5.4.2 第2课时正弦、余弦函数的单调性与最值课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 单调性与最值 学习目标 课标要求 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间. 素养要求 借助y＝sin x与y＝cos x的图象，理清单调区间和取得最值的条件，构建直观模型，重点提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 抽象概念 内涵解析 (1)函数图象有什么特征？函数值是怎样变化的？ （3）结合正弦函数的周期性，能写出正弦函数y＝sin x，x∈R的所有单调区间吗？ 正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增， 其值从-1增大到1； 在每一个闭区间 上都单调递减， 其值从1减小到-1. 最大值与最小值 正弦函数当且仅当 时取得最大值1； 当且仅当 时取得最小值-1. 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增， 其值从-1增大到1； 在每一个闭区间 上都单调递减， 其值从1减小到-1. y＝cos x 余弦函数当且仅当 时取得最大值1； 当且仅当 时取得最小值-1. 最大值与最小值 [－π＋2kπ， 2kπ]，k∈Z [2kπ，π＋ 2kπ]，k∈Z x＝2kπ，k∈Z × √ × 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)正弦函数y＝sin x在R上是增函数．(　　) (2)余弦函数y＝cos x的一个单调递减区间是[0，π]．(　　) (3)∃x∈[0，2π]，满足sin x＝2.(　　) √ [0，2] 对正、余弦函数单调性的理解 (1)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数． (2)正弦函数或余弦函数取最值时，对应着图象的最高点或最低点． (3)写正弦、余弦函数的单调区间时，必须标注k∈Z，这里的每一个k值，都对应着一个单调递增区间及单调递减区间，且这些区间是断开的．　 (2)sin 194°与cos 160°； 【解】　由题得sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(90°＋70°)＝－sin 70°，又0°＜14°＜70°＜90°， 所以sin 14°＜sin 70°， 即－sin 14°＞－sin 70° ， 所以sin 194°＞cos 160°. 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．　 √ √ sin 10°＞cos 110°＞－cos 50° (2)cos 110°，sin 10°，－cos 50°的大小关系是____________________________________．(用“＞”连接) 解析：因为sin 10°＝cos 80°，－cos 50°＝cos(180°－50°)＝cos 130°， 而余弦函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，因此cos 80°＞cos 110°＞cos 130°， 所以sin 10°＞cos 110°＞－cos 50°. 【变式探究】 1．(条件变式)本例中，若x∈[0，2π]，试求函数的单调递增区间． (1)用整体代换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换，将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用正(余)弦函数的单调性，求原函数的单调性． (2)求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注明k∈Z.　 √ 三角函数最值问题的求解方法 (1)y＝asin x(或y＝acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a进行正负的讨论． (2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值． (3)y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数等求最值．t的范围需要根据定义域来确定．　 √ 6 课堂巩固 自测 √ √ √ 3．已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为________． (2)求f(x)在[0，π]上的单调递增区间． 1．已学习：正弦函数、余弦函数的单调性与最值；比较三角函数值的大小． 2．须贯通：求解函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的单调性时，往往把ωx＋φ看成一个整体，借助正弦(余弦)函数的单调性解关于“ωx＋φ”的(不)等式． 3．应注意：(1)正弦、余弦函数在R上并不单调，但存在无数个单调区间，单调区间必须注明k∈Z；　 (2)利用配方或换元求函数值域时，sin x，cos x本身具有范围．　 提示　当x由－eq \f(π,2)增大到eq \f(π,2)时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1增大到1. 当x由增大到时，曲线逐渐下降，sin x的值由1减小到－1. 一、正弦、余弦函数的单调性 1.问题　观察正弦函数y＝sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的图象，回答问题： （2）指出上述函数的单调性． 提示：y＝sin x在[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]上单调递增，在[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]上单调递减． 