精品解析：广东省深圳市光明区2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024年光明区普通高中高二年级期末调研考试 数学 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义即可求解. 【详解】由直线，得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 3. 在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用向量的加法法则，结合向量线性运算表示即可. 【详解】在四面体中，为中点，为中点， 则. 故选：B. 4. 已知正项数列满足，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值. 【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，）， 可得.这表明数列是公差为的等差数列. 已知，那么. 对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里. 当时，. 把代入上式，可得，解得. 故选：A. 5. 已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 6. 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（ ） A. （且） B. （且） C. （且） D. （且） 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【详解】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B 7. 已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论. 【详解】根据题意可得直线恒过点，该点在已知圆内， 圆的圆心为，半径，作于点，如下图所示： 圆心到直线的距离为，所以， 又，可得； 因此可得，， 所以的面积为. 故选：B 8. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，故，，由双曲线定义得到方程，求出，求出离心率. 【详解】设直线与的切点为，连接， 则， 因为，所以， 而，所以，， 而，所以， 所以，． 因此，所以， 离心率. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于两个空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，当时， D. 若，分别为平面，的法向量．当时，一定有 【答案】ABC 【解析】 【分析】由向量模长的坐标表示可知A正确，利用共线定理可判断B正确，根据向量垂直的坐标表示计算可得C正确，由空间位置关系的向量证明可判断D错误. 【详解】对于A，由可得，即A正确； 对于B，由可知共线，即可得，即B正确； 对于C，由可得， 解得，即C正确； 对于D，根据平面法向量的定义可知时，一定有，可得D错误. 故选：ABC 10. 设为坐标原点，直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线过焦点可得选项A正确；求出点坐标，利用两点间距离公式可得选项B正确；联立直线与抛物线方程，根据弦长公式可得选项C错误；求出点坐标，结合焦半径公式可得选项D正确. 【详解】 A.由题意得，，故，，A正确. B.由A得，抛物线标准方程为，准线方程为， ∴，故，正确. .设，由得，， ∴，故，C错误. D.由得，，故， ∴，故， ∴，D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆，点，以为直径的圆与交于，两点，则（ ） A B. 直线与有且只有一个公共点 C. 四边形为平行四边形 D. 若为上的动点，则的最大值为10 【答案】AB 【解析】 【分析】求出以为直径的圆方程，与椭圆方程联立求出的坐标，再逐项求解判断. 【详解】依题意，以为直径的圆的方程为， 选项A，由及对称性得，则，A正确； 选项B，直线方程为，即，由， 得，，直线与只有一个交点，B正确； 选项C，设直线与轴交点为，，， ，四边形不是平行四边形，C错误； 选项D，设，则，，， 则， 而，因此当时，，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列为等差数列，公差，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件计算等差数列首项，结合等差数列前项和公式计算可得结果. 【详解】由得，，故， ∴. 故答案为：. 13. 若直线与直线垂直，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】运用直线垂直的结论计算即可. 【详解】直线与直线垂直，则，解得. 故答案为：2. 14. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意可得，结合对称性只研究，，作出图形即可得面积. 【详解】由可得，即， 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 将代换，方程不变，可知曲线关于轴对称； 根据，对称性可知，只需讨论，即可． 此时，所以， 可得轨迹在第一象限内与轴和轴所围成的面积为， 所以的面积为． 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：根据方程研究其对称性，这样只需研究，即可，分别理解和计算. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求边所在的直线方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）联立直线与方程可得，设点，则，根据点分别在直线上列方程组可得结果. （2）设，根据及线段中点在上列方程组可得结果. 【小问1详解】 由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. 【小问2详解】 设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，面面垂直转化为线面垂直可得到，结合可证明结论. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面所成角的正弦值，也可根据线面角的定义法求解. 【小问1详解】 ∵，为的中点，∴. ∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. ∵平面，平面，∴， ∵，平面，∴ 平面． 【小问2详解】 方法一： ∵平面，平面，∴， ∵平面，平面，∴， ∴，． 以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ∴，，． 设平面的一个法向量，由，得， 令，则，∴. 设直线与平面所成角为，则， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 方法二： ∵平面，平面，∴， ∵平面，平面，∴， ∴，，． 