2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义第15讲 二次函数的应用

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第三单元　函数及其图象 《第15讲 二次函数的应用》 【知识梳理】 1.根据数量关系列函数表达式并求最大(小)值或设计方案 在生产和生活中，经常会涉及求最大利润，最省费用等问题，这类问题经常利用函数来解答，其步骤一般是:先列出函数表达式，再求出自变量的取值范围，最后根据函数表达式和自变量的取值范围求出函数的最大(小)值. 2.根据点的坐标，求距离、长度等 在实际问题中，有些物体的运动路线是抛物线，有些图形是抛物线，经常会涉及求距离、长度等问题，一般可以把它转化成求点的坐标问题. 【考题探究】 类型一　利用二次函数解决抛物线形问题 【例1】[2023·温州]一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素). (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处? 例1图 解:(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线的函数表达式为y＝a(x－2)2＋3， 把点A(8，0)代入，得36a＋3＝0，解得a＝－， ∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－2)2＋3. 当x＝0时，y＝＞2.44，∴球不能射进球门. (2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝－(x－2－m)2＋3， 把点(0，2.25)代入，得2.25＝－(0－2－m)2＋3， 解得m1＝－5(舍去)，m2＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门. 变式1－1 [2024·杭州模拟][问题背景] 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭. 图1　　 图2 变式1－1图 [实验操作] 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x(m)与飞行时间t(s)的数据，并确定了函数表达式为x＝3t.同时也收集了飞行高度y(m)与飞行时间t(s)的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如下表: 飞行时间t(s) 0 2 4 6 8 … 飞行高度y(m) 0 10 16 18 16 … [建立模型] 任务1:(1)求y关于t的函数表达式. [反思优化] 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台(距离地面的高度为PQ)，当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42 m，AB＝(18－24)m. 任务2:(2)探究飞行距离:当水火箭落地(高度为0 m)时，求水火箭飞行的水平距离. 任务3:(3)当水火箭落到AB内(包括端点A，B)，求发射台高度PQ的取值范围. 解:(1)∵二次函数图象经过点(4，16)，(8，16)， ∴抛物线的顶点坐标为(6，18). 设抛物线表达式为y＝a(t－6)2＋18. ∵抛物线经过点(0，0)， ∴36a＋18＝0，解得a＝－， ∴y关于t的函数表达式为y＝－(t－6)2＋18. (2)∵x＝3t，∴t＝， ∴y＝－＋18 ＝－x2＋2x. 当水火箭落地(高度为0 m)时， －x2＋2x＝0， 解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝36. 答:水火箭飞行的水平距离为36米. (3)设PQ的长度为c(m)， 则水火箭的抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋c. ①当抛物线经过点A时. ∵AP＝42 m， ∴点A的坐标为(42，0)， ∴－×422＋2×42＋c＝0， 解得c＝14. ②当抛物线经过点B时. ∵AP＝42 m，AB＝(18－24)m， ∴BP＝(18＋18)m， ∴点B的坐标为(18＋18，0)， ∴－×(18＋18)2＋2×(18＋18)＋c＝0， 解得c＝18. ∵水火箭落到AB内(包括端点A，B)， ∴14≤c≤18. 答:发射台高度PQ的取值范围是14 m≤PQ≤18 m. 变式1－2 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y＝－(x－5)2＋6. (1)求雕塑高OA. (2)求落水点C，D之间的距离. (3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10 m，EF＝1.8 m，EF⊥OD.问:顶部F是否会碰到水柱?请通过计算说明. 变式1－2图 解:(1)由题意得，点A在抛物线上. 当x＝0时，y＝－(0－5)2＋6＝－＋6＝， ∴OA＝ m. 答:雕塑高OA为 m. (2)由题意得，点D在抛物线上. 当y＝0时，－(x－5)2＋6＝0， 解得x1＝11，x2＝－1(不合题意，舍去)， ∴OD＝11 m，∴CD＝2OD＝22 m. 答:落水点C，D之间的距离为22 m. (3)不会. 当x＝10时，y＝－(10－5)2＋6＝－＋6＝＞1.8. 答:顶部F不会碰到水柱. 类型二　利用二次函数求最值问题 【例2】为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系.每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克;以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克. (1)求y关于x的函数表达式. (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量?最大产量为多少千克? 解:(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴y＝4－0.5(x－2)＝－0.5x＋5， ∴y关于x的函数表达式为y＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数). (2)设每平方米小番茄的产量为W千克， 由题意，得 W＝x(－0.5x＋5)＝－0.5x2＋5x＝－0.5(x－5)2＋12.5. ∵－0.5＜0， ∴当x＝5时，W取最大值，最大值为12.5. 