精品解析：江苏省常州市溧阳市2024-2025学年高二上学期期末调研测试数学试题

期末调研测试高二数学试题 2025.1 注意事项： 1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上； 2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 4. 已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 1或 5. 在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A. B. C. D. 6 （ ） A 55 B. 120 C. 165 D. 220 7. 已知点为双曲线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 实轴长为4 B. 的两条渐近线夹角大于60° C. 到的渐近线的距离为4 D. 上的点到点的距离的最小值为2 8. 若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（ ） A. B. C. 可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D. 没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 10. 已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是公差为1的等差数列 D. 数列的前项和不超过 11. 已知，两点坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. C. 直线斜率的取值范围为 D. 若，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有______种． 13. 在等差数列中，已知，，则________. 14. 如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，，为坐标原点. （1）若在圆内，求实数的取值范围； （2）若直线与圆相切，求实数的值， 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，求数列的前项和. 17. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； （2）求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 18. 已知为数列的前项和，. （1）求数列通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 19. 已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. （1）求圆的标准方程； （2）求的最小值； （3）当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末调研测试高二数学试题 2025.1 注意事项： 1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上； 2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】直线的斜率为， 设该直线的倾斜角为， 则，解得. 所以该直线的倾斜角为. 故选：D 3. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论. 【详解】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则两圆圆心距， 因为， 所以两圆相交. 故选：A. 4. 已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（ ） A. 1 B. C. 1或2 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和的意义，结合等比数列通项列式求解. 【详解】在等比数列中，由，，得，则， 所以或. 故选：D 5. 在二项式的展开式中，含项的系数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式通项公式，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】二项式的展开式通项为， 令，解得，所以，展开式中含项的系数为. 故选：D. 6. （ ） A. 55 B. 120 C. 165 D. 220 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合数的性质计算得解. 【详解】 . 故选：C 7. 已知点为双曲线焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 的实轴长为4 B. 的两条渐近线夹角大于60° C. 到的渐近线的距离为4 D. 上的点到点的距离的最小值为2 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得， 所以，所以实轴长为，故A错误； 双曲线的渐近线方程为， 因为，所以渐近线的倾斜角大于小于， 所以双曲线的两条渐近线夹角大于，故B正确； 双曲线的焦点到渐近线的距离为，故C错误； 双曲线上的点到焦点的距离的最小值为，故D错误. 故选：B. 8. 若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）： 数学成绩 性别 合计 男 女 优秀 27 70 非优秀 58 110 合计 180 经计算得：，参照下表： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 则下列选项正确的为（ ） A. B. C. 可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关” D. 没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关” 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用列联表中数据计算判断AB；结合的观测值及临界值表判断CD. 【详解】对于AB，由列联表知，，AB正确； 对于CD，由知，C错误，D正确. 故选：ABD. 10. 已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是公差为1的等差数列 D. 数列的前项和不超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的首项公比，再逐项求解判断得解. 【详解】等比数列中，，而，则数列单调递减， 由，得，又，解得， 对于A，，解得，A正确； 对于B，，数列不是等比数列，B错误； 对于C，，则， ，数列是公差为1的等差数列，C正确； 对于D，，数列的前项和， ，D正确. 故选：ACD 11. 已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之和是2，动点形成轨迹为曲线，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. C. 直线斜率的取值范围为 D. 若，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据斜率公式即可求解方程，代入可判定A,根据两点距离公式即可求解B，根据斜率公式即可求解C，根据垂直的坐标关系，求解，，即可求解D. 【详解】设，则，化简可得， 由于，故， 对于A，满足，故曲线是中心对称图形，A正确， 对于B, ，当且仅当取到等号，由于，故B错误， 对于C,，故C正确， 对于D，由可得，故，联立与可得，故，故,故D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据可得，故，求，. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同，则不同选法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】由于两人选修的课程不同，属于排列问题，计算结果即可. 【详解】2位同学分别从甲、乙、丙3门课程中选修1门，且2人选修的课程不同， 则有种. 故答案为：. 13. 在等差数列中，已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【详解】在等差数列中，由，得，即， 解得，而，所以. 故答案： 14. 如图，在纸上画一个半径为2的圆，再取一定点，，将纸片折起，使圆周通过，然后展开纸片，得到一条折痕（为了看清楚，可把直线画出来）.这样继续下去，得到若干折痕，这些折痕围成的轮廓构成曲线.若点在曲线上，且，则的面积为________. 【答案】3 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点，根据对称性分可知，进而结合勾股定理求面积. 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，延长交直线于点， 由题意可知，点在圆上，直线为线段的垂直平分线，则， 可得， 可知点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支， 因， 若，则，可得， 即，可得， 所以的面积为. 故答案为：3. 【点睛】关键点点睛：根据题意结合对称性分析可知，则的轨迹是以点、为焦点的双曲线，靠近点的一支，进而可得面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆，，为坐标原点. （1）若在圆内，求实数的取值范围； （2）若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【小问1详解】 圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 16. 已知. （1）若，求的值； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二项式定理求出，进而列式求出值. （2）利用赋值法求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求出. 【小问1详解】 依题意，， 所以. 【小问2详解】 当时，，则，， 所以数列的前项和. 17. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位：）关系，所得数据资料如下表. 耕种深度 8 10 12 14 16 18 每公顷产量 6 7 8 9 11 13 （1）求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断它们是否具有较强的线性相关性； （2）求经验回归方程. 参考数据：； 参考公式：，，. 【答案】（1），有较强的线性相关性， （2） 【解析】 【分析】（1）根据相关系数的公式即可求解， （2）利用最小二乘法即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， ， 故，故有较强的线性相关性， 【小问2详解】 ， 故， 将代入可得， 故回归直线方程为 18. 已知为数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.数列的前项和为. ①求数列的通项公式； ②若，则在数列中是否存在3项，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由可得； （2）①由等差数列可得，进而可得； ②根据错位相减法可得，进而可得，由，，得，进而可得. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，，得， 故为首项为，公比为的等比数列，故. 【小问2详解】 由题意，得，得. 由可得， 故， ， 上面两式相减可得， 得， ， 由题意，， 得， 得，化简得，得， 这与成等差数列相矛盾， 故不存在这样的3项. 19. 已知圆的圆心在轴上，且过，两点，抛物线与圆有且只有一个交点. （1）求圆的标准方程； （2）求的最小值； （3）当取最小值时，过抛物线上的点作圆的两条切线，它们分别交于点，（，均异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值. 【答案】（1）； （2）1 （3）为定值4，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设，由题意建立关于a的等量关系求出a即可得解； （2）联立圆与抛物线方程，求出交点横坐标，由抛物线与圆有且只有一个交点得关于a的不等式即可求解； （3）设和过点M的圆E的切线方程为，由圆心到切线距离为半径1结合点到直线距离公式整理得方程，进而得两切线斜率满足，接着设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和，再由计算即可得证. 【小问1详解】 由题可设，则，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 联立或， 因为抛物线与圆有且只有一个交点， 所以， 所以的最小值为1. 【小问3详解】 证明：由（2）得，由题可设， 设过点M的圆E的切线方程为，即， 由圆心到切线距离为半径1得，整理得， 两边平方得，展开化简得， 进一步整理得， 设两切线斜率分别为，则是上述方程的两根，故， 设，由消去x得， 则，即；同理得. 所以， ， 又， 所以. 所以一个定值. 【点睛】关键点睛：解决本题第（3）问的关键1是理解两切线斜率是方程的两根，进而得，关键2是设，分别由两切线与抛物线联立依次求出和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $