第07讲 余弦定理、正弦定理应用举例（四大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第07讲 余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标： 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2.了解常用的测量相关术语； 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题 重点难点： 重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用. 难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理、余弦定理解三角形. 一、实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 二、解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 考点01 测量距离问题 1．地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 2．已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 3．如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【详解】由已知得，得到，，所以. 故选：A 4．某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【详解】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A 5．海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里C处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 海里． 【答案】 【详解】如图：由题意，， 所以， 在中，由正弦定理，即，所以， 在中，，所以. 故答案为：． 考点02 测量高度问题 6．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由正弦定理可知： ，则，即， 在直角中， 由，得， 故选：A. 7．如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 8．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理， 得， 在中，. 所以估算黄鹤楼的高度CD为. 故选：C 9．某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（   ）米．    A．20 B．22 C．40 D．42 【答案】B 【详解】设，因为，，， 所以，，， 因为，点为中点， 所以，点为中点， 故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由于，故， 即，解得， 故建筑物的高度（米）. 故选：B 10．如图，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量，在C点测得B点的仰角为，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影分别为A，B，C且．则A与C两点的海拔高度差为 m． 【答案】360 【详解】如图，作 ，由题知 ， ， 则 ， 在 中，因为 ， 所以 ，由正弦定理得 ， 解得 ， 作 ， ，则 ，所以 ， 所以 与 两点的海拔高度差 . 故答案为：360 考点03 测量角度问题 11．一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则 n mile;设灯塔在处的南偏西度,则 . 【答案】 36 60 【详解】解:由题意画草图如下: 在中,由已知得,, 则,. 由正弦定理,得, 在中,由余弦定理, 得 即, , ,从而, 所以灯塔在处的南偏西. 故答案为: 12．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为 ． 【答案】/ 【详解】如图， ∵，， ∴，∴． ∵，， ∴，∴． 在中，由， 得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：. 13．一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（    ） A．北偏东 B．北偏东或南偏东 C．南偏东 D．以上方位都不对 【答案】B 【详解】如图所示，由题意可知（海里），海里，， 在中，由，得， 所以或， 故或， 即灯塔S在B处的北偏东或南偏东． 故选：B. 14．（多选）装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 【答案】ABC 【详解】根据题意作出图形：    由货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里，得，， 又在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里，得，， 又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，得， 所以在中，. 对于A：在中，由正弦定理得， 所以（海里)，故A正确； 对于B：在中，由余弦定理得， 即（海里)，故B正确； 对于C：因为，所以， 所以灯塔在处的南偏西方向，即灯塔C在D处的西偏南，故C正确； 对于D：由，在灯塔的南偏东处，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：ABC. 15．如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，设小艇以每小时的速度从处出发，沿方向行驶，小时后与运动员在处相遇，    在中，，故 由余弦定理求得， 则， 整理得， 当时，即时，，故. 即小艇至少以每小时的速度从处出发才能追上运动员. （2）当小艇以每小时的速度从处出发， 经过时间小时追上运动员， 故， 又，由正弦定理得，解得， 故. 即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角为. 考点04 实际应用中的最值问题 16．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由勾股定理可得，，过作，交于，连结，    则，设，则， 在中，，，所以， 则，可得， 所以， 当，即时，取得最大值为. 故选：D. 17．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. (1)求的长度； (2)记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，，. 【详解】（1）在中，， 所以， 由正弦定理， 即，解得，故的长度为. （2）由题可知， 在中， ∴，， ∴ ， ∴，， ∵，∴， ∴， 所以当，即时取得最大值，最大值为. 18．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设．    (1)用表示； (2)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】(1)， (2)公里 【详解】（1）解：由岛屿到补给站的距离为岛屿到的，可得， 点为中点，且， 又由，所以， . （2）解：由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值120，即的最小值为， 所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 19．