6.4.1～6.4.2平面向量在平面几何及物理上应用（六个重难点突破）-2024-2025学年高一下学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

6.4.1~6.4.2平面向量在平面几何及物理上应用 一、用向量证明线段垂直 四、向量与几何最值 二、用向量解决夹角问题 五、三角形四心的向量表示 三、用向量解决长度问题 六、向量在物理中的应用举例 知识点1向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 重难点一、用向量证明线段垂直 【例1】已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B 【例2】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1），由题意得， 所以． （2）由题意，． ∵，，∴． ∴， ∴． 【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【答案】证明见解析 【详解】∵·＝·＝2－2，而， ∴·＝0， ∴⊥，即DE⊥AF. 【变式1-2】在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】B 【详解】解：延长AC，使得AC=CD， 则， 因为，所以， 因为，所以， 所以是等腰三角形， 所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分， 直线AM一定经过的内心. 故选：B. 【变式1-3】如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】因为是的中点，所以. 又因为， 所以 ， 所以，即. 【点睛】找准基底向量是解决此题的关键，“中点、垂直”等字样可帮助我们快速建立基底，在表示向量夹角时，一定要注意是两向量共起点的夹角 重难点二、用向量解决夹角问题 【例3】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 【例4】如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2-1】在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 【变式2-2】已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 【变式2-3】正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 重难点三、用向量解决长度问题 【例5】在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【答案】13 【详解】因为在平行四边形ABCD中，，， 所以，，， 因为，，且， 所以，所以， 所以四边形ABCD为矩形，所以， 即． 【例6】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 【变式3-1】在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 【变式3-2】一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【答案】该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 【详解】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里.    【变式3-3】已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出图形如图所示，取线段的中点． 因为， 所以，故，故点在以为圆心，为半径的圆上， 则点到点的距离． 设，，所在圆的圆心为， 则当，，三点共线，即点在线段上，时，取到最大值， 此时为等边三角形，故，则点到点的距离的最大值为． 故选：D. 重难点四、向量与几何最值 【例7】已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 【例8】在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 【变式4-1】勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取DE中点F，三角形的重心G， ∵，， 则， 设，则可得，设BC中点为M， 则， ，， 在扇形中，当三点共线时，最小，所以的最小值为， 的最小值为. 故选：B 【变式4-2】在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得 【变式4-3】边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【答案】 【详解】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为： 重难点五、三角形四心的向量表示 【例9】已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 【答案】重心 【详解】与向量共线，故，即， 则变形为， 即， 所以， 取的中点，则， 所以动点M的轨迹必经过的重心. 故答案为：重心 【例10】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的 心． 【答案】垂 【详解】    ，即 同理可得：， 点为的垂心 本题正确结果：垂 【点睛】本题考查三角形垂心的判断，关键是能够通过向量数量积的运算律整理出垂直关系. 【变式5-1】阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质. （一）三角形的“四心” 1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. 3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. 4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. （二）三角形“四心”的向量表示 在中，角所对的边分别为. 1.三角形的重心：是的重心. 2.三角形的垂心：是的垂心. 3.三角形的内心：是的内心. 4.三角形的外心：是的外心. 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)在中，若，求的重心的坐标； (2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）若记坐标原点为，由是的重心，有，从而，整理得. （2）因为，有， 因为， 设，由可得， 所以， 所以 因为，从而 即， 所以， 易见不成立，故，即， 此时，即：. 【变式5-2】在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 【答案】内 【详解】，， ， ， ，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 为的内心， 故答案为：内 【变式5-3】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【详解】如图所示：连接， 因为中间阴影部分是正方形且边长为2， 且图中各个三角形为等腰直角三角形， 所以可得，，， 则， . 故选：C. 知识点2向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 重难点六、向量在物理中的应用举例 【例11】在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 【例12】长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意，游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，即航行的方向垂直河岸，由向量加法的几何意义可知，即 所以，解得， 故答案为：. 【变式6-1】一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 【答案】 【详解】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为， 于是有， 所以，则经过2h，船的实际航程为. 故答案为：. 【变式6-2】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【答案】，与M的前进方向夹角的余弦值为 【详解】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 【变式6-3】如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 一、单选题 1．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 3．已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设该单位向量为，由题可知 解得 或，即或 故选：C 4．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】如图，以直线，分别为，轴建立平面直角坐标系， 设，则，，，， 设， 则，，， ， 即当时，取得最小值5. 故选：D    5．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【详解】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 6．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【详解】 取的中点，连接（图略），则 ． 因为正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合， 所以，所以． 故选：B. 二、多选题 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．中，D为BC的中点，则 B．向量，可以作为平面向量的一组基底 C．若非零向量与满足，则为等腰三角形 D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【详解】对于A，在中，因为D为BC的中点，所以， 所以， 故选项A正确； 对于B，因为向量，，所以， 可知与共线，不能作为平面向量的一组基底，故选项B错误； 对于C，因为和分别表示与向量和同向的单位向量， 所以以和为邻边的平行四边形是菱形， 根据平行四边形法则可知在的平分线上， 又因为，所以的平分线垂直于，所以， 即为等腰三角形，故选项C正确； 对于D，若点P是线段AB的三等分点，则或， 因为，，所以， 所以或， 即点P的坐标可以为或，故选项D错误. 