2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义第17讲 三角形与全等三角形

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第四单元　三角形 《第17讲 三角形与全等三角形》 【知识梳理】 1.三角形的概念及分类 (1)定义:由　不在同一条直线上　的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.  (2)三角形的分类: ①按角分: 三角形 ②按边分: 三角形 2.三角形的三边关系 (1)三角形任何两边的和　大于　第三边.  (2)三角形任何两边的差　小于　第三边.  3.三角形的内角和 (1)定理:三角形三个内角的和等于　180　°.  (2)推论:①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的　和　.  ②三角形的一个外角　大于　任意一个和它不相邻的内角.  (3)拓展:在一个三角形中，最多有　三　个锐角，最少有　两　个锐角，最多有　一　个钝角，最多有　一　个直角.  4.三角形中的重要线段 (1)角平分线:在三角形中，一个内角的　角平分线　与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形三条角平分线的交点是三角形的内心.  (2)中线:连结三角形的一个顶点与该顶点的对边　中点　的线段，叫做三角形的中线.三角形三条中线的交点是三角形的重心.  (3)高线:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作　垂线　，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.三角形三条高线的交点是三角形的垂心.  (4)中位线:连结三角形　两边中点　的线段叫做三角形的中位线.  三角形的中位线　平行　于第三边，并且等于第三边的　一半　.  5.全等图形及全等三角形的概念 (1)全等图形:能够　重合　的两个图形称为全等图形.  (2)全等三角形:能够　重合　的两个三角形叫做全等三角形.  6.全等三角形的性质 (1)性质:全等三角形的对应边　相等　，对应角　相等　.  (2)拓展:全等三角形的对应边上的高线　相等　，对应边上的中线　相等　，对应角的平分线　相等　.  7.三角形全等的判定 对应相等的元素 三角形是否一定全等 一 般 三 角 形 两边一角 两边及其夹角 一定(SAS) 两边及其中一边的对角 　不一定　  两角一边 两角及其夹边 一定(ASA) 两角及其中一角的对边 一定(AAS) 三角 　不一定　  三边 一定 ( SSS ) 直角三 角形 斜边、一条直角边 一定(　HL　)  拓展:满足下列条件的三角形也是全等三角形: (1)有两边和其中一条边上的中线对应相等的两个三角形全等. (2)有两边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等. (3)有两角和其中一个角的平分线对应相等的两个三角形全等. (4)有两角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等. (5)有两边和其中一条边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等. 8.定义、命题与证明 (1)定义:一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. (2)命题:一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. (3)命题的组成:命题通常写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是　条件　，“那么”后面的部分是　结论　.  (4)命题的真假:命题有真命题和假命题;定理是用推理的方法判断为　正确　的命题.  (5)互逆命题:在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的　逆命题　.  (6)互逆定理:如果一个定理的逆命题能被证明是　真命题　，那么就称它为原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.  (7)证明:从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明. (8)反证法:在证明一个命题时，人们有时先假设命题　不成立　，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件　矛盾　，或者与定义、基本事实、定理等　矛盾　，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确，这种证明方法叫做反证法.   9.角平分线的性质定理 (1)角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离　相等　.  (2)角平分线性质定理的逆定理:角的内部，到角两边距离相等的点在　这个角的平分线上　.  【考题探究】 类型一　三角形的三边关系 【例1】[2023·金华]在下列长度的四条线段中，能与长6 cm，8 cm的两条线段围成一个三角形的是(　C　) A.1 cm B.2 cm C.13 cm D.14 cm 变式1 [2023·河北]四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为(　B　) 变式1图 A.2 B.3 C.4 D.5 类型二　三角形的内角和与外角的性质 【例2】[2023·杭州]如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上.若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝　90　°.  例2图 【解析】 ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠ADE＝28°， ∴∠A＝∠ACF－∠B＝90°. 变式2 如图，在△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高线，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是　100　°.  　变式2图 【解析】 ∵CD是边AB上的高线， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°. ∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝50°，∠CBD＝90°－∠BCD＝60°， ∴∠CAB＝90°－∠ACD＝40°. ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠EAB＝∠CAB＝20°， ∴∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝100°. 类型三　角平分线的性质 【例3】[2023·随州]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的平分线，则AD＝　5　.  例3图 例3答图 【解析】 如答图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵BD是∠ABC的平分线，CD⊥BC，DE⊥AB， ∴CD＝DE. 在Rt△ABC中，AB＝＝10. 设CD＝DE＝x，则AD＝8－x. 易知AB·DE＝AD·BC，∴10x＝(8－x)·6， 解得x＝3，∴AD＝8－x＝5. 变式3－1 [2024·南充]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　C　) 变式3－1图 A. B. C.2 D.3 【解析】 在Rt△ABC中，tan B＝，∴AC＝×6＝2. ∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝×60°＝30°. 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，∴CD＝×2＝2. ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC，∴点D到AB边的距离等于线段CD的长，即线段DE长度的最小值为2. 变式3－2 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积为(　B　) A.24 B.30 C.36 D.42 变式3－2图 变式3－2答图 【解析】 如答图，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于点H. ∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°， ∴DH＝CD＝4， ∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30. 类型四　三角形的中位线 【例4】[2023·金华]如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点.若CD＝4 cm，则该工件内槽宽AB的长为　8　cm.  例4图 变式4－1图 变式4－1 如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点.若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长为(　B　) A.28 B.14 C.10 D.7 变式4－2 [2024·浙江]如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连结BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为　4　.  变式4－2图 【解析】 ∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点， ∴BC＝2DE＝2×2＝4，DE∥BC， ∴∠AED＝∠C. ∵∠AED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝4. 类型五　命题与证明 【例5】命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”的逆命题是　如果a＝b，那么|a|＝|b|　.  变式5－1 能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是(　C　) A.x＝－1 B.x＝＋1 C.x＝3 D.x＝ 变式5－2 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应先假设这个三角形中(　A　) A.至少有两个内角是直角 B.没有一个内角是直角 C.至少有一个内角是直角 D.每一个内角都不是直角 类型六　三角形全等 【例6】[2024·内江]如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF. (1)求证:△ABC≌△DEF. (2)若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数. 例6图 解:(1)∵AD＝BE， ∴AD＋BD＝BE＋BD，即AB＝DE. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)∵∠A＝55°，∠E＝45°， 由(1)可知△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°－(∠FDE＋∠E)＝180°－(55°＋45°)＝80°. 变式6－1 [2023·宜宾]已知:如图，AB∥DE，AB＝DE，AF＝DC.求证:∠B＝∠E. 变式6－1图 证明:∵AF＝DC， ∴AF＋CF＝DC＋CF，即AC＝DF. ∵AB∥DE，∴∠A＝∠D. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠B＝∠E. 变式6－2 [2024·长沙]如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE. (1)求证:△ABC≌△ADE. (2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数. 变式6－2图 解:(1)在△ABC和△ADE中， ∵ ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)由(1)得△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠AEC＝∠ACE. ∵∠AEC＋∠ACE＝2∠ACE＝180°－∠DAE＝120°， ∴∠ACE＝60°. 类型七　三角形全等的开放型探究问题 【例7】[2024·西湖区模拟]已知:如图，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连结BE，CD，BE与CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C. 有以下四个结论:①BE＝CD;②BO＝CO;③DO＝EO;④BO＝BD. (1)以上四个结论中正确的是　①②③　.(只需填写序号)  (2)请从(1)中任选一个结论进行证明. 例7图 证明:(2)选择①证明如下: 在△ABE和△ACD中，∵ ∴△ABE≌△ACD(ASA)， ∴BE＝CD. 选择②证明如下: 在△ABE和△ACD中，∵ ∴△ABE≌△ACD(ASA)， ∴AD＝AE. ∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE， 即BD＝CE. 在△BOD和△COE中，∵ ∴△BOD≌△COE(AAS)， ∴BO＝CO. 选择③证明如下: 在△ABE和△ACD中，∵ ∴△ABE≌△ACD(ASA)， ∴AD＝AE. ∵AB＝AC，∴BD＝CE. 在△BOD和△COE中，∵ ∴△BOD≌△COE(AAS)， ∴EO＝DO. ④根据已知条件无法判定BO＝BD， 故结论④不正确. 变式7－1 [2023·河北]在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C'＝4，已知∠C＝n°，则∠C'＝(　C　) A.30° B.n° C.n°或180°－n° D.30°或150° 【解析】 当BC＝B'C'时，△ABC≌△A'B'C'(SSS)， ∴∠C'＝∠C＝n°; 当BC≠B'C'时，如答图. 变式7－1答图 ∵A'C'＝A'C″，∴∠A'C″C'＝∠C'＝n°， ∴∠A'C″B'＝180°－n°. 综上所述，∠C'＝n°或180°－n°. 变式7－2 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO，有下列结论:①AC⊥BD;②CB＝CD;③△ABC≌△ADC;④DA＝DC.其中正确的是　①②③　(填序号).  变式7－2图 【解析】 ∵△ABO≌△ADO， ∴AB＝AD，∠AOB＝∠AOD，∠BAO＝∠DAO. 又∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∴∠AOB＝∠AOD＝90°， 即AC⊥BD，①正确. ∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC， ∴△ABC≌△ADC(SAS)， ∴CB＝CD，②③正确. ④无法证明. 综上所述，正确的是①②③. 【课后作业】 1.[2023·福建]若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是(　B　) A.1 B.5 C.7 D.9 2.[2024·北京]下面是“作一个角使其等于∠AOB的尺规作图方法. (1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D; (2)作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C';以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧相交于点D'; (3)过点D'作射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB. 