如图，取的中点，连接、，作于，则. ∵平面，平面，∴， ∴. ∵，为的中点，∴， ∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，，平面， ∴平面，故为直线与平面所成的角． ∵， ∴直线与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知双曲线（，）渐近线方程为，且经过点． （1）求的方程； （2）直线与有且只有一个公共点，求的值； （3）直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程代入点计算即可求出标准方程； （2）联立直线和双曲线方程，对方程类型进行分类讨论即可求得值； （3）联立直线与双曲线方程，利用弦长公式以及点到直线距离求出三角形面积表达式，解方程可得的值. 【小问1详解】 由已知，则， 代入点得， 所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 直线与双曲线有且只有一个公共点， 所以方程组只有一组解，即只有一个解， 当，即时，满足题意． 当时，，解得； 所以 【小问3详解】 设，，如下图所示： 联立，化简得， 由，解得，且； 所以 原点到直线的距离 所以的面积为； 解得. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为． （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、． ①当时，求的值； ②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①0；②为定值，定值为0． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，结合是上一点,构造方程组，求解即可. （2）①当时直线曲线联立，求出， 再求出即可， ②当变化时，设，，直曲联立，得，韦达定理得到 ，，再用斜率公式，结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得，故的方程为． 【小问2详解】 ①当时，由题意得直线的方程为，联立，得， 即， 所以 ②当变化时，是为定值0． 证明：设，，联立，得， 所以，即，且， 则， 所以 即为定值，定值为0． 【点睛】知识方法点睛：本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示成能应用韦达定理的形式，代入韦达定理结论，整理消去变量可得定值. 19. 在平面直角坐标系中，直线交曲线于点，（在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.如图，将坐标系第一、二象限所在的半平面沿轴向上翻折90°. （1）当时， ①求点到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值； （2）求线段长度的最小值. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①方法一：建立空间直角坐标系利用空间距离的向量求法计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可求出点到平面的距离； ②利用两平面的法向量即可求出平面与平面的夹角的余弦值； （2）在空间坐标系中求得两点坐标，再由两点间的距离公式利用基本不等式计算可得最小长度. 【小问1详解】 ①方法一： 当时，联立，得或， 翻折后，在平面内作z轴交于点O得到如下图所示空间直角坐标系： 则，，，，，， 令平面的一个法向量， 由，令，则，， ， 故点到平面的距离. 方法二: 当时，由得或， 翻折后，，，，， ，， 点到平面的距离为1，设点到平面的距离为， 又，，解得； 所以求点到平面的距离为， ②当时，由①可知，， 令平面的法向量， 由，令，则，；， 故平面与平面的夹角的余弦值； 【小问2详解】 联立，得或； 所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故线段长度的最小值为. 【点睛】关键点点睛：求解线段长度的最值时关键在于求得两点的空间坐标，再由两点间距离公式利用基本不等式求出最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年光明区普通高中高二年级期末调研考试 数学 2025.1 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，为中点，为中点，则用，，表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项数列满足，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知直线与直线关于直线对称，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（ ） A （且） B. （且） C （且） D. （且） 7. 已知圆，直线与交于，两点，则面积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知双曲线（，），为其左右焦点，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交的左右两支于，两点．若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于两个空间向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，当时， D. 若，分别为平面，的法向量．当时，一定有 10. 设为坐标原点，直线经过抛物线焦点，且与交于，两点（点在轴上方），与的准线交于点，下列说法正确的是（ ） A B. C. D. 11. 已知椭圆，点，以为直径的圆与交于，两点，则（ ） A. B. 直线与有且只有一个公共点 C. 四边形为平行四边形 D. 若为上的动点，则的最大值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若数列为等差数列，公差，，则______． 13. 若直线与直线垂直，则______． 14. “曼哈顿距离”是人工智能中常用的一种测距方式．定义平面上两点，之间的“曼哈顿距离”为．对于平面上两定点，，若动点满足．记的轨迹为，则的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求边所在的直线方程； （2）求点关于直线的对称点的坐标． 16. 如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点． （1）求的方程； （2）直线与有且只有一个公共点，求的值； （3）直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为． （1）求的方程； （2）直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、． ①当时，求的值； ②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 19. 在平面直角坐标系中，直线交曲线于点，（在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.如图，将坐标系第一、二象限所在的半平面沿轴向上翻折90°. （1）当时， ①求点到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值； （2）求线段长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$