故选：AC. 8．（多选）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】BCD 【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，    根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，. 故选：BCD 三、填空题 9．已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】设， 因为向量，且与的夹角为钝角， 所以，所以， 不妨令，则，故， 故答案为：（答案不唯一）. 10．已知向量，，，若，则 ；若与的夹角为钝角，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题，， 若，所以，则； 若与的夹角为钝角，则且， 所以且，即， 故答案为：； 11．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    【答案】 【详解】因为绳索长1.5 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m，斜面坡度为， 所以作用力与斜面之间所成的角度θ满足， 所以， 记沿斜面向上方向的单位向量为， 则位移，， 故答案为：. 四、解答题 12．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 13．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【答案】(1)位移大小为，方向为正前方 (2)相等 【详解】（1）由题意，为直角三角形， 由，， 得， 又， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为，方向为正前方； （2）因为， 所以中场队员的位移与球的位移相等. 14．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以， 所以. 15．在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由三点共线，则存在使得， 则，整理可得， 由三点共线，则存在使得， 则，整理可得； 根据平面向量基本定理可得，解得； 因此； （2）由（1）可得， 又，由①可得； 又，则, 则， ， ； 则， 所以的余弦值为. （3）由（1）可知，则， 由共线，设， 又，可得， 则，可得； 所以，即， 因此，又，则， 则，解得，故的范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.1~6.4.2平面向量在平面几何及物理上应用 一、用向量证明线段垂直 四、向量与几何最值 二、用向量解决夹角问题 五、三角形四心的向量表示 三、用向量解决长度问题 六、向量在物理中的应用举例 知识点1向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 重难点一、用向量证明线段垂直 【例1】已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【例2】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【变式1-1】如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【变式1-2】在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【变式1-3】如图所示，以两边为边向外作正方形和，为的中点.求证：. 重难点二、用向量解决夹角问题 【例3】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例4】如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【变式2-1】在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式2-2】已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 重难点三、用向量解决长度问题 【例5】在平行四边形ABCD中，设，，已知，，，求的值． 【例6】如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【变式3-1】在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【变式3-2】一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【变式3-3】已知，，三点共圆，，且点，，满足，若，则点到点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 重难点四、向量与几何最值 【例7】已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 【例8】在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【变式4-1】勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以三角形ABC边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形ABC边长为60，点D，E分别为线段AB，AC的中点，点P为圆弧上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【变式4-3】边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 重难点五、三角形四心的向量表示 【例9】已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择） 【例10】点O是△ABC所在平面内的一点，满足，则点O是的 心． 【变式5-1】阅读材料：三角形的重心､垂心､内心和外心是与三角形有关的四个特殊点，它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质. （一）三角形的“四心” 1.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 2.三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. 3.三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. 4三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. （二）三角形“四心”的向量表示 在中，角所对的边分别为. 1.三角形的重心：是的重心. 2.三角形的垂心：是的垂心. 3.三角形的内心：是的内心. 4.三角形的外心：是的外心. 研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合的数学思想. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)在中，若，求的重心的坐标； (2)如图所示，在非等腰的锐角中，已知点是的垂心，点是的外心.若是的中点，求证：. 【变式5-2】在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 【变式5-3】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 知识点2向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 重难点六、向量在物理中的应用举例 【例11】在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【例12】长江流域内某段南北两岸平行，如图，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设与所成的角为，若游船要从航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ． 【变式6-1】一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 【变式6-2】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【变式6-3】如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 一、单选题 1．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，则与垂直的单位向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 4．已知直角梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．5 5．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 6．铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．2 D．4 二、多选题 7．（多选）下列说法正确的是（    ） A．中，D为BC的中点，则 B．向量，可以作为平面向量的一组基底 C．若非零向量与满足，则为等腰三角形 D．已知点，，点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 8．（多选）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 三、填空题 9．已知向量，，若向量，且与的夹角为钝角，写出一个满足条件的的坐标为 . 10．已知向量，，，若，则 ；若与的夹角为钝角，则的取值范围为 . 11．如图，某人用1.5 m长的绳索，施力25 N，把重物沿坡度为的斜面向上拖了6 m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2 m.则此人对物体所做的功为 J.    四、解答题 12．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 13．如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 14．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 15．在中，为的中点，在边上，交于，且，设 (1)试用表示； (2)若，求的余弦值； (3)若在上，且,设，若，求的范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$