在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图，)都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点． (1)求灯柱的高为多少米; (2)设，且，求灯所照射路面宽度的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接， 设，则， 在直角中， ， 在直角中，   ，    则有，解得  ，         在直角中，. （2）解：以为坐标原点， ，分别为轴，建立直角坐标系，则 ，又 ①若，由（1）知， ②若， 则直线的方程为，则； 直线的方程为，则； 所以 == 又，所以当且仅当时，取最小值； 综合①②知，当时，取最小值. 20．某景区的平面图如图所示，其中为两条公路，为公路上的两个景点，测得，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对的视角.现需要从观景台到建造两条观光路线，则观光线路的取值范围为 . 【答案】 【详解】在中，由余弦定理得， 在中，设， 由正弦定理得，， 则， 于是 ，而， 因此， 即长的取值范围是（单位：）. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 基础试炼 1．甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】设甲到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，甲测得电线杆顶部仰角为. 根据正切函数，对于仰角，. 所以米.   同理，设乙到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，乙测得电线杆顶部仰角为. 对于仰角，. 所以米.   则两人在地平面上的最远距离为甲到电线杆底部的距离与乙到电线杆底部的距离之和. 即米. 故选：C. 2．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【详解】在中，，，，则， 由正弦定理得，即，故，解得. 在中，，，， 则由余弦定理得 ， 所以，即灯塔C与D处之间的距离为海里. 故选：B. 3．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A 4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（    ） A．25m B．30m C．35m D．40m 【答案】B 【详解】解： 如图所示， 设水柱CD的高度为h， 在ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h， ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°， 又∵B，A，C在同一水平面上， ∴是以C为直角顶点的直角三角形， 在中，∠CBD=30°，∴BC=， 在中，由余弦定理可得， ∴，即，解得． ∴水柱的高度是30m， 故选：B. 5．（多选）据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（    ） A．把两只佛脚底部看作两点，分别测量佛顶的仰角和的距离 B．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为 C．高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角 D．在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角 【答案】BCD 【详解】对于A：如果两点与佛像底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确． 对于B： 在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为,佛像高度为, 在中，, 在中，， 所以，即，佛像高度，故B正确； 对于C：如下图， 在中由正弦定理求，则佛像的高，故C正确； 对于D：如下图， 在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角， 在直角三角形中用来表示,在中由余弦定理就可以计算出佛像高度，故D正确； 故选：BCD. 6．（多选）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是； C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°． 【答案】AC 【详解】   由题意可知，所以，, 在中，由正弦定理得，所以，故A正确； 在中，由余弦定理得， 即，故B错误； 因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C正确； 由，在灯塔的北偏西处，故D错误. 故选：AC 7．如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距 km. 【答案】 【详解】由条件可得，，， 由余弦定理可得， 所以， 故. 故答案为：. 8．如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 . 【答案】 【详解】在中，则， 且， 由正弦定理得， 所以， 在中，，所以. 故答案为：. 9．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF= . 【答案】 【详解】如图，作∥交于，交于，则 , , ， 在中，由余弦定理得 , 故答案为： 10．如图，设A，B是海岸线相距n mile的两个观察所，一渔轮在C处遇险，发出求救信号，两观察所同时收到求救信号，收到求救信号时，测得∠CAB=45°，∠ABC=15°，并发现渔轮正在以9n mile/h的速度向观察所B行驶，若观察所A，B的救援舰艇的最高速度都是n mile/h．试判断从何处派遣救援舰艇更合理，请说明理由并说出具体救援路线.（参考数据：）    【答案】从A处派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB成角得方向前去救援. 【详解】在中，∠CAB=45°，∠ABC=15°，所以∠ACB=120°，又， 由正弦定理有：，解得， 若从B处派救援船，救援时间为（h）， 在中，由正弦定理有：，解得， 若从A处派救援船，假设救援船与渔轮在处相遇，救援时间为，    在中，由余弦定理得：， 即，整理得：， 解得，负值舍去；因为，故应该从A处派船救援； 在中，， 故，. 故从A处派救援船，且救援船应该沿着与海岸线AB成角得方向前去救援. 11．已知，是两个小区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别为，，，两地之间的距离为．如图所示，某移动公司将在，之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等，试确定点到点的距离． 【答案】 【详解】设，， 则，，． 依题意得，， 由得，，解得， 故点到点的距离为． 12．如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 【答案】米. 【详解】如图，延长交的延长线于，过作于. 在中，因为坡比为，所以， 所以，又米， 则（米）， （米）. ∵，， ∴（米）， ∴（米）. 设米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米，（米）. ∵， ∴，解得， ∴信号柱的高度为米. 