一　正、余弦函数的单调性与最值 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 值域 [－1，1] [－1，1] [eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(3π,2)＋ 2kπ]，k∈Z x＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z 函数 y＝sin x y＝cos x 单调性 单调递 增区间 eq \o(□,\s\up1(1))_____________ ______________ eq \o(□,\s\up1(2))____________ ______________ 单调递 减区间 eq \o(□,\s\up1(3))____________ ______________ eq \o(□,\s\up1(4))____________ ______________ 最 值 ymax＝1 x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z eq \o(□,\s\up1(5))________________ ymin＝－1 eq \o(□,\s\up1(6))___________________ x＝π＋2kπ，k∈Z [－eq \f(π,2)＋2kπ，eq \f(π,2)＋ 2kπ]，k∈Z 解析：由y＝sin x的图象与性质可知，当x∈(π，eq \f(3π,2))时，函数单调递减，且函数值为负数．故选C. 2．使得函数y＝sin x单调递减，且值为负数的区间为(　　) A．(0，eq \f(π,2)) B．(eq \f(π,2)，π) C．(π，eq \f(3π,2)) D．(eq \f(3π,2)，2π) 3．函数y＝2cos x，x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]的值域为________． 解析：因为x∈[－eq \f(π,3)，eq \f(π,2)]，所以cos x∈[0，1]，所以y＝2cos x∈[0，2]． eq \a\vs4\al(二　比较三角函数值的大小) 　(对接教材例4)不通过求值，比较下列各组数的大小： (1)sin (－eq \f(37π,6))与sin eq \f(49π,3)； 【解】　由题得sin(－eq \f(37π,6))＝sin(－6π－eq \f(π,6))＝sin(－eq \f(π,6))，sineq \f(49π,3)＝sin(16π＋eq \f(π,3))＝sin eq \f(π,3)， 又函数y＝sin x在[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]上单调递增， 所以sin(－eq \f(π,6))＜sineq \f(π,3)，即sin(－eq \f(37π,6))＜sineq \f(49π,3). 【解】　因为cos eq \f(15π,8)＝cos(2π－eq \f(π,8)) ＝cos(－eq \f(π,8))＝cos eq \f(π,8)， cos eq \f(13π,9)＝cos(2π－eq \f(5π,9))＝cos(－eq \f(5π,9))＝cos eq \f(5π,9)， 由于函数y＝cos x在[0，π]上单调递减，eq \f(5π,9)＞eq \f(π,8)，　 所以cos eq \f(5π,9)＜cos eq \f(π,8)，即cos eq \f(15π,8)＞cos eq \f(13π,9). (3)cos eq \f(15π,8)与cos eq \f(13π,9). [跟踪训练1] (1)(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin 1<sin eq \f(π,3) B．sin eq \f(15π,7)>sin eq \f(4π,5) C．cos eq \f(2π,3)>cos 2 D．cos(－70°)>sin 18° 对于C，因为eq \f(π,2)<2<eq \f(2π,3)<π，且y＝cos x在(eq \f(π,2)，π)上单调递减，所以cos eq \f(2π,3)<cos 2，故C错误； 对于D，cos(－70°)＝cos 70°＝sin 20°>sin 18°，故D正确．故选AD. 解析：对于A，因为0<1<eq \f(π,3)<eq \f(π,2)，且y＝sin x在[0，eq \f(π,2)]上单调递增，所以sin 1<sin eq \f(π,3)，故A正确； 对于B，sin eq \f(15π,7)＝sin eq \f(π,7)，sin eq \f(4π,5)＝sin eq \f(π,5)>sin eq \f(π,7)，故B错误； 三　求正弦、余弦函数的单调区间 　求函数y＝2sin(x－eq \f(π,3))的单调递增区间． 【解】　令z＝x－eq \f(π,3)，则y＝2sin z. 因为z＝x－eq \f(π,3)是增函数， 所以y＝2sin z单调递增时， 函数y＝2sin(x－eq \f(π,3))单调递增， 由2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z， 故函数y＝2sin(x－eq \f(π,3))的单调递增区间为[2kπ－eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(5π,6)](k∈Z)． 解：由例题解析知，f(x)＝2sin(x－eq \f(π,3))的单调递增区间为[2kπ－eq \f(π,6)，2kπ＋eq \f(5π,6)](k∈Z)， 又x∈[0，2π]， 所以0≤x≤eq \f(5π,6)或eq \f(11π,6)≤x≤2π. 所以函数y＝2sin(x－eq \f(π,3))，x∈[0，2π]的单调递增区间为[0，eq \f(5π,6)]和[eq \f(11π,6)，2π]． 2．(条件变式)本例中，若函数y＝sin(eq \f(π,3)－x)，试求函数的单调递增区间． 解：y＝sin(eq \f(π,3)－x)＝－sin(x－eq \f(π,3))， 令eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,3)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z， 得eq \f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq \f(11π,6)＋2kπ，k∈Z， 所以函数y＝sin(eq \f(π,3)－x)的单调递增区间为[eq \f(5π,6)＋2kπ，eq \f(11π,6)＋2kπ](k∈Z)． [跟踪训练2] (1)已知函数f(x)＝sin(eq \f(π,2)－2x)，则f(x)(　　) A．在(0，π)单调递减 B．在(0，π)单调递增 C．在(－eq \f(π,2)，0)上单调递减 D．在(－eq \f(π,2)，0)上单调递增 当x∈(－eq \f(π,2)，0)时，2x∈(－π，0)，f(x)＝cos 2x在2x∈(－π，0)上单调递增，故C错误，D正确．