答:每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克. 变式2 [2024·南充]2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产.A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元. (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元(利润＝售价－进价). 解:(1)设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为(132－x)元. 由题意，得3x＋5(132－x)＝540，解得x＝60， 132－60＝72(元). 答:A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件. (2)y＝60＋10x＝10x＋60(0≤x≤10). (3)w＝(60－50－x)(10x＋60)＋100×(72－60) ＝－10x2＋40x＋1 800＝－10(x－2)2＋1 840. ∵－10＜0，∴当x＝2时，w有最大值1 840. 答:A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1 840元. 类型三　二次函数在几何图形中的应用 【例3】[2024·湖北]学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙(不超出墙)，另外三边用篱笆围成.已知墙长42米，篱笆长80米.设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S平方米. (1)求y与x，S与x的关系式. (2)围成的矩形花圃面积能否为750平方米?若能，求出x的值;若不能，说明理由. (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大面积，并求出此时x的值. 　 例3图 解:(1)由题意，得2x＋y＝80， ∴y＝－2x＋80. 由0＜－2x＋80≤42，且x＞0，得19≤x＜40. 由题意，得S＝AB·BC＝x(－2x＋80)， ∴S＝－2x2＋80x. (2)能. 令S＝－2x2＋80x＝750， 解得x1＝15(舍去)，x2＝25. 答:围成的矩形花圃的面积能为750平方米，x的值为25. (3)S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800. 又∵－2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值800. 答:围成的矩形花圃面积存在最大值，最大面积为800平方米，此时x的值为20. 变式3 某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a(m)的墙，现准备用20 m的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.小俊设计了如图1和图2的两种方案: 变式3图 图1中AD的长不超过墙长;图2中AD的长大于墙长.若a＝6， (1)按图1的方案，要围成面积为25 m2的花圃，AD的长为多少米? (2)按图2的方案，能围成的矩形花圃的最大面积为多少? 解:(1)设AB的长为x(m)，则AD的长为(20－3x)m. 由题意，得x(20－3x)＝25， 解得x1＝5，x2＝. 当x＝5时，AD＝5＜6，符合题意; 当x＝时，AD＝15＞6，不合题意，舍去. 答:按图1的方案，要围成面积为25 m2的花圃，AD的长为5 m. (2)设BC的长为x(m)，矩形花圃的面积为y(m2)，则 AB＝[20－x－(x－6)]＝m. 由题意，得y＝x＝－x2＋x ＝－(x＞6). ∵－＜0， ∴当x＝时，y有最大值. 答:按图2的方案，能围成的矩形花圃的最大面积为 m2. 【课后作业】 1.[2024·天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6).有下列结论: ①小球从抛出到落地需要6 s; ②小球运动中的高度可以是30 m; ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中，正确的结论是(　A　) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【解析】 令h＝0，则30t－5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6 s，故①正确. h＝30t－5t2＝－5(t2－6t)＝－5(t－3)2＋45. ∵－5＜0，∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45， ∴小球运动中的高度可以是30 m，故②正确. 当t＝2时，h＝30×2－5×4＝40; 当t＝5时，h＝30×5－5×25＝25， ∴小球运动2 s时的高度大于运动5 s时的高度，③错误. 综上所述，正确的是①②. 2.[2023·滨州]某广场要建一个圆形喷水池，计划在池中心位置竖直安装一根带有喷水头的水管，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m(如图).若水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m，则水管的设计高度应为 　m.  第2题图 【解析】 由题意可知，(1，3)是抛物线的顶点， ∴设这段抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋3. ∵该抛物线过点(3，0)， ∴0＝a(3－1)2＋3，解得a＝－， ∴y＝－(x－1)2＋3. 令x＝0，则y＝－×(0－1)2＋3＝， ∴水管的设计高度应为 m. 3.[2024·广西]如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5 m，高度是4 m.若实心球落地点为M，则OM＝ 　m.  第3题图 【解析】 如答图，以O为坐标原点，OM为x轴正半轴，OP为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，由题意可知，点P，B(5，4)，其中B为抛物线顶点. 第3题答图 设抛物线的函数表达式为y＝a(x－5)2＋4， 将点P代入，解得a＝－， 即抛物线的表达式为y＝－(x－5)2＋4. 令y＝－(x－5)2＋4＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)， ∴OM＝ m. 4.