精品解析：青海省名校联盟2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的第211项为（ ） A. B. 421 C. D. 423 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知数列写出一个通项公式，再求出第211项. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：B 2. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【详解】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. 10 C. D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】先由投影得点的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求. 【详解】由题意得，则， 故选：B. 4. 已知数列满足，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且， 所以，则. 故选：C 5 若直线与互相平行，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行列式求出值. 【详解】由直线与平行，得， 所以. 故选：A 6. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（ ） A. 210 B. 209 C. 211 D. 207 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知有，应用累加法求通项公式，进而求. 【详解】因为， 所以，则. 故选：B. 7. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，写坐标，代入余弦公式即可求得. 【详解】以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设，则，，，，，.设直线与所成的角为，则，所以直线与所成角的余弦值为. 故选：A 8. 已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【详解】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则单调递增 B. 若，则单调递增 C. 可能为等差数列 D. 可能为等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差等比数列的性质分析单调性判断A、B；由等差、等比数列的定义及通项公式分析判断C、D. 【详解】等差数列单调性只与公差有关，与首项无关， 若，则单调递减，若，则单调递增，故A正确. 在等比数列中，若时单调递减，故B不正确. 设，则， 所以， 因为，所以不为常数，故C不正确. 若，则仍为等比数列，所以D正确. 故选：AD 10. 已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C. D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆心到直线的距离可判断A；最短的弦长为垂直与该直径的弦长可判断B；当的值最小时，则，可判断C；当时，切线长最小，可判断D． 【详解】A：圆，， 圆心，半径，圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，故A正确； B：设过点的直线方程为， 所以该直线被圆截得最短的弦长为垂直与该直径的弦长， 和圆心的距离为， 最短弦长为，故B错误； C：当的值最小时，则， 的最小值是圆心到直线的距离减去半径，即，故C正确； D：从点向圆引切线，当时，切线长最小，最小值是，故D正确. 故选：ACD． 11. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 在平面上的投影向量为 C. 点到平面的距离为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系可求得，即可得A正确，由投影向量定义可判断B正确，利用点到平面距离的向量求法可得C错误，再由点到直线距离的向量求法计算可知D正确. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 对于A，，， 则， 显然，则，所以四点共面，A正确． 对于B，由正方体性质知平面，所以在平面上的投影向量为，B正确． 对于C，又因为，， 设平面的法向量为， 由取，又， 所以点到平面的距离为，C错误． 对于D，因为，， 则点到直线的距离为，D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题意建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量求法计算即可得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线定义求出，结合可得答案． 【详解】因，所以， 可得， 因为，，所以，或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：. 13. 在空间四边形OABC中，，，，且，，则______．（用，，作基底） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的基底，利用空间向量线性运算求解即得. 【详解】在空间四边形OABC中，，且， 所以 . 故答案为： 14. 一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 【答案】 【解析】 【分析】计算出最后一辆车出发的时间，即可计算出最后一辆车共行驶的时长. 【详解】因为每间隔分钟小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为时， 故最后一辆车行驶了小时. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和. （1）求，并证明数列是等差数列； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用与关系求出，再根据等差数列的定义证明即可； （2）由（1）已得，化简并裂项，利用裂项相消法即可求得. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 则当时，， 因满足， 故数列的通项公式为. 又因， 故数列是首项为1，公差为2的等差数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， 故 . 16. 已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【小问1详解】 依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. 【小问2详解】 设，，由线段的中点坐标为，得， 则，两式相减得，整理得， 因此直线的斜率，其方程为，即， 所以直线的方程为. 17. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图2． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，证明四边形为菱形，进而，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 在图1中，过分别作，垂足分别为， 则，连接，得， 所以四边形为菱形，连接，交于点， 则 在图2中，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，为二面角所成的平面角，所以， 过作，建立如图空间直角坐标系， 则， 得， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以，则， 又平面和平面的夹角为锐角， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆C的方程． （2）不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）； （2）过定点，. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意，，由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则， 由消去整理得， 则，直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上， 令，得 ， 所以直线过定点. 19. 已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）； （ⅱ）λ的最大值为7 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式求得，从而求得数列的通项公式，由递推公式可得数列是等比数列，从而求出数的通项公式； （2）（ⅰ）由（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求出；（ⅱ）由，可得，构造数列，利用作差法判断数列的单调性，从而求得的最大值. 【小问1详解】 因为数列是公差为2的等差数列，且，所以， 所以，解得，所以， 因为，所以， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以； （ⅱ）由，可得，令， 则， 所认单调递增，所以，所以λ的最大值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列，则该数列的第211项为（ ） A. B. 421 C. D. 423 2. 如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（ ） A. 26 B. 10 C. 4 D. 14 3. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A B. 10 C. D. 100 4. 已知数列满足，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与互相平行，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 6. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（ ） A. 210 B. 209 C. 211 D. 207 7. 在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（ ） A. 若，则单调递增 B. 若，则单调递增 C. 可能为等差数列 D. 可能为等比数列 10. 已知圆：与直线：，点在圆上，点在直线上，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 过点的直线被圆截得的弦长的最小值为 C D. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 11. 如图，在棱长为1正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（ ） A. 四点共面 B. 在平面上的投影向量为 C. 点到平面的距离为 D. 点到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则________. 13. 在空间四边形OABC中，，，，且，，则______．（用，，作基底） 14. 一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了______小时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前n项和. （1）求，并证明数列是等差数列； （2）求数列的前n项和. 16. 已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． （1）求C方程； （2）直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 17. 图1是直角梯形ABCD，，，，，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且二面角的平面角为，如图2． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角余弦值． 18. 已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． （1）求椭圆C的方程． （2）不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 19. 已知公差为2的等差数列满足，数列满足，． （1）求数列，的通项公式． （2）设，数列的前n项和为． （ⅰ）求； （ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求λ的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$