第2题图 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'＝∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是(　A　) A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 3.[2023·衡阳]我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.”假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”的定理矛盾，所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(　A　) A.反证法 B.比较法 C.综合法 D.分析法 4.[2023·凉山州]如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是(　D　) 第4题图 A.∠A＝∠D B.∠AFB＝∠DEC C.AB＝DC D.AF＝DE 【解析】 ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，∴当∠A＝∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，A不符合题意. 当∠AFB＝∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，B不符合题意. 当AB＝DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，C不符合题意. 当AF＝DE时，SSA不能证明△ABF≌△DCE，D符合题意. 5.[2024·长沙]如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BC的中点，连结DE.若DE＝12，则AB的长为　24　.  第5题图 6.[2024·成都]如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为　100　°.  第6题图 7.请写出命题“如果a＞b，那么b－a＜0”的逆命题:　如果b－a＜0，那么a＞b　  8.[2024·乐山]如图，AB是∠CAD的平分线，AC＝AD，求证:∠C＝∠D. 第8题图 证明:∵AB是∠CAD的平分线， ∴∠CAB＝∠DAB. 在△ABC和△ABD中， ∵ ∴△ABC≌△ABD(SAS)， ∴∠C＝∠D. 9.[2024·云南]如图，在△ABC和△AED中，AB＝AE，∠BAE＝∠CAD，AC＝AD.求证:△ABC≌△AED. 第9题图 证明:∵∠BAE＝∠CAD， ∴∠BAE＋∠CAE＝∠CAD＋∠CAE， 即∠BAC＝∠EAD. 在△ABC与△AED中， ∵ ∴△ABC≌△AED(SAS). 10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为　2.4　.  第10题图 【解析】 ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE＝1.6， ∴BD＝BC－CD＝4－1.6＝2.4. 11.[2024·牡丹江]如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件　DE＝EF或AD＝CF(答案不唯一)　，使得AE＝CE.(只添加一种情况即可)  第11题图 【解析】 ∵CF∥AB， ∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠CFE， ∴添加条件DE＝EF，可以使得△ADE≌△CFE(AAS)， 添加条件AD＝CF，可以使得△ADE≌△CFE(ASA)， ∴AE＝CE. 12.[2023·重庆A卷]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为　3　.  第12题图 【解析】 ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BEA＝∠AFC＝90°， ∴∠BAE＋∠ABE＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°， ∴∠FAC＝∠ABE. 在△ABE和△CAF中， ∵ ∴△ABE≌△CAF(AAS)， ∴AF＝BE，AE＝CF. ∵BE＝4，CF＝1， ∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1， ∴EF＝AF－AE＝3. 13.如图，AD＝AC，AB＝AE，∠DAB＝∠CAE. (1)求证:△ADE≌△ACB. (2)判断线段DF与CF的数量关系，并说明理由. 第13题图 解:(1)∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠CAB. 在△ADE与△ACB中， ∵ ∴△ADE≌△ACB(SAS). (2)DF＝CF.理由如下: 在△ADB与△ACE中， ∵ ∴△ADB≌△ACE(SAS)， ∴∠ADB＝∠ACE，DB＝CE. ∵△ADE≌△ACB， ∴∠ADE＝∠ACB， ∴∠BDF＝∠ECF. 在△DBF与△CEF中， ∵ ∴△DBF≌△CEF(AAS) ， ∴DF＝CF. 14.[2024·拱墅区模拟]已知:如图，∠ADC＝90°，DC∥AB，BA＝BC，AE⊥BC，垂足为E，F为AC的中点. (1)求证:BF⊥AC. (2)求证:△ADC≌△AEC. (3)连结DE，若CD＝5，AD＝12，求DE的长. 第14题图 解:(1)∵BA＝BC，F是AC的中点， ∴BF⊥AC(等腰三角形的三线合一). (2)∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°. ∵∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠AEC. ∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB. ∵BA＝BC，∴∠ECA＝∠CAB， ∴∠DCA＝∠ECA. 在△ADC和△AEC中， ∵ ∴△ADC≌△AEC(AAS). (3)设DE，AC相交于点G， 由(2)知△ADC≌△AEC， ∴CD＝CE，AD＝AE， ∴AC垂直平分DE， ∴DG＝EG. 在Rt△ACD中，AC＝＝13. ∵S△ACD＝AD·CD＝DG·AC， ∴DG＝， ∴DE＝. 15.如图，在△ABC中，∠B＝40°， ∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E.P是边BC上的动点(不与点B，C重合)，连结AP，将△APC纸片沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD＝α. (1)当点P与点E重合时，求α的度数. (2)当点P与点E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β之间的数量关系. 第15题图 解:(1)∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝180°－∠ACB－∠B＝50°. 又∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAC＝25°. 由翻折可知，AE垂直平分CD， ∴∠ACD＝90°－∠EAC＝65°， ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°. (2)分情况讨论: ①当点P在线段BE上时，如答图1. 易知∠ADC＝∠ACD＝90°－α. ∵∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°; 图1 图2 第15题答图 ②当点P在线段CE上时，如答图2，延长AD交BC于点F. 易知∠ADC＝∠ACD＝90°－α. 又∵∠ADC＝∠AFC＋∠BCD＝∠B＋∠BAD＋∠BCD＝40°＋β＋α， ∴90°－α＝40°＋β＋α，∴2α＋β＝50°. 综上所述，α与β之间的数量关系为2α－β＝50°或2α＋β＝50°. 学科网（北京）股份有限公司 $$