故选D. 解析：f(x)＝sin(eq \f(π,2)－2x)＝cos 2x，故当x∈(0，π)时，2x∈(0，2π)，所以f(x)＝cos 2x不单调，故A，B错误； 解析：因为y＝cos(－2x＋eq \f(π,3)) ＝cos(2x－eq \f(π,3))， 所以由2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤π＋2kπ，k∈Z得，eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z，即所求单调递减区间为[kπ＋eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(2π,3)](k∈Z)． (2)y＝cos(－2x＋eq \f(π,3))的单调递减区间为_______________________________． [kπ＋eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(2π,3)](k∈Z) eq \a\vs4\al(四　正弦、余弦函数的最值（值域）) 　求下列函数的值域． (1)f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]； 【解】　因为x∈[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]，所以2x＋eq \f(π,6)∈[eq \f(π,3)，eq \f(7π,6)]. 当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值2，当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值－1， 则f(x)在[eq \f(π,12)，eq \f(π,2)]上的值域为[－1，2]． (2) y＝cos2 x＋sin x－1. 【解】　因为y＝cos2 x＋sin x－1＝1－sin2 x＋sin x－1＝－sin2 x＋sin x，令 t＝sin x，则y＝－t2＋t＝－(t－eq \f(1,2))2＋eq \f(1,4)，－1≤t≤1， 所以y＝－t2＋t在[－1，eq \f(1,2)]上单调递增，在[eq \f(1,2)，1]上单调递减， 当t＝－1时，y＝－2，当t＝eq \f(1,2)时，y＝eq \f(1,4)， 所以－2≤y≤eq \f(1,4)，即y＝cos2 x＋sin x－1的值域为[－2，eq \f(1,4)]． [跟踪训练3] (1)使函数y＝3sin 2x取得最大值的自变量x的集合为(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)＋2kπ，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z)))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))) 解析：因为－1≤sin 2x≤1，所以当sin 2x＝1时，函数y＝3sin 2x取得最大值，由sin 2x＝1，可得2x＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，所以x的取值集合为{x|x＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z}．故选D. (2)若函数f(x)＝cos eq \f(πx,3)(1≤x≤t)的值域为[－1，1]，则正整数t的最小值是________． 解析：因为1≤x≤t，则eq \f(π,3)≤eq \f(πx,3)≤eq \f(πt,3)， 若函数f(x)＝cos eq \f(πx,3)(1≤x≤t)的值域为[－1，1]，则2π≤eq \f(πt,3)，解得t≥6， 所以正整数t的最小值是6. 解析：由诱导公式知，a＝sin(π－eq \f(π,7))＝sin eq \f(π,7)，b＝sin(π－eq \f(3π,7))＝sin eq \f(3π,7)， 因为y＝sin x在(0，eq \f(π,2))上单调递增，且eq \f(3π,7)>eq \f(2π,7)>eq \f(π,7)，所以sin eq \f(3π,7)＞sin eq \f(2π,7)＞sin eq \f(π,7)，即b＞c＞a.故选D. 1．(教材P207 T4改编)已知a＝sin eq \f(6π,7)，b＝sin eq \f(4π,7)，c＝sin eq \f(2π,7)，则(　　) A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：由题意，x∈R，cos x＝eq \f(2m,m＋1)，而－1≤cos x≤1，则－1≤eq \f(2m,m＋1)≤1， 当eq \f(2m,m＋1)≥－1时，解得m＜－1或m≥－eq \f(1,3)； 当eq \f(2m,m＋1)≤1时，解得－1＜m≤1， 综上，m∈[－eq \f(1,3)，1]，所以满足条件的只有选项A，B.故选AB . 2．(多选)若cos x＝eq \f(2m,m＋1)，则m的取值可能是(　　) A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(1,2) D．2 eq \f(π,2) 解析：因为f(x)＝sin(2x＋φ)， 所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1，又|f(x1)－f(x2)|＝2，所以|x1－x2|的最小值为半个周期，即eq \f(1,2)×eq \f(2π,2)＝eq \f(π,2). 4．(教材P207 T5改编)已知函数f(x)＝2sin(2x－eq \f(π,4))，x∈R. (1)求f(x)的最大值及对应的x的集合； 解：当2x－eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝2，此时x的集合为{x|x＝eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z}． 解：令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z， 又x∈[0，π]，所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间为[0，eq \f(3π,8)]，[eq \f(7π,8)，π]． $$