高阶突破 1．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 2．如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16nmile的B处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东处．观测中发现，此外国船只正以每时4nmile的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12nmile处，不让其进入D岛12nmile内的海域，则海监船的航向为 ，其速度的最小值为 ．（参考数据：） 【答案】 北偏东 20海里/小时 【详解】依题意，在中，，由余弦定理得 ∴ 即此时该外国船只与岛的距离为海里． 过点作于点， 在中， ∴ 以为圆心，为半径的圆交于点，连结， 在中， ∴， 又 ∴， 外国船只到达点的时间（小时） ∴海监船的速度（海里小时） 故海监船的航向为北偏东，速度的最小值为海里小时. 故答案为：北偏东；海里小时. 3．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则 . 【答案】/ 【详解】    如图，O为楼脚，OP为楼高，则，， 所以，又因为，，所以， 所以，所以，所以 又因为，所以在中， ， 所以， 故.，所以，所以. 故答案为：. 4．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 5．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，， 解得．又， 解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：C. 6．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      【答案】 【详解】过点在平面内作直线的垂线，垂足为点，如图，    则由仰角的定义得 ， 由题意 ，设，则 ， 当点与不重合时，在 中， ， 当点与重合时，上式也成立， 在 中，   ， 当时， 取最大值， 综上，的最大值为. 故答案为：. 7．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以米； （2）因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 8．与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 【答案】(1)159米 (2)米 【详解】（1）在中，，得， 在中，，得， 因为， 所以， 解得米. （2）由图可知，设米， 则，， ， 当且仅当，即时等号成立. 根据题意，对于锐角越大，则越大，反之亦然， 显然，可得最大时最大. 答：当为米时，欣赏“灯光秀”的视角最大. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第07讲 余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标： 1.进一步熟悉余弦定理、正弦定理； 2.了解常用的测量相关术语； 3.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题 重点难点： 重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用. 难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理、余弦定理解三角形. 一、实际应用问题中的专用名词与术语 1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高. 2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①). 3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②). 4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 二、解三角形应用题的一般步骤 ①审题：阅读问题，理解问题的实际背景有关名词、术语,明确已知与所求理清量与量之间的关系； ②建模：根据题意画出示意图,将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型 ③解模：正确应用正余弦定理及其他有关知识解三角形 ④换原：将三角形中的解还原为实际问题的答案 考点01 测量距离问题 1．地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 2．已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 4．某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 5．海上某货轮在处看灯塔，在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里C处，货轮由处向正北航行到处时看灯塔在东偏南，则灯塔与处之间的距离为 海里． 考点02 测量高度问题 6．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 7．如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 8．某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 9．某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（   ）米．    A．20 B．22 C．40 D．42 10．如图，A，B，C是相隔不远的三座山峰的峰顶，地理测绘员要在A，B，C三点进行测量，在C点测得B点的仰角为，B与C的海拔高度相差180m；在B点测得A点的仰角为45°．设A，B，C在同一水平面上的射影分别为A，B，C且．则A与C两点的海拔高度差为 m． 考点03 测量角度问题 11．一艘客船在处测得灯塔在它的北偏东,在处测得灯塔在它的北偏西,距离为n mile.客船由处向正北航行n mile到达处,再看灯塔在它的南偏东,则 n mile;设灯塔在处的南偏西度,则 . 12．在地面上某处测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30m，测得塔顶的仰角为，再向塔走m，测得塔顶的仰角为，则角θ的度数为 ． 13．一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东方向，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距海里，则灯塔S在B处的（    ） A．北偏东 B．北偏东或南偏东 C．南偏东 D．以上方位都不对 14．（多选）装货轮在A处看灯搭B在货轮北偏东，距离为海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．A处与D处之间的距离是24海里 B．灯塔C与D处之间的距离是海里 C．灯塔C在D处的西偏南 D．D在灯塔B的北偏西 15．如图，某运动员从市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在市南偏东方向距市的处有一艘小艇，小艇与海岸距离为，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.    (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与的夹角. 考点04 实际应用中的最值问题 16．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点A观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)．若，，，则的最大值（    ） A． B． C． D． 17．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船监控河流南岸的、两处（在的正西侧）.监控中心C在河流北岸，测得，，，监控过程中，保证监控船D观测A和监控中心C的视角为，A，B，C，D视为在同一个平面上. (1)求的长度； (2)记的周长为，，试用表示，并求的最大值. 18．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的D、E、F点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上．设．    (1)用表示； (2)若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 19．在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图，)都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点． (1)求灯柱的高为多少米; (2)设，且，求灯所照射路面宽度的最小值． 20．某景区的平面图如图所示，其中为两条公路，为公路上的两个景点，测得，为了拓展旅游业务，拟在景区内建一个观景台，为了获得最佳观景效果，要求对的视角.现需要从观景台到建造两条观光路线，则观光线路的取值范围为 . 基础试炼 1．甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为海里处；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为海里处，货轮由A处向正北航行到D处时看灯塔B在东偏南30°，则灯塔C与D处之间的距离为（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 3．《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进60m到达点B，在点B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（    ） A．25m B．30m C．35m D．40m 5．（多选）据统计，从1932年至1990年，历次所测乐山大佛高度均不一样.某校计划开展数学建模活动，打算运用所学知识测量乐山大佛的高度.老师提前准备了三种工具：测角仪､米尺､量角器.下面是四个小组设计的测量方案，其中可能测量出大佛高度的方案有（    ） A．把两只佛脚底部看作两点，分别测量佛顶的仰角和的距离 B．在佛脚平台上一点测得佛顶的仰角为，再面对大佛前行米，测得佛顶的仰角为 C．高为的同学站在佛脚平台上，在该同学头顶和脚底分别测量佛顶的仰角 D．在佛脚平台上寻找两点分别测量佛顶的仰角，再测量两点间距离和两点相对于大佛底部的张角 6．（多选）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75°，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30°，距离．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60°，则下列说法正确的是（    ） A．处与处之间的距离是； B．灯塔与处之间的距离是； C．灯塔在处的西偏南60°； D．在灯塔的北偏西30°． 7．如图，城市在观察站的北偏东方向上且相距，在观察站的北偏西方向上相距.则观察站和相距 km. 8．如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 . 9．“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF= . 10．如图，设A，B是海岸线相距n mile的两个观察所，一渔轮在C处遇险，发出求救信号，两观察所同时收到求救信号，收到求救信号时，测得∠CAB=45°，∠ABC=15°，并发现渔轮正在以9n mile/h的速度向观察所B行驶，若观察所A，B的救援舰艇的最高速度都是n mile/h．试判断从何处派遣救援舰艇更合理，请说明理由并说出具体救援路线.（参考数据：）    11．已知，是两个小区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别为，，，两地之间的距离为．如图所示，某移动公司将在，之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等，试确定点到点的距离． 12．如图，某学校老师组织高一年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量.已知信号柱直立在地面上，学生在处测得信号柱顶端的仰角为，沿斜坡从点走到点，米，坡比为，在处测得信号柱顶端的仰角为，求信号柱的高度. 高阶突破 1．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A．30m B．20m C． D． 2．如图，我国的一艘海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16nmile的B处有一艘外国船只，且D岛位于海监船正东处．观测中发现，此外国船只正以每时4nmile的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12nmile处，不让其进入D岛12nmile内的海域，则海监船的航向为 ，其速度的最小值为 ．（参考数据：） 3．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则 . 4．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 5．某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中为山顶，为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回处，预计该山路的面积的最小值为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 6．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）      7．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 8．与江苏省首批高品质示范高中江苏省常州高级中学毗邻的天宁宝塔，是世界第一高佛塔，是常州标志性建筑之一，也是该校师生喜欢的摄影取景胜地.该校高一某研究性学习小组去测量天宁宝塔的高度，该小组同学在塔底的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在、两处测得塔顶的仰角分别为，（如图），已知. (1)请计算天宁宝塔的高度（四舍五入保留整数）； (2)为庆祝某重大节日，在塔上A到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，塔高直接取（1）的整数结果，市民在塔底B的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大?（结果保留根式） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$