（    ） A． B． C． D． 【例7.8.】 已知点为内一点，且有,记的面积分别为，则等于（   ） A．6：1：2 B．3：1：2 C．3：2：1 D．6：2：1 【例7.9.】 在内求一点，使最小. 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