[2024·自贡]九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地.地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图)，其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE＝6.6 m，OE＝1.4 m，OB＝6 m，OC＝5 m，OD＝3 m.班长买来可切断的围栏16 m，准备利用已有围墙围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是　46.4　m2.  第4题图 【解析】 要使该矩形菜地面积最大，则要利用AO和OC构成矩形. 设矩形在射线OA上的一段长为x(m)，矩形菜地面积为S(m2). 当x≤8时，如答图1. 第4题答图1 则在射线OC上的长为， 则S＝x·＝－x2＋9.8x＝－(x－9.8)2＋48.02， ∵－＜0， ∴当x≤9.8时，S随x的增大而增大， ∴当x＝8时，S的最大值为46.4; 当x＞8时，如答图2， 第4题答图2 则矩形菜园的周长为16＋6.6＋5＝27.6 m， 则在射线OC上的长为＝13.8－x， 则S＝x(13.8－x)＝－x2＋13.8x＝－(x－6.9)2＋47.61. ∵－1＜0， ∴当x＞6.9时，S随x的增大而减小， ∴当x＞8时，S的值均小于46.4. 综上所述，矩形菜地的最大面积是46.4 m2. 5.某景区有两个景点需购票游览，售票处出示的三种购票方式如下: 方式1:只购买景点A，30元/人; 方式2:只购买景点B，50元/人; 方式3:景点A和B联票，70元/人. 预测，四月份选择这三种购票方式的人数分别有2万、1万和1万.为增加收入，对门票价格进行调整，发现当方式1和2的门票价格不变时，方式3的联票价格每下降1元，将有原计划只购买A门票的400人和原计划只购买B门票的600人改为购买联票. (1)若联票价格下降5元，则购买方式1门票的人数有　1.8　万人，购买方式2门票的人数有　0.7　万人，购买方式3门票的人数有　1.5　万人.请计算门票总收入有多少万元?  (2)当联票价格下降x(元)时，请求出四月份的门票总收入w(万元)关于x(元)之间的函数表达式，并求出联票价格为多少元时，四月份的门票总收入最大?最大是多少? 解:(1)1.8×30＋0.7×50＋(70－5)×1.5＝186.5(万元). 答:门票总收入有186.5万元. (2)由题意，得w＝30(2－0.04x)＋50(1－0.06x)＋(70－x)(1＋0.04x＋0.06x)＝－0.1x2＋1.8x＋180＝－0.1(x－9)2＋188.1. ∵－0.1＜0， ∴当x＝9时，w取最大值，最大值为188.1， 此时70－9＝61(元). 答: 四月份的门票总收入w(万元)关于x(元)之间的函数表达式为w＝－0.1x2＋1.8x＋180，联票价格为61元时，四月份的门票总收入最大，最大是188.1万元. 6.如图1，一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加2 cm/s;然后在水平地面上继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减少0.8 cm/s.速度v(cm/s)与时间t(s)的关系如图2中的实线所示.(提示:根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程＝平均速度×时间t，，其中v0是开始时的速度，vt是t秒时的速度，匀减速运动时的路程和平均速度类似可得) (1)若n＝8时，求解下面问题. ①求m的值. ②写出滚动的路程s(cm)关于滚动时间t(s)的函数表达式. (2)若小球滚动的最大路程为350 cm，则小球在水平地面上滚动了多长时间? 第6题图 解:(1)①当0≤t≤8时，小球在斜面上运动的速度与时间的关系为v＝2t. 当t＝8时，v＝16. ∵小球在地面上滚动的速度每秒减少0.8 cm/s， ∴小球在地面上滚动的速度为v＝16－0.8(t－8). 当v＝0时，t＝28，即m＝28. ②小球在斜面上运动的时间范围是0≤t≤8，在斜面上的平均速度为＝t， ∴小球在斜面上的运动路程为s＝t2. 当8＜t≤28时，小球在地面上运动的速度为v＝16－0.8(t－8)， ∴小球在地面上运动的平均速度为＝－0.4t＋19.2， ∴小球运动的路程为s＝82＋(－0.4t＋19.2)(t－8)＝－0.4(t－28)2＋224. 综上所述，s＝ (2)设小球在斜面上的运动时间为n(s)， 则小球在斜面上运动的速度为v＝2n，小球在斜面上运动的平均速度为＝n，小球在斜面上运动的路程为s'＝n2， ∴小球在地面上运动的速度为v'＝2n－0.8(t－n)，小球在地面上运动的平均速度为＝2.4n－0.4t，小球在地面上运动的路程为s″＝(2.4n－0.4t)(t－n)＝－0.4t2＋2.8nt－2.4n2， ∴小球运动的路程s关于时间t的函数表达式为s＝s'＋s″＝－0.4n2. 当t＝n时，smax＝n2＝350，∴n＝10(负值舍去)，∴t＝35，∴小球在地面上滚动的时间为35－10＝25(s). 7.[2024·陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线FF'为x轴，以桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系. 已知:缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC＝100 m，AO＝BC＝17 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m.(桥塔的粗细忽略不计) (1)求缆索L1所在抛物线的函数表达式. (2)点E在缆索L2上，EF⊥FF'，且EF＝2.6 m，FO＜OD，求FO的长. 第7题图 解:(1)∵AO＝17 m，∴点A(0，17). 又∵OC＝100 m，缆索L1的最低点P到FF'的距离PD＝2 m， ∴抛物线的顶点坐标为P(50，2). 故可设抛物线的表达式为y＝a(x－50)2＋2. 将点A的坐标代入抛物线，得2 500a＋2＝17，解得a＝， ∴缆索L1所在抛物线的函数表达式为y＝(x－50)2＋2. (2)∵缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称， ∴缆索L2所在抛物线为y＝(x＋50)2＋2. 令y＝2.6，则2.6＝(x＋50)2＋2 解得x1＝－40，x2＝－60. 又∵FO＜OD＝50 m，∴x＝－40， ∴FO的长为40 m. 学科网（北京）股份有限公司 $$